Teorema di de l'Hôpital

Il teorema di de l'Hôpital (o teorema di de l'Hôspital) è un teorema sui limiti di funzioni reali di variabile reale che, sotto opportune ipotesi, consente di calcolare il limite di un rapporto di funzioni considerando il limite del rapporto tra la derivata del numeratore e la derivata del denominatore.

 

Nel calcolare i limiti una delle tecniche a nostra disposizione prevede l'utilizzo del teorema di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital fornisce un criterio semplice e accessibile a tutti gli studenti, ma vi anticipiamo che la dimostrazione è un po' ostica e non viene richiesta alle scuole superiori. Per questo motivo la presentiamo in una pagina a parte, cui potrete accedere nel corso della spiegazione.

 

Nota bene: il teorema di de l'Hôpital richiede una buona conoscenza della teoria delle derivate. Se siete in fase di ripasso proseguite pure nella lettura, in caso contrario vi raccomandiamo di tornare qui solo dopo aver studiato le derivate. ;)

 

Enunciato del teorema di de l'Hôpital

 

Siano f(x)\mbox{ e }g(x) due funzioni derivabili su un intervallo (a,b), con a\mbox{ e }b valori finiti o infiniti. Supponiamo che:

 

1) la derivata di g(x) non sia mai nulla sull'intervallo considerato;

 

g'(x)\neq 0\ \ \ \forall x\in(a,b)

 

2) Il limite da destra per x\to a^+ del rapporto della derivata del numeratore e della derivata del denominatore esista, finito o infinito

 

\lim_{x\to a^+}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\begin{cases}\ell\in\mathbb{R}\\ \mbox{oppure}\\ \pm\infty\end{cases} 

 

3) Se inoltre il limite da destra del rapporto tra f(x)\mbox{ e }g(x) genera una forma indeterminata del tipo zero su zero o infinito su infinito

 

\lim_{x\to a^+}\frac{f(x)}{g(x)}=\begin{cases}\left[\frac{0}{0}\right]\\ \mbox{oppure}\\ \left[\frac{\infty}{\infty}\right]\end{cases}

 

allora (tesi) esiste il limite da destra del rapporto delle due funzioni, e vale la relazione

 

\lim_{x\to a^+}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\lim_{x\to a^+}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}

 

Nel caso del limite da sinistra per x\rightarrow b^- vale un enunciato del tutto analogo.

 

Nota: in questa sede omettiamo la dimostrazione. Chi volesse leggerla è libero di consultarla nel topic del link.

 

Come usare il teorema di De l'Hôpital con i limiti

 

Per capire come usare il teorema di de l'Hôpital iniziamo a dividere il risultato espresso dal teorema in due parti: la prima riguarda l'esistenza del limite; la seconda fornisce un metodo pratico di calcolo dei limiti.

 

Occupiamoci della parte pratica. Il teorema di de l'Hôpital ci dice sostanzialmente quanto segue: abbiamo un limite per x\to x_0 dove x_0\in\mathbb{R}\cup\{\pm\infty\} può essere un valore finito o infinito. Il limite è un rapporto di funzioni entrambe differenziabili e il denominatore è una funzione che deve avere la derivata non nulla sull'insieme.

 

Ok, ma quale insieme?

 

Leggendo con attenzione l'enunciato del teorema di de l'Hopital notiamo che si fa menzione del limite destro e del limite sinistro. In riferimento all'enunciato sceglieremo:

 

- un intervallo (a,+\infty) se x_0=+\infty, oppure

 

- un intervallo (-\infty,b) se x_0=-\infty, oppure

 

- due intervalli (b_1,x_0)\mbox{ e }(x_0,b_2) in modo da individuare il punto x_0 cui tende la x nel limite.

