Limiti notevoli: come si usano

Dopo aver visto la tavola dei limiti notevoli dobbiamo capire come usare i limiti notevoli per calcolare i limiti. La premessa per il lettore è che essi costituiscono uno dei principali strumenti per risolvere le forme indeterminate.

 

Nel corso di questa importantissima lezione presenteremo i due metodi che consentono di applicare i limiti notevoli. Un piccolo antipasto: la prima tecnica che presenteremo, e che chiameremo metodo ingenuo, è l'approccio da seguire per chi sta studiando per la prima volta i limiti notevoli. È una tecnica piuttosto macchinosa che ha lo scopo di far prendere confidenza con i limiti notevoli, e la chiamiamo ingenua perché richiede molti passaggi semplici e meccanici.

 

Dopo averla digerita è d'obbligo - per tutti, studenti delle scuole superiori ed universitari - passare alla tecnica avanzata. Come vedremo essa non aggiungerà nulla dal punto di vista teorico ma ci permetterà di applicare i limiti notevoli molto velocemente. Non commettete l'errore di pensare di poterne fare a meno; come abbiamo scritto, il passaggio dal metodo ingenuo a quello avanzato è un passo obbligatorio per qualsiasi studente alle prese con la teoria dei limiti.

 

Nota bene: non demoralizzatevi nel caso non capiate tutto e subito. L'applicazione dei limiti notevoli è il cuore della teoria e per comprenderla a fondo è richiesto molto esercizio. ;)

 

Come applicare i limiti notevoli

 

Come abbiamo anticipato nella lezione sui metodi di risoluzione per le forme di indecisione, i limiti notevoli ci permettono di risolvere buona parte delle forme indeterminate. Non tutte purtroppo, ma ci toglieranno dai guai in tantissime circostanze.

 

Consideriamo ad esempio il limite

 

\lim_{x\to 0}{\frac{\sin{(x)}}{\ln{(1+x)}}}=\left[\frac{0}{0}\right]

 

Se proviamo ad effettuare le sostituzioni mediante l'algebra di infiniti e infinitesimi ci accorgiamo subito che esso genera una forma indeterminata del tipo zero su zero, e quindi non può essere risolto con i metodi di calcolo standard.

 

Spoiler: quello che abbiamo appena scritto è uno dei tantissimi limiti che possiamo calcolare con i limiti notevoli. :)

 

Come applicare i limiti notevoli con il metodo ingenuo

 

Come possiamo usare i due limiti notevoli per calcolare il limite in questione?

 

\lim_{x\to 0}{\frac{\sin{(x)}}{\ln{(1+x)}}}

 

Se guardiamo la tabella dei limiti notevoli intuiamo che ce ne sono due che potrebbero fare al caso nostro:

 

\lim_{x\to 0}{\frac{\sin{(x)}}{x}}=1\ \ \ \mbox{ e }\ \ \ \lim_{x\to 0}{\frac{\ln{(1+x)}}{x}}=1

 

Intanto notiamo che il limite considerato va calcolato per x\to 0 e che i due limiti notevoli trascritti dalla tabella si applicano per x\to 0, quindi le premesse sono favorevoli. Poiché moltiplicando e dividendo per una medesima quantità otteniamo una quantità equivalente a quella iniziale, potremmo fare una furbata e moltiplicare e dividere per x

 

\lim_{x\to 0}{\frac{\sin(x)}{\ln(1+x)}}=\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{\ln(1+x)}\cdot\frac{x}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{\frac{\sin(x)}{x}}{\frac{\ln(1+x)}{x}}=

 

Ci siamo magicamente messi nella condizione di applicare i due limiti notevoli, grazie ai quali sappiamo che per x\to 0 numeratore e denominatore tendono a 1

 

=\lim_{x\to 0}\frac{\overbrace{\frac{\sin(x)}{x}}^{\to 1\mbox{ per }x\to 0}}{\underbrace{\frac{\ln(1+x)}{x}}_{\to 1\mbox{ per }x\to 0}}=\frac{1}{1}=1

 

Come funziona la tecnica ingenua per applicare i limiti notevoli

 

Il semplice esempio dovrebbe lasciare trasparire la logica di quello che abbiamo chiamato metodo ingenuo. Quando ci troviamo di fronte ad un limite che genera una forma indeterminata dobbiamo indagare scrupolosamene due aspetti:

 

- l'espressione analitica della funzione coinvolta presenta dei termini che sono riconducibili ad un qualche limite notevole?

