Asintoto obliquo

Un asintoto obliquo è una retta che approssima l'andamento del grafico di una funzione all'infinito, vale a dire ad uno dei due estremi illimitati del dominio o a entrambi gli estremi infiniti. Un asintoto obliquo può approssimare il grafico da sotto o da sopra.

 

Il terzo ed ultimo tipo di asintoto che abbiamo classificato nella lezione di presentazione è fornito dagli asintoti obliqui. Abbiamo già studiato i casi dell'asintoto verticale e dell'asintoto orizzontale, per cui è il momento di chiudere questo mini-ciclo di lezioni enunciando la definizione e analizzando i possibili modi con cui una funzione può essere approssimata da uno o più asintoti obliqui.

 

Nella seconda parte della lezione ci concentreremo sul lato pratico e vedremo come studiare l'esistenza di un asintoto obliquo ed, eventualmente, determinarne l'equazione, proponendo contestualmente diversi esempi ed esercizi svolti.

 

Definizione di asintoto obliquo

 

Sia f:Dom(f)\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R} e supponiamo che il suo dominio sia illimitato sia superiormente che inferiormente, o equivalentemente supponiamo che esista M>0 tale per cui la funzione sia definita per x<-M e per x>M. Diciamo che

 

r:\ y=mx+q\ \ \ \mbox{con }m,q\in\mathbb{R},\ m\neq 0

 

è l'asintoto obliquo destro della funzione f(x) (o asintoto obliquo per x\to +\infty) se valgono le condizioni

 

\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{x}=m\ \ \ \mbox{e}\ \ \ \lim_{x\to +\infty}[f(x)-mx]=q

 

Analogamente chiameremo r l'asintoto obliquo sinistro di f(x) (o asintoto obliquo per x\to -\infty) se sono soddisfatte entrambe le condizioni

 

\lim_{x\to -\infty}\frac{f(x)}{x}=m\ \ \ \mbox{e}\ \ \ \lim_{x\to -\infty}[f(x)-mx]=q

 

Diremo infine che r è un asintoto obliquo bilatero della funzione f(x) se esso è sia l'asintoto obliquo sinistro che l'asintoto obliquo destro di f(x).

 

Le definizioni che abbiamo appena scritto hanno una valenza operativa e sono quelle che vengono usate per la risoluzione degli esercizi; nel prosieguo della lezione avremo modo di introdurre una definizione equivalente, ma ben più teorica, e vedremo la dimostrazione che permette di ricavare da essa la definizione pratica. ;)

 

Significato geometrico degli asintoti obliqui

 

Un asintoto obliquo è una retta non orizzontale che approssima il comportamento della funzione e i valori che essa assume, per x\to +\infty oppure per x\to -\infty, a seconda dei casi.

 

Osserviamo che la prima delle due condizioni richieste dalla definizione

 

\\ \lim_{x\to-\infty}\frac{f(x)}{x}=m\ \ \ \mbox{con }m\in\mathbb{R},\ m\neq 0\\ \\ \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=m\ \ \ \mbox{con }m\in\mathbb{R},\ m\neq 0

 

impone che f(x) presenti il medesimo ordine di infinito di y=x per x\to \pm\infty. Poiché

 

\lim_{x\to -\infty}x=-\infty\ \ \ ;\ \ \ \lim_{x\to +\infty}x=+\infty

 

ne consegue banalmente che

 

\begin{align*}\lim_{x\to -\infty}f(x)=-\infty\ \ \ \mbox{se }m>0&\ \ \ \ \ ;&\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty\ \ \ \mbox{se }m>0\\ &\mbox{oppure}&\\ \lim_{x\to -\infty}f(x)=+\infty\ \ \ \mbox{se }m<0&\ \ \ \ \ ;&\lim_{x\to +\infty}f(x)=-\infty\ \ \ \mbox{se }m<0\end{align*}

 

Da qui deduciamo che un asintoto obliquo è una retta che approssima il comportamento di una funzione che diverge per x tendente all'infinito. A titolo di esempio grafico possiamo considerare la funzione in figura.

 

 

Asintoto obliquo

Un esempio di funzione con un asintoto obliquo bilatero (in rosso).

