Confronto tra infiniti e ordini di infinito

Il confronto tra infiniti è una tecnica di calcolo dei limiti che consente di stabilire, ove possibile, quale tra due funzioni divergenti diverge più velocemente all'infinito; il confronto tra infiniti si basa su una serie di risultati teorici che stabiliscono una gerarchia negli ordini di infinito.

 

Aggiungiamo un ulteriore tassello nel bagaglio di metodi che ci permetteranno di risolvere le forme indeterminate, ed in particolare di calcolare i limiti che generano la forma indeterminata infinito su infinito. Qui di seguito forniremo dapprima la definizione rigorosa di infinito nel contesto dei limiti, dopodiché definiremo la nomenclatura relativa al confronto tra infiniti.

 

Con queste premesse passeremo quindi alle regole pratiche che esprimono la gerarchia negli ordini di infinito, le quali ci permetteranno di calcolare i limiti per confronto tra infiniti. Per concludere introdurremo la nozione di parte principale di un infinito e proporremo numerosi esempi.

 
 
 

Definizione di infinito (inteso come funzione)

 

La nozione di infinito nel contesto dei limiti è facilmente intuibile e a ben vedere l'abbiamo già formalizzata quando abbiamo presentato le definizioni di limite infinito per x tendente a un valore finito e di limite infinito per x tendente all'infinito. Cionostante è opportuno un rapido richiamo. ;)

 

Sia f:Dom(f)\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R} una funzione definita in un intorno di un punto x_0 di accumulazione per il suo dominio e definita in un intorno di +\infty (rispettivamente di -\infty).

 

Diciamo che f è un infinito per x\to x_0 se

 

\lim_{x\to x_0}f(x)=-\infty\ \ \ \mbox{oppure}\ \ \ \lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty

 

Diciamo che f è un infinito per x\to +\infty (rispettivamente per x\to -\infty) se

 

\ \lim_{x\to +\infty}f(x)=-\infty\ \ \ \mbox{oppure}\ \ \ \lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty

 

\mbox{rispettivamente}\ \lim_{x\to -\infty}f(x)=-\infty\ \ \ \mbox{oppure}\ \ \ \ \lim_{x\to -\infty}f(x)=+\infty

 

In altre parole nella teoria dei limiti si dice che una funzione è un infinito per x tendente ad un valore finito o infinito se la funzione diverge, ossia se ha limite infinito. Notate che la proprietà di una funzione di essere un infinito non può prescindere dal valore cui tende la x.

 

Cos'è il confronto tra infiniti

 

È il momento di entrare nel vivo e capire innanzitutto cos'è il confronto tra infiniti mediante gli ordini di infinito, che serve a risolvere la forma indeterminata

 

\left[\frac{\infty}{\infty}\right]

 

Premessa: in questa lezione vediamo come lavorare con le funzioni che generano infiniti e, fatto di rilievo, impareremo a distinguere tra i vari infiniti. In particolare, saremo in grado di dire quali funzioni generano infiniti "più grandi" e quali generano infiniti "più piccoli".

 

Dire che un infinito è "più grande" di un altro non è corretto in termini rigorosi, perché infinito è sempre infinito. Ha però senso, ed è infatti quel che capita, che alcune funzioni tendano all'infinito più velocemente di altre (poco importa che la divergenza avvenga positivamente o negativamente).

 

Si esprime questo fatto dicendo che una funzione al divergere all'infinito ha uno specifico ordine di infinito (o velocità di divergenza).

 

Un esempio. Confrontiamo, per x\to+\infty, i grafici della funzione identità y=x e della funzione esponenziale y=e^x.

 

 

Confronto tra infiniti

 

Anche se entrambe le funzioni divergono positivamente per x\to+\infty

 

\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty\ \ \ ;\ \ \ \lim_{x\to+\infty}x=+\infty

 

dal grafico è evidente che per x\to+\infty l'esponenziale (in rosso) diverge a +\infty più velocemente rispetto alla funzione identità, che ha come grafico la bisettrice del primo e del terzo quadrante (in blu). Come possiamo formalizzare questo fatto?

 

Confronto tra infiniti e vari ordini di infinito

 

Innanzitutto ci serve un modo rigoroso per confrontare due infiniti. Per fare ciò vengono in nostro soccorso quattro definizioni, che si basano su un criterio molto semplice e ci forniscono un metodo per stabilire sotto quali condizioni una funzione genera un infinito "più veloce", "uguale" o "più lento" dell'infinito generato da un'altra funzione.