 

- il valore cui tende la x. Da non sottovalutare: i limiti notevoli possono essere applicati solamente quando x tende a uno specifico valore, che varia al variare di ciascun limite notevole.

 

Immaginate che il limite che dobbiamo calcolare sia un malato affetto da una qualche patologia (la forma indeterminata). I limiti notevoli sono semplicemente dei medicinali che abbiamo a disposizione. L'indagine sui sintomi della malattia (espressione e valore cui tende la x) ci permette di capire quale medicina somministrare e, di conseguenza, di curarla (risolvere la forma di indecisione applicando i risultati dei limiti notevoli).

 

Una volta che abbiamo capito di dover usare un limite notevole e quale limite notevole usare, procederemo con trucchi algebrici elementari per metterci nella condizione di applicarlo: moltiplicare e dividere per una stessa quantità, sommare e sottrarre una stessa quantità e trucchi affini. L'importante è che i passaggi siano algebricamente consentiti e che conducano sempre ad espressioni algebricamente equivalenti.

 

Esempio 2

 

\lim_{x\to 0}\frac{\cos(x)-1}{\sin(x)}

 

Anche qui, se proviamo a sostituire x=0 nell'espressione della funzione ci ritroviamo in un vicolo cieco: \left[\frac{0}{0}\right].

 

Osserviamo che x\to 0 e leggendo la tabella dei limiti notevoli notiamo che ce ne sono due particolarmente interessanti per il nostro caso

 

\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}=1\ \ \ \mbox{ e }\ \ \ \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(x)}{x^2}=\frac{1}{2}

 

Il limite presenta due termini strutturalmente molto simili alle espressioni richieste dai due limiti notevoli, anzi...

 

\lim_{x\to 0}\frac{\cos(x)-1}{\sin(x)}=-\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(x)}{\sin(x)}=

 

... possiamo dire del tutto identiche. ;) Moltiplichiamo e dividiamo per x

 

=-\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(x)}{x\cdot \frac{\sin(x)}{x}}=

 

e siamo nella condizione di applicare il limite notevole del seno. Per poter applicare il limite notevole del coseno dobbiamo moltiplicare e dividere ancora una volta per x

 

=-\lim_{x\to 0}\frac{x\cdot (1-\cos(x))}{x^2\cdot \frac{\sin(x)}{x}}=

 

Ci siamo!

 

=-\lim_{x\to 0}\overbrace{x}^{\to 0\mbox{ per }x\to 0}\cdot\frac{\overbrace{\frac{1-\cos(x)}{x^2}}^{\to \frac{1}{2}\mbox{ per }x\to 0}}{\underbrace{\frac{\sin(x)}{x}}_{\to 1\mbox{ per }x\to 0}}=\frac{0\cdot \frac{1}{2}}{1}=0

 

Tutto ok? Ora vi anticipiamo cosa succederà: affronterete una decina di esercizi sui limiti notevoli (semplici da risolvere), prenderete confidenza con il metodo e vi renderete conto che il metodo ingenuo è scomodissimo, perché richiede una marea di passaggi. Vi assicuriamo che i due esempi sono veramente semplici e che la situazione può peggiorare moltissimo, anche perché la tabella dei limiti notevoli non contempla solamente i limiti in x ma anche quelli in forma generale. ;)

 

Non scoraggiatevi e procediamo con ordine.