 

A questo punto, prima di poter usare de l'Hôpital, dobbiamo assicurarci che il limite

 

\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}

 

dia come forma indeterminata

 

\left[\frac{0}{0}\right]\ \ \ \mbox{oppure}\ \ \ \left[\frac{\infty}{\infty}\right]

 

Se valgono tali ipotesi, nella pratica anzichè calcolare

 

\lim_{x\to x_{0}}{\frac{f(x)}{g(x)}}

 

possiamo calcolare il limite del rapporto delle derivate di numeratore e denominatore


\lim_{x\to x_{0}}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}

 

che - scopo del gioco - dovrebbe essere più semplice di quello di partenza. Se questo limite esiste finito o infinito, nelle suddette ipotesi il valore di tale limite è anche il valore del limite di partenza

 

\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}

 

Applicazione reiterata: tra le altre cose, se il nuovo limite non è abbastanza semplice, ma le funzioni f'(x)\mbox{ e }g'(x) soddisfano le ipotesi che nel teorema sono richieste per f(x)\mbox{ e }g(x), allora possiamo riapplicare de l'Hôpital. Prima o poi ci troveremo di fronte ad un limite semplice... ;)

 

Attenzione: a scanso di equivoci, la tesi del teorema coinvolge il rapporto delle derivate di numeratore e denominatore e non la derivata del rapporto di partenza.

 

Quando usare il teorema di de l'Hôpital?

 

Il criterio che il teorema stabilisce è semplice, un po' meno capire quando usarlo. Ricordiamoci che lo scopo è calcolare un limite, e che disponiamo di tanti metodi: dunque se i metodi che preferiamo usare di solito non bastano, vale la pena di dare un'occhiata e controllare se valgono le ipotesi di de l'Hôpital. Se valgono, possiamo usarlo.

 

La risposta alla domanda è quindi: quando non abbiamo alternative più semplici (limiti notevoli, trucchi algebrici, etc...) e quando valgono le ipotesi richieste dal teorema.

 

Esempi sul teorema di de l'Hôpital

 

A) Consideriamo il

 

\lim_{x\to+\infty}{\left(1+\frac{1}{2x}\right)^{3x^2}}

 

Qui non possiamo neppure scrivere la funzione come un rapporto di funzioni che divergano all'infinito; nella fattispecie abbiamo la forma di indecisione \left[1^{\infty}\right] e, per come si presenta la funzione del limite, non possiamo usare de l'Hôpital!

 

 

B) Consideriamo il

 

\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}{\frac{1-\sin{(x)}}{\cos{(x)}}}

 

Qui possiamo ricorrere al teorema, infatti:

 

- la forma di indecisione è \left[\frac{0}{0}\right]

 

- le funzioni f(x)\mbox{ e }g(x) sono derivabili su tutto l'asse reale, quindi possiamo scegliere l'insieme \left(a,\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(\frac{\pi}{2},b\right) del teorema a nostro piacimento;

 

- infine, per fare in modo che la derivata del denominatore g(x)\ (g'(x)=-\sin(x)) non sia mai nulla sull'insieme scelto, ci basta considerare ad esempio

 

\left(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{4}\right)

 

Possiamo allora calcolare al posto del limite di partenza:

 

\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}{\frac{-\cos{(x)}}{-\sin{(x)}}}=\frac{0}{1}=0.

 

 

C) Consideriamo il

 

\lim_{x\to 0}{\frac{\sqrt{\cos{(x)}}-1}{\ln{(1+x)}-x}}

 

Possiamo applicare de l'Hôpital? Forse.

 

Consideriamo l'insieme (-1,0)\cup(0,1) e calcoliamo le derivate. Per la derivata del numeratore ci serve il teorema di derivazione della funzione composta e ricordare le consuete regole sulle derivate fondamentali

 

f'(x)=\frac{d}{dx}[\sqrt{\cos(x)}-1]=\frac{1}{2\sqrt{\cos(x)}}(-\sin(x))=-\frac{\sin(x)}{2\sqrt{\cos(x)}}

 

Per la derivata del denominatore dobbiamo comportarci in modo analogo

 

g'(x)=\frac{d}{dx}[\ln(1+x)-x]=\frac{1}{1+x}-1

 

Da qui si vede che f(x) non è derivabile nei punti del tipo x=\frac{\pi}{2}+k\pi con k intero relativo (vale a dire le ascisse che annullano il denominatore della derivata), mentre g(x) non è derivabile nel punto x=-1.

