Limite destro e limite sinistro

Un limite destro (o da destra) è un limite per x tendente a un valore finto x0 con i valori di x che si approssimano a x0 nell'intorno destro del punto; nel caso di un limite sinistro (o da sinistra) i valori di x si avvicendano a x0 nell'intorno sinistro del punto.

In questa lezione ci occuperemo delle definizioni di limite destro e limite sinistro, sia dal punto di vista analitico che dal punto di vista geometrico. Le nozioni che stiamo per affrontare costituiscono una particolarizzazione di due definizioni che abbiamo già studiato, e in particolare quelle di:

- limite finito per x tendente ad un valore finito

- limite infinito per x tendente ad un valore finito

Nel caso non vi sentiste sicuri su tali prerequisiti, vi raccomandiamo una lettura preventiva delle due lezioni. Vi anticipiamo inoltre che qui non mostreremo come calcolare i limiti da sinistra e da destra: lo faremo più avanti, in una lezione a parte. ;)

Limite da destra e limite da sinistra

Supponiamo di avere una funzione f:Dom(f) ⊆ R → R, y = f(x) e sia x_0∈ Dom(f) un punto di accumulazione per il dominio della funzione. Nel corso della nostra carriera scolastico/universitaria ci capiterà moltissime volte di dover studiare il comportamento di una data funzione nell'intorno di un punto (qui x_0) o, più precisamente, di dover capire come essa si comporti poco prima punto oppure poco dopo il punto.

I limiti destro e sinistro permettono di effettuare questo tipo di indagine. Prima di buttarci a capofitto nel formalismo matematico facciamo un piccolo preambolo.

Consideriamo un generico punto x_0 sulla retta reale. Abbiamo due possibili modi di avvicinarci ad esso: da destra, ossia partendo da valori più grandi di x_0, e da sinistra, cioè partendo da valori più piccoli di x_0:

Avvicinarsi a un punto da sinistra e da destra 

Ha senso quindi chiedersi come si comporta una funzione f quando x si avvicina a x_0 da sinistra, ossia per valori più piccoli di x_0, o da destra, ossia per valori più grandi di x_0.

Esempio

Consideriamo il grafico della funzione

f(x) = 1 se x ≥ 1 ;−1 se x , , < , , 1

Esempio introduttivo sui limiti da sinistra e da destra

Osserviamo che quando x si avvicina a x_0 = 1 da destra, la funzione tende al valore y = 1. Non importa quanto x si avvicini a x_0 = 1 da destra, il risultato sarà sempre 1 perché a destra di x_0 = 1 la funzione vale costantemente 1. Di contro, se x si avvicina a x_0 = 1 da sinistra, la funzione considerata restituisce sempre -1. 

Il precedente esempio dovrebbe far intuire la necessità di introdurre i concetti di limite da sinistra e di limite da destra.

Definizione di limite destro - caso finito

Consideriamo una funzione reale di variabile reale f:Dom(f) ⊆ R → R e sia x_0∈R un punto di accumulazione per il dominio della funzione. Diremo che il numero reale ell è il limite destro di f(x) per x che tende a x_0, o che ell è il limite di f(x) per x che tende a x_0 da destra (x → x_0^+), e scriveremo

lim_(x → x_0^+)f(x) = ell

se comunque si fissa ε > 0 esiste un δ, dipendente da ε, tale che per ogni x∈ Dom(f) che soddisfa 0 < x−x_0 < δ risulti che

|f(x)− ell| < ε

Un paio di osservazioni sulla definizione appena vista:

- la scrittura 0 < x−x_0 < δ è equivalente a x_0 < x < x_0+δ, ed individua un intorno destro del punto x_0

- la scrittura |f(x)− ell| < ε è equivalente alla doppia disequazione ell−ε < f(x) < ell+ε

Proviamo a riformulare la precedente definizione in linguaggio puramente simbolico:

lim_(x → x_0^+)f(x) = ell

se ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 per cui se x∈ Dom(f) e' t.c. x_0 < x < x_0+δ ; allora risulta che ell−ε < f(x) < ell+ε

In questo frangente diremo che per x → x_0^+ la funzione converge al valore ell, o anche che essa converge a destra di x_0 al valore ell.

Il significato di tale definizione da un punto di vista analitico e geometrico è in tutto e per tutto analogo alla definizione di limite finito per x tendente a un valore finito, solo che qui ci limitiamo a ragionare nell'intorno destro. Come potete notare nella definizione non è presente il valore assoluto della differenza delle ascisse perché il segno della differenza x−x_0 è ben definito; dato che ci avviciniamo da destra vale infatti x > x_0.

Significato geometrico del limite destro

Esempio grafico di limite finito da destra.

Definizione di limite sinistro - caso finito

Sia f:Dom(f) ⊆ R → R e sia x_0 un punto di accumulazione per il dominio della funzione. Diciamo che ell è il limite sinistro di f(x) per x che tende a x_0, o anche che f(x) tende a ell da sinistra per x che tende a x_0 (x → x_0^−) e scriviamo

lim_(x → x_0^−)f(x) = ell

se comunque si considera ε > 0 esiste un δ > 0, dipendente da ε, tale per cui se x∈ Dom(f) soddisfa 0 < x_0−x < δ allora risulta che

|f(x)− ell| < ε

Due piccole osservazioni sulle notazioni utilizzate:

- com'è naturale aspettarsi dopo aver visto la definizione nel caso destro, qui la scrittura 0 < x_0−x < δ è equivalente a x_0−δ < x < x_0. Con tale scrittura indichiamo tutti gli x che sono poco più piccoli di x_0;

- la condizione |f(x)− ell| < ε è equivalente a ell−ε < f(x) < ell+ε

Anche in questo caso, scrivere e rileggere la definizione in una versione puramente simbolica è un ottimo esercizio d'allenamento:

lim_(x → x_0^(−))f(x) = ell

se ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 per cui se x∈ Dom(f) e' t.c. x_0−δ < x < x_0 ; allora risulta che ell−ε < f(x) < ell+ε

Qui diremo che per x → x_0^− la funzione converge al valore ell, o anche che essa converge a sinistra di x_0 al valore ell.