 

Come applicare i limiti notevoli con il metodo avanzato - equivalenze asintotiche o principio di sostituzione degli infinitesimi equivalenti

 

Il metodo avanzato segue esattamente la medesima logica della tecnica ingenua, solo che richiede meno passaggi. Esso introduce il concetto di equivalenza asintotica (o principio di sostituzione degli infinitesimi equivalenti), il quale permette di evitare tutti i passaggi algebrici del metodo ingenuo.

 

Ad eccezione del limite notevole del numero di Nepero

 

\lim_{x\to \pm\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e

 

tutti gli altri limiti notevoli sono espressi sotto forma di rapporto

 

\lim_{x\to 0}\frac{\mbox{numeratore}}{\mbox{denominatore}}=\mbox{risultato L.N.}

 

Quando risolviamo un limite applicando i limiti notevoli con il metodo ingenuo, cosa facciamo? Ci assicuriamo che x tenda al giusto valore imposto dal limite notevole, individuiamo il numeratore del limite notevole nell'espressione della funzione e lo moltiplichiamo e dividiamo per il denominatore del limite notevole.

 

In questo modo costruiamo l'espressione del limite notevole e ci mettiamo nella condizione di applicarlo

 

\lim_{x\to 0}\mbox{\ numeratore\ }=\lim_{x\to 0}\ \frac{\mbox{numeratore}}{\mbox{denominatore}}\ \cdot\ \mbox{denominatore}=

 

Applicando il limite notevole il primo rapporto tende al risultato del limite notevole

 

=\lim_{x\to 0}\ \overbrace{\frac{\mbox{numeratore}}{\mbox{denominatore}}}^{\mbox{risultato L.N.}}\ \cdot\ \mbox{denominatore}

 

La tecnica avanzata prevede di saltare la trafila dei passaggi algebrici e di passare direttamente alla conclusione: se la x tende al valore previsto dal limite notevole, e se nell'espressione della funzione compare il numeratore del limite notevole, allora possiamo sostituire direttamente il numeratore con il prodotto tra il risultato del limite notevole e il denominatore

 

\lim_{x\to 0}\mbox{numeratore}=\lim_{x\to 0}\ \mbox{risultato L.N.}\ \cdot\ \mbox{denominatore}

 

La sostituzione così ottenuta prende il nome di equivalenza asintotica e segue il cosiddetto principio di sostituzione degli infinitesimi equivalenti. Essa ci permette di applicare il limite notevole, passando dal limite in forma originaria ad un limite equivalente ad esso.

 

In buona sostanza la tecnica avanzata permette di rileggere i limiti notevoli sotto forma di rapporto come equivalenze nel passaggio al limite, e dunque di leggerli in un'ottica di sostituzione.

 

Ogni limite notevole individua un'equivalenza asintotica ben precisa, ad esempio:

 

\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}=1\implies se il limite va calcolato per x\to 0 possiamo sostituire \sin(x) con x

 

\lim_{x\to 0}\frac{\arcsin(x)}{x}=1\implies se il limite va calcolato per x\to 0 possiamo sostituire \arcsin(x) con x

 

\lim_{x\to 0}\frac{a^x-1}{x}=\ln(a)\implies se il limite va calcolato per x\to 0 possiamo sostituire a^x-1 con x\cdot \ln(a)

 

\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(x)}{x^2}=\frac{1}{2}\implies se il limite va calcolato per x\to 0 possiamo sostituire 1-\cos(x) con \frac{x^2}{2}

 

e così via.

