Asintoto orizzontale

Un asintoto orizzontale è una retta orizzontale che approssima il comportamento del grafico di una funzione all'infinito, ossia ad uno degli eventuali estremi illimitati del dominio o a entrambi gli estremi illimitati. Un asintoto orizzontale può approssimare il grafico da sotto o da sopra.

 

Il secondo tipo di asintoti che abbiamo presentato nella lezione introduttiva è rappresentato dagli asintoti orizzontali. Dopo aver trattato il caso dell'asintoto verticale vogliamo analizzare nel dettaglio il caso orizzontale, ripartendo dalla definizione e considerando tutti i possibili casi in cui una funzione può presentare un asintoto orizzontale.

 

Una volta esaurita la parte teorica passeremo alla pratica e vedremo come stabilire se una funzione ha uno o più asintoto orizzontali e come calcolarne le equazioni.

 
 
 

Definizione di asintoto orizzontale

 

Sia f:Dom(f)\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R} una funzione e supponiamo che il suo dominio sia illimitato sia superiormente che inferiormente, ossia che esista un M>0 tale per cui la funzione sia definita per x<-M e per x>M. Diciamo che

 

r:\ y=k\ \ \ \mbox{con }k\in\mathbb{R}

 

è l'asintoto orizzontale destro della funzione f(x) (o asintoto orizzontale per x\to +\infty) se vale la condizione

 

\lim_{x\to +\infty}f(x)=k

 

In modo analogo diciamo che

 

s:\ y=h\ \ \ \mbox{con }h\in\mathbb{R}

 

è l'asintoto orizzontale sinistro della funzione f(x) (o asintoto orizzontale per x\to -\infty) se vale la condizione

 

\lim_{x\to +\infty}f(x)=h

 

Diremo infine che

 

t:\ y=c\ \ \ \mbox{con }c\in\mathbb{R}

 

è l'asintoto orizzontale bilatero della funzione f(x) (o asintoto orizzontale per x\to \pm\infty) se vale la condizione

 

\lim_{x\to -\infty}f(x)=c\ \ \ \mbox{e}\ \ \ \lim_{x\to +\infty}f(x)=c

 

In altri termini, nel caso in cui una funzione converga ad un valore finito ad uno dei due estremi illimitati del dominio diremo che in tale estremo illimitato la funzione presenta un asintoto orizzontale. L'equazione di un asintoto orizzontale è individuata dal valore del limite all'estremo infinito, ed è in particolare l'equazione di una retta orizzontale, ossia del tipo y=\mbox{numero}.

 

Significato geometrico degli asintoti orizzontali

 

Un asintoto orizzontale è una retta orizzontale che approssima l'andamento di una funzione, e quindi i valori che essa assume, al tendere di x\to +\infty oppure al tendere di x\to -\infty (a seconda dei casi).

 

Trattandosi di una retta orizzontale, un asintoto orizzontale viene individuato da un'equazione ad ordinata costante, ossia una retta parallela all'asse delle x con un'equazione della forma y=y_0 dove y_0 è un numero reale.

 

A titolo di esempio, la funzione rappresentata in figura converge al medesimo valore sia per x\to -\infty che per x\to +\infty e ammette quindi un asintoto orizzontale bilatero, in accordo con la definizione.

 

 

Asintoto orizzontale

Esempio di funzione con un asintoto orizzontale bilatero (in rosso).

 

 

Relazione degli asintoti orizzontali con i limiti

 

Com'è facilmente intuibile gli asintoti orizzontali forniscono un'interpretazione grafica della nozione di limite finito per x tendente all'infinito

 

Tipi di asintoti orizzontali

 

La definizione di asintoto orizzontale è piuttosto semplice e chiara, cionondimeno vale la pena di approfondirla considerando i possibili casi in cui una funzione può presentare uno o più asintoti orizzontali.

 

1) \lim_{x\to +\infty}f(x)=k

 

La funzione presenta un asintoto orizzontale destro di equazione y=k all'estremo illimitato destro del dominio, ossia per x\to +\infty. All'estremo illimitato sinistro può non essere definita, può divergere o ancora il limite per x\to -\infty può non esistere.

 

2) \lim_{x\to -\infty}f(x)=h

 

La funzione presenta un asintoto orizzontale sinistro di equazione y=h all'estremo illimitato sinistro del dominio, ossia per x\to -\infty. All'estremo illimitato destro può non essere definita, può divergere o ancora il limite per x\to +\infty può non esistere.