 

Siano y=f(x)\mbox{ e }y=g(x) funzioni reali di variabile reale. Per fissare le idee supponiamo che esse divergano (indipendentemente dal segno)

 

\\ \lim_{x\to x_{0}}{f(x)}=\pm\infty=\lim_{x\to x_{0}}{g(x)}\\ \\ \lim_{x\to +\infty}{f(x)}=\pm\infty=\lim_{x\to \infty}{g(x)}

 

nel secondo caso abbiamo considerato x\to+\infty, ma varranno definizioni del tutto analoghe per x\to-\infty.

 

 

Definizione (infinito di ordine superiore)

 

Diciamo che f(x) è un infinito di ordine superiore rispetto a g(x) rispettivamente per x\to x_0 oppure per x\to+\infty se risulta che

 

\\ \lim_{x\to x_{0}}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\pm\infty\\ \\ \\ \lim_{x\to +\infty}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\pm\infty

 

Vale a dire che f(x) è un infinito di ordine superiore (più veloce) di g(x) se il rapporto \frac{f(x)}{g(x)} tende all'infinito per x\to x_0 nel primo caso oppure per x\to +\infty nel secondo caso.


Spiegazione: la definizione stabilisce che f(x) tende all'infinito più velocemente di g(x) mediante un puro e semplice rapporto; in termini grezzi, controllando quante volte g(x) sta in f(x) quando x\to x_0 nel primo caso oppure per x\to+\infty nel secondo caso.

 

Se il rapporto tende all'infinito (rispettivamente per x\to x_0 o per x\to+\infty) significa che la funzione f(x) diventa sempre più grande di g(x), che pure tende all'infinito.

 

Conclusione: f(x) tende all'infinito più velocemente di g(x). Modo sagace di dirlo: f(x) è un infinito di ordine superiore di g(x).

 

 

Definizione (infinito di ordine inferiore)

 

Diciamo che f(x) è un infinito di ordine inferiore rispetto a g(x) rispettivamente per x\to x_0 oppure per x\to+\infty se risulta che

 

\\ \lim_{x\to x_{0}}{\frac{f(x)}{g(x)}}=0\\ \\ \\ \lim_{x\to +\infty}{\frac{f(x)}{g(x)}}=0

 

Vale a dire che f(x) è un infinito di ordine inferiore (più lento) di g(x) se il rapporto \frac{f(x)}{g(x)} tende a zero per x\to x_0 nel primo caso oppure per x\to+\infty nel secondo caso.


Spiegazione: qui accade l'esatto opposto rispetto al caso precedentemente considerato. Per dire che f(x) tende all'infinito più lentamente di g(x), si guarda quante volte g(x) sta in f(x). Se il rapporto tende a zero risulta che g(x) sta sempre meno volte in f(x) per x\to x_0 oppure per x\to +\infty.

 

Tenendo conto che entrambe le funzioni tendono all'infinito (rispettivamente per x\to x_0 o per x\to+\infty) significa che g(x) cresce più velocemente della f(x), annullandola nel rapporto.


Si noti poi che se f(x) è un infinito di ordine inferiore rispetto a g(x), allora g(x) è un infinito di ordine superiore rispetto a f(x).

 

 

Definizione (infiniti dello stesso ordine)

 

Diciamo che f(x) è un infinito dello stesso ordine rispetto a g(x) rispettivamente per x\to x_0 oppure per x\to +\infty se risulta che

 

\\ \lim_{x\to x_{0}}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\mbox{costante}\neq 0\\ \\ \\ \lim_{x\to +\infty}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\mbox{costante}\neq 0

 

Vale a dire che f(x) è un infinito dello stesso ordine di g(x) se il rapporto \frac{f(x)}{g(x)} tende ad una costante per x\to x_0 nel primo caso oppure per x\to +\infty nel secondo caso.

 

Spiegazione: questo è probabilmente il caso più sottile tra i tre. Intuitivamente ci si aspetterebbe che, per dire che due quantità sono uguali, debbano avere rapporto pari a 1. Attenzione però: qui stiamo parlando di "stesso ordine", non di uguaglianza.

 

La definizione dice essenzialmente che f(x)\mbox{ e }g(x) tendono all'infinito con la stessa velocità se, per x\to x_0 o per x\to+\infty, il loro rapporto tende ad una costante non nulla. Tale costante va intesa come un coefficiente di proporzionalità, e sta a significare che le funzioni nel tendere all'infinito non assumono gli stessi valori, ma presentano lo stesso modo (o velocità) di tendere all'infinito. Hanno la stessa velocità di divergenza perchè nel tendere all'infinito il loro rapporto non cambia e rimane uguale ad una certa quantità costante.