 

 

Relazione degli asintoti obliqui con i limiti

 

La condizione m\neq 0 della definizione scongiura la possibilità che r sia un asintoto orizzontale, che come sappiamo corrisponde alla definizione di limite finito all'infinito. Come abbiamo dimostrato poco sopra, la funzione deve necessariamente divergere all'infinito per x tendente all'infinito.

 

Da qui capiamo inoltre che il caso dell'asintoto obliquo si ricollega alla definizione di limite infinito all'infinito. In questo frangente è importante prestare attenzione: a differenza del caso orizzontale (limite finito all'infinito) gli asintoti obliqui non esauriscono tutti i possibili modi con cui una funzione può divergere all'infinito.

 

Gli asintoti obliqui denotano semplicemente una divergenza lineare per x tendente all'infinito, ossia come una retta, ma come ci insegna il confronto tra infiniti i modi con cui una funzione può divergere sono infiniti. 

 

In parole povere una funzione che diverge per x tendente all'infinito può avere un asintoto obliquo, ma non deve necessariamente averlo.

 

Tipi di asintoti obliqui

 

Il grafico di una funzione può presentare uno, due o nessun asintoto obliquo. Cerchiamo di essere più precisi:

 

1) \lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{x}=m\in\mathbb{R},\ m\neq 0\ \ \ \mbox{e}\ \ \ \lim_{x\to +\infty}[f(x)-mx]=q\in\mathbb{R}

 

La funzione presenta un asintoto obliquo destro di equazione y=mx+q all'estremo illimitato destro del dominio, ossia per x\to +\infty. All'estremo illimitato sinistro può non essere definita, può convergere, può divergere non linearmente o ancora il limite per x\to -\infty può non esistere.

 

2) \lim_{x\to -\infty}\frac{f(x)}{x}=m\in\mathbb{R},\ m\neq 0\ \ \ \mbox{e}\ \ \ \lim_{x\to -\infty}[f(x)-mx]=q\in\mathbb{R}

 

La funzione presenta un asintoto obliquo sinistro di equazione y=mx+q all'estremo illimitato sinistro del dominio, ossia per x\to -\infty. All'estremo illimitato destro può non essere definita, può convergere, può divergere non linearmente o ancora il limite per x\to +\infty può non esistere.

 

3) \\ \lim_{x\to -\infty}\frac{f(x)}{x}=m_1\in\mathbb{R},\ m_1\neq 0\ \ \ \mbox{e}\ \ \ \lim_{x\to -\infty}[f(x)-m_1x]=q_1\in\mathbb{R}\\ \\ \lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{x}=m_2\in\mathbb{R},\ m_2\neq 0\ \ \ \mbox{e}\ \ \ \lim_{x\to +\infty}[f(x)-m_2x]=q_2\in\mathbb{R}

 

La funzione presenta due asintoti obliqui distinti, di cui uno sinistro y=m_1x+q_1 e uno destro y=m_2x+q_2.

 

4) \lim_{x\to \pm\infty}\frac{f(x)}{x}=m\in\mathbb{R},\ m\neq 0\ \ \ \mbox{e}\ \ \ \lim_{x\to \pm\infty}[f(x)-mx]=q\in\mathbb{R}

 

La funzione presenta un asintoto obliquo bilatero, vale a dire il medesimo asintoto obliquo ad entrambi gli estremi illimitati del dominio. Questa situazione si manifesta ad esempio nel caso di alcune funzioni dispari.

 

In tutti gli altri casi una funzione può non avere alcun asintoto obliquo, né a sinistra né a destra. Ciò accade quando il dominio è un insieme limitato, quando i due limiti all'infinito sono finiti (asintoti orizzontali), quando i due limiti all'infinito sono infiniti ma non valgono le condizioni della definizione o ancora quando i due limiti agli estremi illimitati non esistono.

 

Da ultimo è ovvio che una funzione in uno stesso estremo illimitato può avere al più un solo asintoto obliquo, come imposto dal teorema di unicità del limite.

 

Possibili intersezioni del grafico con un asintoto obliquo

 

Solitamente gli asintoti obliqui vengono spiegati intuitivamente come rette che approssimano il grafico di una funzione "senza mai toccarlo". Errore. In Matematica il punto di partenza è sempre la definizione, non il preconcetto che abbiamo in mente; guardando alla definizione nulla vieta che il grafico di f(x) intersechi un suo asintoto obliquo, l'unica cosa che conta è che vengano soddisfatte le condizioni sui limiti.