 

3) \lim_{x\to -\infty}f(x)=h\neq k=\lim_{x\to +\infty}f(x)

 

La funzione presenta due asintoti orizzontali distinti, di cui uno sinistro y=h e uno destro y=k

 

4) \lim_{x\to -\infty}f(x)=c=\lim_{x\to +\infty}f(x)

 

La funzione presenta un asintoto orizzontale bilatero, ossia il medesimo asintoto orizzontale ad entrambi gli estremi illimitati del dominio. Per citare un esempio, questa eventualità è tipica di alcune funzioni pari.

 

Naturalmente una funzione può non presentare alcun asintoto orizzontale e ciò accade quando agli estremi illimitati i due limiti sono infiniti, non esistono oppure se la funzione è definita su un dominio limitato (non è definita nell'intorno di -infinito e di +infinito).

 

Inoltre, dal teorema di unicità del limite è piuttosto evidente che una funzione non può ammettere più di un asintoto orizzontale in un medesimo estremo illimitato del dominio.

 

Asintoto orizzontale da sotto o da sopra? Limite per eccesso o per difetto?

 

Possiamo essere ancora più precisi. Per fissare le idee mettiamoci nel caso di x\to +\infty, e supponiamo che

 

\lim_{x\to+\infty}{f(x)}=k

 

cosicché y=k è un asintoto orizzontale destro per la funzione y=f(x).

 

Vi ricordate ciò che abbiamo visto nella definizione dei limiti finiti all'infinito? Se nel calcolare il precedente limite riusciamo a specificare se il risultato c viene conseguito per eccesso (da sopra) o per difetto (da sotto), dunque rispettivamente se

 

\lim_{x\to+\infty}{f(x)}=c^{+}\ \ \ \mbox{ oppure }\ \ \ \lim_{x\to+\infty}{f(x)}=c^{-}

 

allora saremo automaticamente in grado di dire se la funzione si approssima alla retta y=c da sopra o da sotto. Nel precedente esempio grafico l'asintoto orizzontale viene avvicendato sia a sinistra che a destra da sopra.

 

Possibili intersezioni del grafico con un asintoto orizzontale

 

Si noti che la definizione non vieta che il grafico della funzione intersechi un eventuale asintoto orizzontale; affinché sia presente un asintoto orizzontale ad un estremo illimitato è sufficiente che il limite della funzione al corrispondente infinito (negativo, positivo o entrambi) converga.

 

In sintesi l'approssimazione può dunque avvenire da sopra (per eccesso), da sotto (per difetto) e in entrambi i casi può esserci nessuna intersezione o un numero infinito di intersezioni, oltre le quali il grafico si approssima all'asintoto orizzontale senza intersecarlo. Questo tipo di intersezioni prendono il nome di punti di intersezione centrali con l'asintoto orizzontale.

 

Può anche capitare che il grafico della funzione intersechi l'asintoto orizzontale un numero infinito di volte man mano che si approssima ad esso: è il caso della celeberrima funzione

 

f(x)=\frac{\sin(x)}{x}

 

che ha come asintoto orizzontale bilatero y=0, in quanto dall'algebra di infiniti e infinitesimi

 

\lim_{x\to -\infty}\frac{\sin(x)}{x}=0\ \ \ \mbox{e}\ \ \ \lim_{x\to +\infty}\frac{\sin(x)}{x}=0

 

D'altra parte il suo grafico oscilla tra valori positivi e negativi schiacciandosi sempre di più sulla retta y=0 man mano che x\to +\infty, come potete constatare voi stessi disegnandone il grafico online.

 

Condizioni di esistenza e calcolo dell'equazione di un asintoto orizzontale

 

È il momento di passare alla pratica e di studiare il metodo che permette di stabilire se una funzione ammette uno, due o nessun asintoto orizzontale, e in caso affermativo di calcolarne le equazioni.

 

Quando una funzione può presentare un asintoto orizzontale?

 

Rispondere alla domanda è semplicissimo: non dobbiamo fare altro che determinare il dominio della funzione e osservarne la struttura:

 

A) se la funzione è definita in un intorno di -\infty, ossia ha il dominio della forma

 

(-\infty,a)\ ...

 

allora potrebbe esserci un asintoto orizzontale sinistro.

 

B) Se la funzione è definita in un intorno di +\infty, ossia ha il dominio delal forma

 

...\ (b,+\infty)

 

allora potrebbe esserci un asintoto orizzontale destro.