 

 

Definizione (infiniti non confrontabili)

 

Diciamo che f(x)\mbox{ e }g(x) sono infiniti non confrontabili rispettivamente per x\to x_0 oppure per x\to +\infty se risulta che

 

\\ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}\ \not\exists\\ \\ \\ \lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{g(x)}\ \not\exists

 

Spiegazione: quello appena introdotto è il caso più particolare che esula dal contesto del confronto tra infiniti. In breve, se le due funzioni divergono per x\to x_0 oppure per x\to+\infty, e se il limite del rapporto non esiste, diciamo che gli infiniti generati dalle due funzioni non possono essere confrontati.

 

 

Osservazione (confronto tra infiniti da sinistra e da destra)

 

Le precedenti definizioni nel caso di x\to x_0 si riscrivono in modo del tutto analogo relativamente ai limiti da sinistra e da destra. In altri termini, il confronto tra infiniti può essere effettuato al tendere di x\to x_0^- e al tendere di x\to x_0^+ separatamente.

 

 

Esempi sulle definizioni del confronto tra infiniti

 

Possiamo proporre sin da subito alcuni semplici esempi sulle definizioni appena scritte, che non richiederanno niente più e niente meno che semplici calcoli algebrici.

 

 

1) La funzione f(x)=x^6 è un infinito di ordine superiore rispetto a g(x)=1000x^3 per x\to+\infty e per x\to-\infty, infatti

 

\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to +\infty}\frac{x^6}{1000x^3}=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^3}{1000}=+\infty

 

In modo analogo per x\to -\infty

 

\lim_{x\to -\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to -\infty}\frac{x^6}{1000x^3}=\lim_{x\to-\infty}\frac{x^3}{1000}=-\infty

 

In entrambi i casi abbiamo calcolato i limiti effettuando un'immediata semplificazione e applicando le regole dell'algebra di infiniti e infinitesimi. Gli stessi calcoli ci suggeriscono in modo piuttosto evidente che g(x) è un infinito di ordine inferiore per x\to -\infty e per x\to+\infty rispetto a f(x).

 

 

2) Le funzioni f(x)=\frac{1}{x-1}\mbox{ e }g(x)=\frac{1}{(x-1)(x+1)} sono infiniti dello stesso ordine per x\to 1^+.

 

Per vederlo dobbiamo calcolare il limite del rapporto, e per farlo dobbiamo calcolare un limite da destra

 

\lim_{x\to 1^+}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to 1^+}\frac{\frac{1}{x-1}}{\frac{1}{(x-1)(x+1)}}=

 

Applichiamo la regola algebrica per le frazioni di frazioni

 

=\lim_{x\to 1^+}\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}=\lim_{x\to 1^+}(x+1)=2

 

 

3) Le funzioni f(x)=x(\sin(x)+2)\mbox{ e }g(x)=x sono infiniti non confrontabili per x\to+\infty.

 

\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to +\infty}\frac{x(\sin(x)+2)}{x}=\lim_{x\to +\infty}(\sin(x)+2)

 

Otteniamo quindi un limite che non esiste, per cui si conclude che i due infiniti hanno ordini non confrontabili tra loro.

 

Gerarchia degli infiniti e velocità di divergenza

 

Mediante le definizioni base di limite (quelle elencate ne il concetto di limite e negli articoli successivi) si può dimostrare che valgono le seguenti relazioni tra le funzioni elementari e gli ordini di infinito che generano. È un procedimento dimostrativo meccanico, che qui tralasciamo.

 

Passando da una funzione alla successiva, il simbolo "<<" che possiamo chiamare "molto minore di" indica che stiamo passando ad un ordine di infinito superiore. La gerarchia degli infiniti cui si fa riferimento è ottenuta per x\to +\infty

 

\\ \log_{a}{x}<<x^b<<x^c<<d^x<<g^x<<x^x\\ \\ \mbox{per }x\to+\infty,\ \ \ \mbox{ con }a>0\ \wedge\ a\neq 1,\ \ \ 0<b<c,\ \ \ 1<d<g

 

La precedente catena di maggiorazioni individua la gerarchia principale degli ordini di infinito per x\to +\infty. Per estenderla al caso di x\to-\infty è necessario ragionare per composizione di funzioni e considerare una funzione f(x) tale che f(x)\to_{x\to -\infty}+\infty