Analogamente al caso del limite da destra, la definizione di limite sinistro particolarizza quella di limite finito per x tendente a un valore finito restringendola ad un intorno sinistro del punto. A tal proposito il valore assoluto della differenza delle ascisse viene sostituito da x_0−x perché il segno di tale differenza è ben definito; poiché ci avviciniamo da sinistra risulta infatti x < x_0.

Interpretazione geometrica del limite sinistro

Esempio grafico di limite finito da sinistra.

Definizione di limite destro - caso infinito

Diciamo che il limite destro di f(x) per x → x_0 vale +∞ (rispettivamente −∞), e scriveremo

lim_(x → x_0^(+))f(x) = +∞ , , (rispettivamente−∞)

se per ogni M > 0 riusciamo a determinare un δ > 0, dipendente da M, tale che per ogni x∈ Dom(f) che soddisfa la relazione 0 < x−x_0 < δ risulta che

f(x) > M (rispettivamente f(x) < −M)

Esprimiamo la definizione in termini simbolici sia per il caso +∞ che per il caso −∞

lim_(x → x_0^(+))f(x) = +∞

se ∀ M > 0 ∃ δ > 0 per cui se x∈ Dom(f) e' t.c. x_0 < x < x_0+δ ; allora risulta che f(x) > M

lim_(x → x_0^(+))f(x) = −∞

se ∀ M > 0 ∃ δ > 0 per cui se x∈ Dom(f) e' t.c. x_0 < x < x_0+δ ; allora risulta che f(x) < −M

In questo frangente diremo che per x → x_0^+ la funzione diverge (positivamente o negativamente), o anche che essa diverge a destra di x_0 (positivamente o negativamente).

Ormai dovrebbe essere chiaro che la definizione di limite da destra è una pura e semplice restrizione del limite bilatero. In questo caso, in riferimento alla definizione di limite infinito per x tendente a un valore finito, abbiamo potuto eliminare il modulo della differenza delle ascisse perché stiamo lavorando in un intorno destro di x_0, in cui risulta che x > x_0.

Limite sinistro infinito

Esempi grafici di limite infinito da destra.

Definizione di limite sinistro - caso infinito

Diciamo che il limite sinistro di f(x) per x → x_0 vale +∞ (rispettivamente −∞), e scriveremo

lim_(x → x_0^(−))f(x) = +∞ , , (rispettivamente −∞)

se per ogni M > 0 esiste δ > 0, dipendente da M, tale che per ogni x∈ Dom(f) tale da soddisfare 0 < x_0−x < δ risulta che

f(x) > M (rispettivamente f(x) < −M)

Volendo esprimere la definizione in termini simbolici sia per il caso +∞ che per il caso −∞:

lim_(x → x_0^(−))f(x) = +∞

se ∀ M > 0 ∃ δ > 0 per cui se x∈ Dom(f) e' t.c. x_0−δ < x < x_0 ; allora risulta che f(x) > M

lim_(x → x_0^(−))f(x) = −∞

se ∀ M > 0 ∃ δ > 0 per cui se x∈ Dom(f) e' t.c. x_0−δ < x < x_0 ; allora risulta che f(x) < −M

Si noti che qui abbiamo ristretto la definizione di limite infinito per x tendente a un valore finito ad un intorno sinistro del punto. Ciò ci ha permesso di eliminare il valore assoluto della differenza delle ascisse dal momento che x < x_0.

Qui diremo che per x → x_0^− la funzione diverge (positivamente o negativamente), o anche che essa diverge a sinistra di x_0 (positivamente o negativamente).

Limite da destra infinito

Esempi grafici di limite infinito da sinistra.

Relazione tra il limite destro, limite sinistro e limite bilatero

Ora che abbiamo introdotto le definizioni di limite da sinistra e da destra è importante comprendere qual è la relazione che le lega alla definizione di limite in generale - o più precisamente di quello che qui ed ora conviene chiamare limite bilatero.

Proposizione: se f è una funzione definita in un intorno di x_0∈R, ed eventualmente non in x_0, essa ha limite ell∈R U ±∞ per x → x_0 se e solo se il limite destro e il limite sinistro di f in x_0 esistono e sono uguali ad ell:

lim_(x → x_0)f(x) = ell ⇔ lim_(x → x_0^(−))f(x) = ell = lim_(x → x_0^(+))f(x)

Se il limite destro e il limite sinistro sono diversi oppure non esistono, allora il limite bilatero non esiste.

Niente di complicato, non è vero? :) La precedente proposizione stabilisce semplicemente che:

- per poter parlare di limite finito per x → x_0 devono esistere finiti ed uguali sia il limite da sinistra che il limite da destra;

- per poter parlare di limite infinito per x → x_0 i limiti sinistro e destro devono essere infiniti e di segno concorde.

I limiti da sinistra e da destra forniscono quindi una definizione per i limiti finiti e infiniti al tendere di x a un valore finito che è equivalente alle definizioni epsilon-delta proposte nelle precedenti lezioni. ;)

La lezione finisce qui. A partire dalla successiva studieremo le definizioni per i limiti all'infinito, mentre più avanti mostreremo come calcolare i limiti da sinistra e da destra nella pratica. ;)

Hej, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

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