 

Come stabilire se una funzione presenta effettivamente un asintoto orizzontale e come calcolarne l'equazione

 

Dopo aver determinato il dominio della funzione non dovremo fare altro che calcolare i due limiti per x\to \pm\infty, a patto che abbia senso farlo

 

\\ \lim_{x\to -\infty}f(x)\ \ \ \mbox{ se il dominio lo consente}\\ \\ \lim_{x\to +\infty}f(x)\ \ \ \mbox{ se il dominio lo consente}\\ \\

 

Se il primo limite esiste finito e vale h, allora abbiamo un asintoto orizzontale sinistro di equazione y=h.

 

Se il secondo limite esiste finito e vale k, allora abbiamo un asintoto orizzontale destro di equazione y=k.

 

Se entrambi i limiti esistono finiti e presentano lo stesso valore c, allora abbiamo un asintoto orizzontale bilatero di equazione y=c.

 

Nel caso in cui uno dei due limiti non esista o se il dominio non consente di calcolarlo, non abbiamo nulla nel corrispondente estremo illimitato del dominio.

 

Nel caso in cui uno dei due limiti esista infinito l'analisi prosegue con la ricerca di un eventuale asintoto obliquo.

 

Esempi sugli asintoti orizzontali

 

Esempio 1

 

Data la funzione

 

f(x)=\frac{x^2+2x+7}{4+5x^2}

 

essa ha dominio dato da Dom(f)=(-\infty,+\infty). Attenzione perché il denominatore è la somma di un quadrato e di una costante, dunque è positivo per ogni x\in\mathbb{R} e non si annulla mai.

 

f(x) potrebbe presentare un asintoto orizzontale sia per x\to -\infty che per x\to +\infty.

 

Per stabilirlo dobbiamo calcolare i due limiti all'infinito e per farlo ci serviamo della tecnica di confronto tra infiniti

 

\\ \lim_{x\to-\infty}{\frac{x^2+2x+7}{4+5x^2}}=\frac{1}{5}\\ \\ \\ \lim_{x\to+\infty}{\frac{x^2+2x+7}{4+5x^2}}=\frac{1}{5}

 

da cui capiamo che essa ha un asintoto orizzontale bilatero di equazione y=\frac{1}{5}, come confermato dal grafico (che naturalmente dovete prendere per buono, almeno per il momento ;) ).

 

 

Asintoto orizzontale bilatero

Esempio di funzione con un asintoto orizzontale da sinistra e da destra (in rosso)
e un punto di intersezione centrale.

 

 

Esempio 2

 

Data la funzione

 

g(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}

 

essa ha dominio Dom(g)=(-\infty,+\infty) e ha come asintoto orizzontale destro la retta y=0, mentre a sinistra non ha alcun asintoto orizzontale. Infatti dall'algebra di infiniti e infinitesimi risulta che

 

\\ \lim_{x\to+\infty}{\left(\frac{1}{2}\right)^{x}}=0\\ \\ \\ \lim_{x\to-\infty}{\left(\frac{1}{2}\right)^{x}}=+\infty

 

 

Esempio 3 (asintoto orizzontale da sotto)


La funzione

 

h(x)=\frac{x}{e^{x}}+1

 

ha dominio Dom(h)=(-\infty,+\infty).

 

Essa presenta un asintoto orizzontale destro di equazione y=1 per x\to+\infty, mentre non ha alcun asintoto orizzontale per x\to-\infty. Per capirlo basta calcolare il limite a destra con un semplice confronto tra infiniti

 

\lim_{x\to +\infty}\left(\frac{x}{e^x}+1\right)=1

 

e il limite a sinistra con le regole di infiniti e infinitesimi

 

\lim_{x\to -\infty}\left(\frac{x}{e^x}+1\right)=-\infty

 

In particolare, riguardo al limite destro il confronto tra infiniti e l'algebra di infiniti e infinitesimi ci suggeriscono che

 

\lim_{x\to+\infty}{\frac{x}{e^{x}}+1}=1^{+}

 

per cui ne deduciamo che la funzione considerata si approssima alla retta y=1 da sopra al tendere di x\to +\infty.

 

 

Esempio di asintoto orizzontale da sotto

Esempio di funzione con un asintoto orizzontale destro (in rosso) da sopra.

 

 



Nota: nelle schede correlate di esercizi (svolti e non) viene richiesto di determinare tutti gli asintoti delle funzioni proposte. Se siete in fase di ripasso potete provare già a risolverli, in caso contrario se non l'aveste già fatto vi raccomandiamo la lettura della lezione precedente e successiva.

 

Qui abbiamo finito: non dimenticate che qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e spiegati nel dettaglio: potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. Tra le altre cose c'è anche un tool per calcolare gli asintoti online. ;)

 

[L'argomento di questa lezione viene trattato in sintesi anche nella sezione di lezioni dedicate allo studio di funzione]

 

 

작별 인사, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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