 

Riguardo alle notazioni, nel momento in cui si applica un'equivalenza asintotica il limite di partenza e quello di arrivo sono correlati dal simbolo di uguaglianza (proprio perché si tratta di due limiti equivalenti); se invece vogliamo indicare simbolicamente l'equivalenza asintotica tra il numeratore e il prodotto tra il denominatore e il risultato del limite notevole, scriveremo

 

\mbox{numeratore}\sim_{x\to x_0}\mbox{risultato L.N.}\cdot \mbox{denominatore}

 

Ad esempio

 

\\ \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}=1\ \ \ \implies \ \ \ \sin(x)\sim_{x\to 0}x\\ \\ \\ \lim_{x\to 0}\frac{\arcsin(x)}{x}=1\ \ \ \implies \ \ \ \arcsin(x)\sim_{x\to 0}x\\ \\ \\ \lim_{x\to 0}\frac{a^x-1}{x}=\ln(a)\ \ \ \implies \ \ \ a^x-1\sim_{x\to 0}x\cdot \ln(a)\\ \\ \\ \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(x)}{x^2}=\frac{1}{2}\ \ \ \implies \ \ \ 1-\cos(x)\sim_{x\to 0}\frac{x^2}{2}

 

Nota: per il limite notevole neperiano purtroppo la corrispondente equivalenza asintotica non è facilmente applicabile, quindi per il momento dovete assumere che non sia applicabile.

 

Primi esempi di applicazione dei limiti notevoli con le equivalenze asintotiche

 

1) Vediamo quanto velocemente possiamo risolvere il primo esempio relativo al metodo ingenuo

 

\lim_{x\to 0}{\frac{\sin{(x)}}{\ln{(1+x)}}}

 

Sappiamo già di poter applicare i limiti notevoli del seno e del logaritmo, quindi non indugiamo: scriviamo i limiti notevoli da applicare e le relative equivalenze asintotiche

 

\\ \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}\ \ \ \implies\ \ \ \sin(x)\sim_{x\to 0}x\\ \\ \\ \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1\ \ \ \implies\ \ \ \log(1+x)\sim_{x\to 0}x

 

Possiamo dunque calcolare il limite equivalente

 

\lim_{x\to 0}{\frac{\sin{(x)}}{\ln{(1+x)}}}=\lim_{x\to 0}\frac{x}{x}=1

 

Come potete immaginare con il continuo esercizio memorizzerete automaticamente tutte le equivalenze asintotiche dei limiti notevoli, e riuscirete a riconoscerle e ad applicarle in un baleno. ;)

 

 

2) A volte per riconoscere la struttura del limite notevole da applicare può essere necessario un po' di lavoro preparatorio. Nel caso di

 

\lim_{x\to 0}\frac{xe^x-x}{\log_3(1+x)}

 

è sufficiente effettuare un raccoglimento a fattore comune al numeratore

 

\lim_{x\to 0}\frac{xe^x-x}{\log_3(1+x)}=\lim_{x\to 0}\frac{x(e^x-1)}{\log_3(1+x)}=(\bullet)

 

Poiché il limite va calcolato per x\to 0, e poiché ci sono due termini ben riconducibili ad altrettanti limiti notevoli, individuiamo i corrispondenti infinitesimi equivalenti

 

\\ \lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1\ \ \ \implies\ \ \ e^x-1\sim_{x\to 0}x\\ \\ \\ \lim_{x\to 0}\frac{\log_3(1+x)}{x}=\frac{1}{\ln(3)}\ \ \ \implies\ \ \ \log_3(1+x)\sim_{x\to 0}\frac{x}{\ln(3)}

 

e procediamo al calcolo usando la regola per le frazioni di frazioni

 

(\bullet)=\lim_{x\to 0}\frac{x\cdot x}{\frac{x}{\ln(3)}}=\lim_{x\to 0}x\ln(3)=0

 

 

3) Il principio di sostituzione degli infinitesimi equivalenti si presta alla perfezione anche nel caso di limiti di funzioni composte e per le applicazioni successive. Ad esempio

 

\lim_{x\to 0}\frac{e^{\sin(x)}-1}{\arctan(x)}

 

Le equivalenze asintotiche da applicare sono le seguenti:

 

