Teorema del confronto per i limiti

Il teorema del confronto per i limiti, detto anche teorema dei carabinieri, è un teorema che sotto determinate ipotesi permette di determinare il risultato di un limite finito o infinito mediante opportune minorazioni e maggiorazioni della funzione.

In questa lezione proponiamo l'enunciato e la dimostrazione del teorema del confronto per i limiti di funzioni, altrimenti detto teorema dei due carabinieri, grazie al quale è possibile risolvere agevolmente dei limiti all'apparenza impossibili. Premettiamo che per padroneggiare correttamente questa tecnica è necessario avere un discreto background e saper lavorare con le disuguaglianze. Se non sapete come fare, niente paura: l'esercizio e il continuo allenamento vi permetteranno di acquisire la dimestichezza necessaria.

A proposito: chi è interessato alla versione del teorema del confronto per i limiti di successioni può leggere la lezione dell'omonimo link. ;)

Il teorema del confronto consiste di due formulazioni a seconda che il risultato del limite sia finito (per x tendente a un valore finito o all'infinito) oppure che sia infinito (per x tendente a un valore finito o all'infinito).

Trattiamo i due casi separatamente; riporteremo solamente la dimostrazione per il caso del limite finito, che è quello maggiormente richiesto nelle interrogazioni e negli esami universitari. Se riuscirete a comprenderla fino in fondo potrete cimentarvi senza problemi nella costruzione delle dimostrazioni per gli altri casi.

Teorema del confronto per limiti finiti (teorema dei due carabinieri)

Enunciato del teorema del confronto per limiti finiti. Sia $x_0\in\mathbb{R}\cup\{\pm\infty\}$ un punto di accumulazione per il dominio di tre funzioni $f,\ g,\ h$ definite in un intorno di (eventualmente bucato se $x_0\in\mathbb{R}$ ) che chiameremo . Supponiamo inoltre che:

Hp-1) per ogni $x\in I$ la funzione assuma valori non inferiori a e non superiori a , ossia

$f(x)\le g(x)\le h(x)\quad\forall x\in I$

Hp-2) i due limiti per tendente a di e esistano finiti e valgano entrambi $\ell$

$\lim_{x\to x_0}f(x)= \lim_{x\to x_0}h(x)= \ell\ \ \ \mbox{con }\ell\in \mathbb{R}$

allora, sotto tali ipotesi, risulta che il limite per $x\to x_0$ di vale $\ell$

$\lim_{x\to x_0} g(x)= \ell$

Significato del teorema e del nome: perché teorema dei due carabinieri?

Che cosa ci dice il teorema? Gli ingredienti sono tre funzioni definite in un intorno di , che può essere un valore finito (intorno bucato) oppure infinito (intorno di infinito). In tale insieme esse devono soddisfare la condizione $f(x)\leq g(x)\leq h(x)$ . Se le funzioni (funzione minorante) e (funzione maggiorante) hanno lo stesso limite finito per che tende a , allora costringono anche ad avere lo stesso limite per $x\to x_0$ .

Come potete immaginare, il nome informale teorema dei due carabinieri discende dal fatto che le funzioni esterne si comportano come i carabinieri che accompagnano il detenuto (la funzione interna) in prigione. ;)

A ben vedere l'enunciato è piuttosto semplice e intuitivo, ma nel caso non lo fosse possiamo rappresentarne il significato geometrico con un esempio grafico. In riferimento al caso di un limite finito per tendente a un valore finito $x_0\in\mathbb{R}$

Teorema dei carabinieri

Significato del teorema del confronto per i limiti finiti al finito.

È importante osservare che l'asserto del teorema del confronto per limiti finiti è estremamente flessibile, e vale sia per tendente a un valore finito, sia per tendente all'infinito. Nel primo dei due casi vale anche se sostituiamo il limite bilatero separatamente con i limiti destro e sinistro.

Dimostrazione del teorema del confronto

Attenzione: non ci interessa propinarvi ogni possibile dimostrazione da ripetere a pappagallo. Il nostro intento è far sì che digeriate la logica di una dimostrazione, in modo che possiate ricavare le altre in completa autonomia. Per questo motivo dimostriamo il teorema del confronto solamente nel caso di un limite finito per x tendente a un valore finito $x_0\in\mathbb{R}$ .