 

In generale un asintoto obliquo può non intersecare il grafico in alcun punto oppure può intersecarlo in un numero finito di punti, oltre i quali il grafico si approssima all'asintoto obliquo senza più intersecarlo. Questo genere di intersezioni vengono comunemente chiamate punti di intersezione centrali con l'asintoto obliquo.

 

Un'ulteriore eventualità si manifesta quando il grafico interseca un numero infinito di volte man mano che si avvicenda ad esso, come avviene nel caso della funzione

 

f(x)=x+\frac{\sin(x)}{x}

 

per la quale la bisettrice del primo e del terzo quadrante y=x è un asintoto obliquo bilatero. Come si può facilmente verificare entrambe le condizioni imposte dalla definizione sono soddisfatte sia per x\to -\infty che per x\to +\infty; d'altra parte il grafico di f(x) oscilla approssimandosi alla retta y=x ed intersecandola infinite volte (per renderesene conto: grafico online).

 

Definizione equivalente di asintoto obliquo

 

La definizione che abbiamo fornito ad inizio lezione è estremamente pratica, ma non è la più intuitiva né la più teorica che possiamo formulare. Per fissare le idee ragioniamo nel caso x\to +\infty; la definizione equivalente di asintoto obliquo prevede di ragionare sul concetto di approssimazione, e stabilisce che f(x) ha come asintoto obliquo y=mx+q con m,q\in\mathbb{R},\ m\neq 0 se vale la condizione

 

\lim_{x\to +\infty}[f(x)-(mx+q)]=0

 

Questa definizione è estremamente intuitiva nel senso che il limite impone chiaramente che le ordinate y=f(x) si approssimino alle ordinate y=mx+q al tendere di x\to+\infty, perché il limite della loro differenza deve valere zero.

 

Vediamo come dimostrare che la definizione operativa è equivalente a quella teorica. Supponiamo che sia

 

\lim_{x\to +\infty}[f(x)-(mx+q)]=0\ \ \ \mbox{con }m,q\in\mathbb{R},\ m\neq 0

 

Dalla precedente uguaglianza segue che

 

\lim_{x\to +\infty}[f(x)-mx]=q

 

Effettuiamo un raccoglimento a fattore comune

 

\lim_{x\to +\infty}\left[x\left(\frac{f(x)}{x}-m\right)\right]=q

 

e successivamente un semplice passaggio algebrico (regola per la frazione di una frazione)

 

\lim_{x\to +\infty}\frac{\frac{f(x)}{x}-m}{\frac{1}{x}}=q\ \ \ (\bullet)

 

Il denominatore è ovviamente un infinitesimo per x\to +\infty

 

\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0

 

Da qui si capisce che in (\bullet):

 

- numeratore e denominatore devono essere infinitesimi dello stesso ordine se q\neq 0 (è un valore finito per ipotesi);

 

- il numeratore deve essere un infinitesimo di ordine superiore rispetto al denominatore se q=0.

 

In particolare abbiamo dedotto che il numeratore è un infinitesimo per x\to +\infty

 

\lim_{x\to +\infty}\left(\frac{f(x)}{x}-m\right)=0

 

ossia

 

\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{x}=m

 

da cui la tesi. La dimostrazione dell'implicazione inversa (definizione operativa → definizione teorica) è immediata e viene lasciata per esercizio al lettore.

 

Condizioni di esistenza e calcolo dell'equazione di un asintoto obliquo

 

Come promesso, dopo aver esaurito la parte teorica passiamo alla pratica e presentiamo il metodo per stabilire se una funzione presenta un asintoto obliquo e, in caso affermativo, come calcolarne l'equazione.

 

Quando una funzione può presentare un asintoto obliquo?

 

Per rispondere basta osservare la struttura del dominio della funzione:

 

A) se la funzione è definita in un intorno di -\infty, ossia ha dominio della forma

 

(-\infty,a)\ ...

 

allora potrebbe esserci un asintoto obliquo sinistro.

 

B) Se la funzione è definita in un intorno di +\infty, ossia il dominio è del tipo

 

...\ (b,+\infty)

 

allora potrebbe esserci un asintoto obliquo destro.

 

Come stabilire se una funzione presenta effettivamente un asintoto obliquo e come calcolarne l'equazione

 

Per fissare le idee ragioniamo nel caso di x\to +\infty; per x\to-\infty i passaggi da effettuare sono del tutto analoghi.