\\ \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}\ \ \ \implies\ \ \ \sin(x)\sim_{x\to 0}x\\ \\ \\ \lim_{x\to 0}\frac{\arctan(x)}{x}=1\ \ \ \implies\ \ \ \arctan(x)\sim_{x\to 0}x

 

per cui ricaviamo in sequenza

 

\lim_{x\to 0}\frac{e^{\sin(x)}-1}{\arctan(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=(\bullet\bullet)

 

Qui possiamo usare direttamente il limite notevole dell'esponenziale o sostituire l'infinitesimo equivalente. È del tutto indifferente:

 

\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1\ \ \ \implies\ \ \ e^x-1\sim_{x\to 0}x

 

per cui

 

(\bullet\bullet)=\lim_{x\to 0}\frac{x}{x}=1

 

 

4) Consideriamo il

 

\lim_{x\to 0^+}\frac{e^x-2^x}{x^2+2x}

 

Un occhio discretamente allenato intuisce subito che, con un piccolo trucco algebrico, potremmo ricondurci all'utilizzo dei limiti notevoli:

 

\\ \lim_{x\to 0}{\frac{e^x-1}{x}}=1\ \ \ \implies\ \ \ e^x-1\sim_{x\to 0}x\\ \\ \\ \lim_{x\to 0}{\frac{2^x-1}{x}}=\ln(2)\ \ \ \implies\ \ \ 2^x-1\sim_{x\to 0}x\ln(2)

 

Ci mancano i termini -1. Per ovviare a questo problema, togliamo e aggiungiamo un 1 a numeratore: è come se sommassimo zero, quindi stiamo semplicemente riscrivendo in una forma equivalente il limite assegnato.

 

\lim_{x\to 0^+}\frac{e^x-2^x}{x^2+2x}=\lim_{x\to 0^+}\frac{e^x-1+1-2^{x}}{x^2+2x}=\lim_{x\to 0^+}\left[\frac{e^x-1}{x^2+2x}+\frac{1-2^x}{x^2+2x}\right]=

 

Raccogliamo un (-1) nel secondo rapporto; così facendo saremo pronti per usare i limiti notevoli e ad effettuare le sostituzioni dettate dalle rispettive equivalenze asintotiche:

 

=\lim_{x\to 0^{+}}\left[\frac{e^x-1}{x^2+2x}-\frac{2^x-1}{x^2+2x}\right]=\lim_{x\to 0^+}\left[\frac{x}{x^2+2x}-\frac{\ln(2)x}{x^2+2x}\right]=

 

Ora è tutto più semplice, infatti ci basta raccogliere una x a denominatore, semplificare e calcolare i limite equivalente per sostituzione diretta

 

=\lim_{x\to 0^+}\left[\frac{x}{x(x+2)}-\frac{\ln(2)x}{x(x+2)}\right]=\lim_{x\to 0^+}\left[\frac{1}{x+2}-\frac{\ln(2)}{x+2}\right]=\frac{1-\ln(2)}{2}

 

Come si imparano tutte le strategie che ci permettono di riconoscere quando usare un limite notevole, ed eventualmente quali operazioni fare per metterci nella condizione di usarlo? Con l'esercizio e con l'esperienza: è per questo motivo che gli esercizi vengono graduati per difficoltà... ;)

 

Come usare i limiti notevoli in forma generale

 

Dopo aver capito come applicare seriamente i limiti notevoli, dobbiamo fare un ulteriore passo in avanti. Avete notato che la tabella dei limiti notevoli riporta per ciascun limite notevole una versione base e una versione in forma generale? Ora vediamo come estendere l'utilizzo dei limiti notevoli come equivalenze asintotiche ai limiti notevoli in forma generale. 

 

I limiti notevoli non si riducono alle sole funzioni dipendenti dalla x, ma il loro utilizzo può essere agilmente esteso al caso di funzioni composte.