Per l'ipotesi Hp-2) sappiamo che i limiti delle funzioni esterne esistono finiti e che presentano lo stesso valore

$\lim_{x\to x_0}f(x)=\lim_{x\to x_0}h(x)=\ell\in\mathbb{R}$

per definizione di limite finito per x tendente a un valore finito, sappiamo che

$\lim_{x\to x_0}f(x)=\ell$

se per ogni $\varepsilon>0$ esiste un $\delta_1>0$ tale che, se $x\in I$ e soddisfa la relazione $0<|x-x_0|<\delta_1$ , si ha che

$\ell-\varepsilon<f(x)<\ell+\varepsilon\ \ \ (1)$

Inoltre, dalla definizione di limite sappiamo anche che

$\lim_{x\to x_0}h(x)=\ell$

vale se per ogni $\varepsilon>0$ riusciamo a determinare un $\delta_2>0$ tale che, se $x\in I$ con $0<|x-x_0|<\delta_2$ , allora risulta che:

$\ell-\varepsilon<h(x)<\ell+\varepsilon\ \ \ (2)$

Ottimo! Adesso definiamo $\delta$ come il più piccolo tra i valori $\delta_1,\delta_2$

$\delta= \min(\delta_1, \delta_2)$

Per tale $\delta$ valgono contemporaneamente le condizioni (1) e (2). Utilizzando l'ipotesi Hp-1) scopriamo che:

$\ell-\varepsilon<f(x)\leq g(x)\leq h(x)<\ell+\varepsilon$

Pertanto se appartiene all'intorno bucato con $0<|x-x_0|<\delta$ , allora varrà ovviamente

$\ell-\varepsilon<g(x)<\ell+\varepsilon$

che in accordo con la definizione di limite si traduce in

$\lim_{x\to x_0}g(x)=\ell$

Abbiamo portato a termine la dimostrazione del teorema del confronto! :)

Quando e come utilizzare il teorema del confronto

Il teorema dei due carabinieri ci torna particolarmente utile nei limiti in cui compaiono la funzione seno o la funzione coseno. In particolare potranno risultare utili le seguenti disuguaglianze notevoli:

$\\ \bullet)\ \ \ -1\leq \sin(x)\leq 1\ \ \ \forall x\in\mathbb{R}\\ \\ \bullet)\ \ \ -1\leq \cos(x)\leq 1\ \ \ \forall x\in\mathbb{R}\\ \\ \bullet)\ \ \ |\sin(x)|\le |x|\ \ \ \forall x\in\mathbb{R}$

Le prime due disuguaglianze notevoli discendono dalla proprietà per cui $\sin(x)\mbox{ e }\cos(x)$ sono funzioni limitate a valori in , e sono utili soprattutto negli esercizi sui limiti finiti per tendente all'infinito. La terza disuguaglianza invece può essere dimostrata graficamente ed è preziosa nei limiti finiti per tendente a un valore finito.

Esempi sul teorema dei due carabinieri

E-1) Come primo esempio ci concentriamo su un limite finito per tendente a un valore finito

$\lim_{x\to 0} x\sin\left(\frac{1}{x}\right)$

Per procedere utilizzeremo il teorema dei carabinieri, ma per innescarlo dobbiamo determinare due funzioni e che hanno lo stesso limite per che tende a zero e tali che risulti

$f(x)\le x\sin\left(\frac{1}{x}\right)\le h(x)$

Si dimostra abbastanza agevolmente che:

$\overbrace{-|x|}^{= f(x)}\le\overbrace{ x\sin\left(\frac{1}{x}\right)}^{=g(x)}\le \overbrace{|x|}^{h(x)}\quad\forall x\ne 0$

e, fatto ciò, è facile vedere che

$\lim_{x\to 0}-|x|= \lim_{x\to 0}|x|= 0$

Per il teorema del confronto concludiamo che il limite della funzione in esame vale zero

$\lim_{x\to 0}x\sin\left(\frac{1}{x}\right)= 0$

E-2) Vediamo un esempio di limite finito all'infinito

$\lim_{x\to \infty}\sin\left(\frac{1}{x}\right)$

Ormai abbiamo capito che il primo passo consiste nella ricerca di due funzioni e che soddisfino le ipotesi del teorema.