 

In tutti gli altri punti dell'insieme le funzioni f(x)\mbox{ e }g(x) sono derivabili grazie agli usuali teoremi sulle funzioni derivabili (gli estremi vanno esclusi) e g'(x) non si annulla (si annulla in x=0, ma ancora una volta gli estremi vanno esclusi).

 

Resta solamente controllare se esiste il limite del rapporto delle derivate di numeratore e denominatore:

 

\lim_{x\to 0}{\frac{-\frac{\sin{(x)}}{2\sqrt{\cos{(x)}}}}{\frac{1}{1+x}-1}}=

 

usiamo la regola per le frazioni di frazioni e otteniamo

 

=\lim_{x\to 0}\frac{-\sin(x)}{2\sqrt{\cos(x)}}\cdot \frac{x+1}{-x}=\lim_{x\to 0}\frac{-\sin(x)}{-x}\cdot \frac{x+1}{2\sqrt{\cos(x)}}=\frac{1}{2}

 

dove per giungere al risultato procediamo con l'applicazione del limite notevole del seno sul primo fattore e per sostituzione diretta sul secondo. Quindi il limite del rapporto delle derivate esiste, e abbiamo anche calcolato il limite originario.

 

\lim_{x\to 0}{\frac{\sqrt{\cos{(x)}}-1}{\ln{(1+x)}-x}}=\frac{1}{2}

 

Avvertenze sul teorema di de l'Hôpital

 

Vi sveliamo un piccolo segreto: il teorema di de l'Hôpital viene applicato spesso e volentieri alle scuole superiori, ma i docenti di buona parte dei corsi universitari lo detestano e impongono agli studenti di non utilizzarlo... Senza spiegare il perché della propria scelta. La cosa potrebbe sorprendervi e da parte nostra ci teniamo a spiegarvi il perché di questo odio diffuso. Ci sono essenzialmente tre motivi.

 

A) Da un punto di vista accessorio il suddetto teorema non è stato formulato dal marchese di de l'Hôpital, al secolo Guillaume François Antoine de Sainte Mesme. Tale teorema fu formulato da Johann Bernoulli su commissione del facoltoso marchese e in buona sostanza non fu farina del suo sacco.

 

B) Da un punto di vista sostanziale, il teorema di de l'Hôpital è pur sempre un teorema con delle ipotesi e una tesi. Perché non sarebbe consentito applicarlo? La tendenza degli studenti purtroppo consiste nello snobbare le ipotesi del teorema e concentrarsi solamente sull'applicazione della tesi quando incontrano una delle due forme indeterminate che lo consentono.

 

Le ipotesi del teorema del marchese, però, non sono affatto scontate e andrebbero verificate esplicitamente ogniqualvolta che viene utilizzato. Applicare il teorema senza verificarne le ipotesi viene giustamente considerato dai docenti come un errore in sede d'esame.

 

C) È importante sottolineare che alle scuole superiori, ove tipicamente non viene presentata la tecnica di calcolo dei limiti con Taylor, il teorema di de l'Hôpital fornisce un metodo grazie alla quale è possibile risolvere limiti che non potrebbero essere diversamente calcolati. All'università invece il metodo di calcolo dei limiti con Taylor soppianta ed estende de l'Hôpital (in riferimento alla forma indeterminata 0/0) ed è ben più semplice da applicare dal punto di vista teorico. Per questo motivo il teorema del marchese viene completamente ripudiato. ;)

 

 


 

Per approfondire l'applicazione del teorema di de l'Hôpital vi rimandiamo alle schede correlate di esercizi svolti e proposti. In caso di necessità non esitate e servitevi pure del tool per calcolare i limiti online... e per qualsiasi altra esigenza, sappiate che qui su YM potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Atsisveikinimas, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

Lezione precedente .....Esercizi correlati..... Lezione successiva

 

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