 

In parole povere, e in generale, i limiti notevoli esprimono equivalenze asintotiche che rimangono valide se al posto della semplice x abbiamo una qualsiasi funzione f(x). Ciò che conta per poter riconoscere e applicare un limite notevole si può riassumere sostanzialmente in due punti:

 

- struttura (o funzione di riferimento del limite notevole);

 

- valore cui tende la x.

 

Il termine struttura si riferisce alla funzione che gioca il ruolo da protagonista nel limite notevole. Ad esempio

 

\lim_{x\to 0}{\frac{\sin(x)}{x}}=1 ha come funzione di riferimento: \sin(x).

 

\lim_{x\to 0}{\frac{e^{x}-1}{x}}=1 ha come funzione di riferimento: e^x-1.

 

Riguardo al valore cui tende la x, quando si passa dal limite notevole di base (\mbox{con }x) al limite notevole in forma generale (\mbox{con }f(x)), per poter applicare il limite notevole in forma generale la x può tendere a qualsiasi valore x_0 finito o infinito, ma la condizione è che f(x) tenda al valore cui tende x nel limite notevole di base.

 

In buona sostanza nei limiti notevoli in forma generale f(x) gioca lo stesso ruolo che gioca la x nei limiti notevoli di base.

 

 

Esempio

 

\\ \mbox{Limite notevole di base}:\ \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}=1\\ \\ \\ \lim_{f(x)\to 0}\frac{\sin(f(x))}{f(x)}=1\ \ \ \implies\ \ \ \begin{cases}\lim_{x\to 1}\frac{\sin(x-1)}{x-1}=1\ \ \ \ \ f(x)=(x-1)\to_{x\to 1}0\\ \\ \lim_{x\to 5}\frac{\sin(x-5)}{x-5}=1\ \ \ \ \ f(x)=(x-5)\to_{x\to 5}0\\ \\ \lim_{x\to +\infty}\frac{\sin\left(\frac{1}{x}\right)}{\frac{1}{x}}=1\ \ \ \ \ f(x)=\frac{1}{x}\to_{x\to +\infty}0\\ \\ \lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\frac{\sin(\cos(x))}{\cos(x)}=1\ \ \ \ \ f(x)=\cos(x)\to_{x\to \frac{\pi}{2}}0\\ \\ ...\end{cases}

 

Come potete vedere il limite notevole del seno in forma generale racchiude in sé un'infinità di limiti notevoli per x\to x_0: tutti quelli che possiamo ottenere considerando la struttura del limite notevole del seno e una qualsiasi funzione f(x), a patto che risulti

 

\lim_{x\to x_0}f(x)=0

 

In questo senso nei limiti notevoli in forma generale f(x) fa le veci della x nel limite notevole di base.

 

Tutto qui: per il resto la logica per la scrittura delle equivalenze asintotiche resta sempre la stessa, perché le equivalenze asintotiche dei limiti notevoli non sono altro che una rilettura equivalente dei limiti notevoli

 

\\ \lim_{x\to 1}\frac{\sin(x-1)}{x-1}=1\ \ \ \implies\ \ \ \sin(x-1)\sim_{x\to 1}(x-1)\\ \\ \\ \lim_{x\to 5}\frac{\sin(x-5)}{x-5}=1\ \ \ \implies\ \ \ \sin(x-5)\sim_{x\to 5}(x-5)\\ \\ \\ \lim_{x\to +\infty}\frac{\sin\left(\frac{1}{x}\right)}{\frac{1}{x}}=1\ \ \ \implies\ \ \ \sin\left(\frac{1}{x}\right)\sim_{x\to +\infty}\frac{1}{x}\\ \\ \\ \lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\frac{\sin(\cos(x))}{\cos(x)}=1\ \ \ \implies\ \ \ \sin(\cos(x))\to_{x\to \frac{\pi}{2}}\cos(x)

 

 

Altri esempi

 

1) Calcoliamo il

 

\lim_{x\to 2}\frac{\log(1+x^2-4)}{e^{5x-10}-1}

 