 

\\ \log_{a}(f(x))<<(f(x))^b<<(f(x))^c<<d^{f(x)}<<g^{f(x)}<<(f(x))^{f(x)}\\ \\ \\ \mbox{per }x\to-\infty,\ \ \ \mbox{ dove }\lim_{x\to -\infty}f(x)=+\infty\\ \\ \\ \mbox{e con }a>0\ \wedge\ a\neq1,\ \ \ 0<b<c,\ \ \ 1<d<g

 

In modo analogo si possono estendere i risultati sugli ordini di infinito per x\to x_0 considerando opportunamente una funzione f(x) tale che f(x)\to_{x\to x_0}+\infty

 

\\ \log_{a}(f(x))<<(f(x))^b<<(f(x))^c<<d^{f(x)}<<g^{f(x)}<<(f(x))^{f(x)}\\ \\ \\ \mbox{per }x\to x_0,\ \ \ \mbox{ dove }\lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty\\ \\ \\ \mbox{e con }a>0\ \wedge\ a\neq1,\ \ \ 0<b<c,\ \ \ 1<d<g

 

Com'è facilmente intuibile nelle generalizzazioni sugli ordini di infinito la funzione elementare di riferimento rimane sempre la stessa, mentre la funzione f(x) che viene composta deve divergere positivamente in ogni caso (in modo da ricondursi alle gerarchie di base).

 

 

Osservazioni sugli ordini di infinito

 

- Si noti che le funzioni x^b,\ x^c includono anche le radici come potenze con esponente fratto, poiché b,c sono esponenti reali positivi per ipotesi.

 

- La regola

 

x^b<<x^c\ \ \ \mbox{ per }0<b<c

 

implica che potenze con esponenti maggiori generano infiniti di ordine superiore. Alla stessa stregua

 

d^x<<g^x\ \ \ \mbox{ per }1<d<g

 

implica che le funzioni esponenziali con basi maggiori generano infiniti di ordine superiore.

 

- Al contrario, i logaritmi della forma \log_a(x) generano infiniti del medesimo ordine comunque si consideri a>1, infatti dalla formula del cambiamento di base per i logaritmi

 

\log_{a}(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(a)}

 

dove \ln(a) è ovviamente una costante.

 

- Per quanto riguarda le funzioni iperboliche (seno iperbolico, coseno iperbolico - solo per universitari) è sufficiente fare riferimento alle definizioni e ricondursi alle esponenziali.

 

 

Esempio sugli ordini di infinito

 

y=\ln(x) in blu, y=x^3 in rosso, y=4^x in verde, y=x^x in grigio.

 

 

Ordini di infinito

 

 

Calcolo dei limiti per confronto tra gli ordini di infinito

 

Le regole relative agli ordini di infinito permettono di risolvere un gran numero di limiti per i quali, prima d'ora, non avremmo avuto alternative. In prima battuta è evidente che il confronto tra infiniti riguarderà i limiti di rapporti tra infiniti, ma come vedremo nel seguito non si limita ad essi.

 

Se vi capitasse di avere un limite del tipo

 

\lim_{x\to +\infty}{\frac{\log_{2}{(x+45)}}{\sqrt[5]{x}}}

 

adesso sapreste automaticamente che vale zero, perchè la funzione a numeratore è un infinito di ordine inferiore rispetto a quella a denominatore.

 

Limiti più complessi che comportano il confronto tra infiniti e lo studio delle velocità di divergenza richiedono, il più delle volte, calcoli o altri strumenti della teoria dei limiti prima di giungere ad una soluzione (si veda a tal proposito la lezione sui metodi di risoluzione per le forme indeterminate). Resta il fatto che la tabella precedente ci permette di dare risposta ad alcuni dei limiti che i limiti notevoli, da soli, non potrebbero risolvere.

 

Per concludere il quadro ci serve anche la nozione di parte principale di infinito, ma prima soffermiamoci su alcuni esempi

 

 

Esempi

 

1) \lim_{x\to +\infty}{\frac{x^{4}}{x^{2}}}=\lim_{x\to +\infty}{x^{2}}=+\infty

 

A volte non c'è niente di complicato nel confrontare due infiniti, perchè l'algebra elementare viene in nostro soccorso.

 

 

2) \lim_{x\to +\infty}\frac{2^x}{x^2}=+\infty

 

 

3) Un esempio di quanto detto nelle ultime righe: come dobbiamo comportarmi con il seguente limite?