In un intorno di $+\infty$ è facile osservare che $\frac{1}{x}>0$ e che $\frac{1}{x}\to_{x\to +\infty} 0^+$ , in accordo con l'algebra di infiniti e infinitesimi. Da un lato abbiamo la certezza che $\sin\left(\frac{1}{x}\right)$ sia maggiore o uguale a zero (basta tenere a mente il comportamento della funzione seno in un intorno destro di zero), dall'altro grazie ad una delle disuguaglianze notevoli possiamo scrivere

$0\le \sin\left(\frac{1}{x}\right)\le \frac{1}{x}\ \ \ \forall x>0$

e poiché

$\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x}=0$

concludiamo che

$\lim_{x\to \infty}\sin\left(\frac{1}{x}\right)=0$

Teorema del confronto per limiti infiniti (teorema del carabiniere)

Oltre al caso visto in precedenza vale una formulazione anche per i limiti infiniti sia per tendente a un valore finito, sia per tendente all'infinito. Onde evitare di fare confusione proponiamo due enunciati distinti.

Enunciato del teorema del confronto per limiti infiniti con x tendente a un valore finito

Siano due funzioni definite in un intorno sinistro di un punto di accumulazione $x_0\in\mathbb{R}$ dei loro domini, e supponiamo che per ogni $x\in I_-$ la funzione assuma valori non inferiori rispetto a

$f(x)\leq g(x)\ \ \ \forall x\in I_-$

→ se $\lim_{x\to x_0^{-}} f(x)= +\infty$ allora risulta che $\lim_{x\to x_0^{-}}g(x)= +\infty$

→ se $\lim_{x\to x_0^{-}} g(x)= -\infty$ allora risulta che $\lim_{x\to x_0^{-}}f(x)= -\infty$

Nel caso di un intorno destro vale un enunciato del tutto analogo, con le ovvie modifiche del caso.

Enunciato del teorema del confronto per limiti infiniti con x tendente all'infinito

Siano due funzioni definite in un intorno $I_{+\infty}$ di $+\infty$ , e supponiamo che per ogni $x\in I_{+\infty}$ la funzione assuma valori non inferiori rispetto a

$f(x)\leq g(x)\ \ \ \forall x\in I_{+\infty}$

→ se $\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$ allora risulta che $\lim_{x\to +\infty}g(x)= +\infty$

→ se $\lim_{x\to +\infty}g(x)=-\infty$ allora risulta che $\lim_{x\to +\infty}f(x)= -\infty$

Nel caso di un intorno $I_{-\infty}$ di $-\infty$ vale un enunciato del tutto analogo, con le ovvie modifiche del caso.

Significato del teorema e del nome: perché teorema del carabinieri?

A differenza del teorema dei due carabinieri, in cui sono presenti tre funzioni, qui ne bastano due: è sufficiente che ci sia una funzione (un solo carabiniere) che costringa l'altra a divergere all'infinito (positivamente o negativamente a seconda dei casi). Bisogna stare molto attenti: l'enunciato di per sé è facile se viene letto nell'ottica della costrizione, l'unica difficoltà riguarda la corretta formulazione di ipotesi e tesi.

Esempio

E-3) Il limite

$\lim_{x\to \infty}x^2 (\sin(x)+2)$

vale più infinito, infatti si ha che

$\sin(x)\ge -1\ \ \ \forall x\in \mathbb{R}$

Sommando membro a membro 2, otteniamo

$2+\sin(x)\ge 1$

Ora moltiplichiamo membro a membro per , che è una quantità positiva e dunque non inverte il verso della disuguaglianza:

$x^2 (2+\sin(x))\ge x^2$

Noi conosciamo bene il limite della funzione minorante, è molto semplice da calcolare

$\lim_{x\to +\infty}x^2= +\infty$

e grazie al teorema del confronto anche il limite di partenza diventa semplicissimo

$\lim_{x\to +\infty}x^2(2+\sin(x))= +\infty$

Ok, a questo punto vi preghiamo cortesemente di non demoralizzarvi. Nella pratica gli esercizi sui limiti che richiedono l'applicazione del teorema del confronto sono pochi e, soprattutto, sono riconoscibilissimi.

Non vi resta che rimboccarvi le maniche e iniziare ad esercitarvi a manetta: servitevi pure del tool sul calcolo dei limiti online per verificare i risultati dei vostri esercizi, proseguite con la lettura delle lezioni e ricordate che qui su YM potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

Buona Matematica a tutti!

Salvatore Zungri (Ifrit)

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