 

Passo 1) Calcoliamo il limite della funzione per x\to+\infty, purché abbia senso farlo

 

\lim_{x\to +\infty}f(x)\ \ \ \mbox{ se il dominio lo consente}

 

Se il limite esiste finito abbiamo un asintoto orizzontale, se invece non esiste non c'è molto altro da aggiungere. In entrambi i casi ci fermiamo. Se invece il limite esiste infinito, proseguiamo perché potremmo avere un asintoto obliquo.

 

\lim_{x\to +\infty}f(x)=\pm\infty

 

Passo 2) Calcoliamo il limite

 

\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{x}

 

Se il limite non esiste, esiste infinito o se vale zero, non può esserci un asintoto obliquo e ci fermiamo. Se invece il limite esiste finito e diverso da zero, esso fornisce il candidato coefficiente angolare dell'asintoto obliquo

 

\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{x}=m\in\mathbb{R},\ m\neq 0

 

Passo 3) Calcoliamo il limite

 

\lim_{x\to +\infty}[f(x)-mx]

 

Se il limite non esiste o esiste infinito, non può esserci un asintoto obliquo e ci fermiamo. Se invece il limite esiste finito

 

\lim_{x\to +\infty}[f(x)-mx]=q\in\mathbb{R}

 

allora abbiamo finito. q è l'ordinata all'origine dell'asintoto obliquo, che ha equazione

 

y=mx+q

 

Ripetendo i calcoli per x\to-\infty (purché sia consentito) saremo in grado di trarre le dovute conclusioni sul comportamento della funzione all'estremo illimitato sinistro del dominio, e di capire se la funzione presenta un asintoto obliquo bilatero, due asintoti obliqui distinti e così via.

 

Esempio sugli asintoti obliqui

 

Consideriamo la funzione

 

f(x)=\frac{x^2}{x+1}

 

Il dominio della funzione è (-\infty,-1)\cup(-1,+\infty), per cui potrebbero esserci due asintoti obliqui (o un asintoto obliquo bilatero).

 

Calcoliamo il limite per x\to +\infty con un semplice confronto tra infiniti

 

\lim_{x\to +\infty}f(x)=\lim_{x\to +\infty}\frac{x^2}{x+1}=+\infty

 

L'analisi prosegue: calcoliamo il limite imposto dalla prima condizione della definizione, e anche qui ci serviamo del confronto tra infiniti

 

\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{\frac{x^2}{x+1}}{x}=\lim_{x\to +\infty}\frac{x^2}{x^2+x}=1

 

Per concludere

 

\\ \lim_{x\to +\infty}[f(x)-mx]=\lim_{x\to +\infty}\left[\frac{x^2}{x+1}-x\right]=\\ \\ \\ =\lim_{x\to +\infty}\frac{x^2-x^2-x}{x+1}=\lim_{x\to +\infty}\frac{-x}{x+1}=-1

 

Abbiamo scoperto che la funzione in esame presenta un asintoto obliquo destro di equazione y=x-1.

 

Svolgendo gli analoghi passaggi per x\to -\infty si trova che la medesima retta è anche l'asintoto obliquo sinistro, e dunque è l'asintoto obliquo bilatero della funzione. Se volete farvi un'idea dell'approssimazione da un punto di vista geometrico non dovete fare altro che riprendere l'esempio grafico proposto in precedenza, il quale rappresenta esattamente la funzione f(x).

 

 


  

Come avrete notato lo schema logico è estremamente semplice: il tutto si riduce a calcolare qualche limite (alla peggio tre). Se avete letto le lezioni su asintoti orizzontali e verticali potete passare direttamente alle schede correlate di esercizi svolti e proposti, in cui viene richiesto di determinare tutti gli eventuali asintoti di alcune funzioni.

 

Come ulteriori spunti vi segnaliamo il tool per calcolare gli asintoti online e le lezioni della sezione dedicata allo studio di funzione, in cui questo argomento viene ripreso in sintesi.

 

Qui si conclude la parte della teoria dei limiti rivolta a tutti (studenti delle scuole superiori e universitari); le lezioni successive si rivolgono esclusivamente a chi frequenta i corsi di Analisi Matematica nelle varie facoltà dell'università. ;)

 

 

Güle güle, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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