 

\lim_{x\to +\infty}{\frac{\ln{\left( 5^x\right)}}{e^{\ln{(x)}}}}

 

Un trucco algebrico - le sempreverdi proprietà dei logaritmi - ci permette di riscriverlo nella forma

 

\lim_{x\to +\infty}{\frac{x\ln{(5)}}{x}}=\ln{(5)}

 

e quindi le due funzioni sono infiniti dello stesso ordine. Morale: oltre agli ordini di infinito spesso e volentieri servono anche gli altri metodi di calcolo dei limiti, compresa la pura e semplice manipolazione algebrica.

 

Parte principale di un infinito

 

Per concludere è essenziale introdurre una nozione che ci consentirà di estendere la tecnica del confronto tra infiniti a una vastissima gamma di funzioni: il concetto di parte principale di infinito.

 

Il confronto tra infiniti funziona meravigliosamente nel caso dei limiti di rapporti, ma che dire a proposito dei limiti in cui compaiono somme o differenze, o più in generale espressioni miste in cui sono presenti somme e/o differenze?

 

Un esempio servirà a ricordarci che non è tutto rose e fiori:

 

\lim_{x\to +\infty}{\frac{x^{5}+4^{7x}+10^{12}+x^x}{x^{780}+100^{12}+2^{x}}}

 

Come dobbiamo comportarci in un caso del genere? Il concetto di parte principale di infinito risolve brillantemente la questione. In una somma/differenza di infiniti possiamo ridurci a considerare per equivalenza solamente l'infinito di ordine superiore, che nella somma/differenza prende il nome di parte principale dell'infinito.

 

La giustificazione algebrica è piuttosto semplice. Consideriamo due funzioni f(x)\mbox{ e }g(x) che divergono per x tendente a un valore finito o infinito (per fissare le idee supponiamo per x\to +\infty)

 

\lim_{x\to +\infty}(f(x)\pm g(x))

 

e supponiamo che f(x)<<_{x\to +\infty}g(x). Poiché f(x) è l'infinito di ordine superiore tra i due, raccogliendolo

 

\lim_{x\to +\infty}f(x)\left(1\pm \overbrace{\frac{g(x)}{f(x)}}^{\to 0}\right)

 

otteniamo un limite in cui compare un rapporto di infiniti. Nella nostra ipotesi tale rapporto tenderà a zero, per cui il limite della iniziale è equivalente a

 

\lim_{x\to +\infty}f(x)

 

In sintesi in una somma o differenza di infiniti è del tutto equivalente limitarsi a considerare la parte principale dell'infinito, vale a dire l'infinito di ordine superiore. Questa tecnica di calcolo prende il nome di principio di eliminazione degli infiniti di ordine inferiore.

 

A proposito: naturalmente in una somma/differenza con infiniti, termini costanti e infinitesimi quest'ultimi sono assolutamente irrilevanti, come ci insegna l'algebra di infiniti e infinitesimi. ;)

 

Nella pratica chi è alle prime armi può prendere confidenza con il metodo abituandosi a raccogliere l'infinito di ordine superiore nelle varie somme coinvolte nei limiti; è ciò che si fa tipicamente alle scuole superiori applicando il cosiddetto metodo della messa in evidenza. Acquisita l'esperienza necessaria è bene però abituarsi ad individuare l'infinito di ordine principale a occhio, e scrivere il limite equivalente senza fare alcun calcolo. 

 

 

Esempi

 

1) \lim_{x\to +\infty}{\frac{x^{5}+4^{7x}+10^{12}+x^x}{x^{780}+100^{12}+2^{x}}}=\lim_{x\to +\infty}{\frac{x^x}{2^x}}=+\infty

 

 

2) \lim_{x\to +\infty}\frac{4x^3+500}{x^3+x^2-3000}=\lim_{x\to +\infty}\frac{4x^3}{x^3}=4

 

 


 

Se avete affrontato questo argomento per la prima volta, non demoralizzatevi. Vi assicuriamo che il confronto tra infiniti è estremamente semplice! Un buon modo per acquisire dimestichezza consiste nel svolgere tanti esercizi e nel consultare un buon numero di esercizi svolti. Niente paura: ce ne sono a iosa nelle schede correlate e avete anche a disposizione un comodo tool per calcolare i limiti online. ;)

 

Un'ultima noticina rivolta esclusivamente agli studenti universitari: la nozione di parte principale di infinito verrà ripresa e formalizzata nel seguito, quando tratteremo le equivalenze asintotiche.

 

 

Ardievas, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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