Numeratore e denominatore ci ricordano vagamente i limiti notevoli logaritmico e quello esponenziale:

 

\\ \log(1+g(x))\ \ \ \mbox{con }g(x)=x^2-4\\ \\ e^{h(x)}-1\ \ \ \mbox{con }h(x)=5x-10

 

Al tendere di x\to 2 risulta che g(x)\to 0 e che h(x)\to 0. Possiamo quindi applicare i due limiti notevoli e le corrispondenti equivalenze asintotiche

 

\\ \lim_{x\to 2}\frac{\log(1+x^2-4)}{x^2-4}=1\ \ \ \implies\ \ \ \log(1+x^2-4)\sim_{x\to 2}x^2-4\\ \\ \\ \lim_{x\to 2}\frac{e^{5x-10}-1}{5x-10}=1\ \ \ \implies\ \ \ e^{5x-10}-1\sim_{x\to 2}5x-10

 

da cui

 

\lim_{x\to 2}\frac{\log(1+x^2-4)}{e^{5x-10}-1}=\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{5x-10}=

 

Scomponiamo il numeratore con la regola della differenza di due quadrati e raccogliamo un 5 al denominatore

 

=\lim_{x\to 2}\frac{(x-2)(x+2)}{5(x-2)}=\lim_{x\to 2}\frac{x+2}{5}=\frac{4}{5}

 

Come potete osservare il principio di sostituzione degli infinitesimi equivalenti ci ha permesso di eliminare la forma indeterminata e ci ha consentito di calcolare il limite equivalente per sostituzione diretta.

 

 

2) Calcoliamo il

 

\lim_{x\to +\infty}\frac{1-\cos\left(\frac{8}{x}\right)}{\left(1+\frac{1}{x^2}\right)^3-1}

 

Qui abbiamo due strutture che ricordano i limiti notevoli del coseno e della potenza con differenza

 

\\ 1-\cos(g(x))\ \ \ \mbox{con }g(x)=\frac{8}{x}\\ \\ (1+h(x))^c-1\ \ \ \mbox{con }h(x)=\frac{1}{x^2},\ \ \ c=3

 

Per x\to +\infty entrambe le funzioni g(x),\ h(x) tendono a zero, quindi possiamo applicare i limiti notevoli e le relative equivalenze asintotiche

 

\\ \lim_{x\to +\infty}\frac{1-\cos\left(\frac{8}{x}\right)}{\left(\frac{8}{x^2}\right)^2}=\frac{1}{2}\ \ \ \implies\ \ \ 1-\cos\left(\frac{8}{x}\right)\sim_{x\to +\infty}\frac{1}{2}\cdot \left(\frac{8}{x}\right)^2\\ \\ \\ \lim_{x\to +\infty}\frac{\left(1+\frac{1}{x^2}\right)^c-1}{\frac{1}{x^2}}=c\ \ \ \implies\ \ \ \left(1+\frac{1}{x^2}\right)^c-1\sim_{x\to +\infty}c\cdot \frac{1}{x^2}

 

Da qui ricaviamo

 

\lim_{x\to +\infty}\frac{1-\cos\left(\frac{8}{x}\right)}{\left(1+\frac{1}{x^2}\right)^3-1}=\lim_{x\to +\infty}\frac{\frac{1}{2}\cdot \left(\frac{8}{x}\right)^2}{\frac{3}{x^2}}=\lim_{x\to +\infty}\frac{\frac{32}{x^2}}{\frac{3}{x^2}}=\frac{32}{3}

 

 


 

 

... E così via: struttura e f(x) che tende al valore cui tende la x nel limite notevole di base. Sono le uniche due cose che contano, per il resto le possibilità sono infinite! Vi raccomandiamo di non demoralizzarvi: capirete bene tutto consultando un po' di esercizi svolti e consoliderete la tecnica facendo esercizi su esercizi, dai più semplici via via fino ai più impegnativi. Non dimenticate che in caso di necessità potrete sempre utilizzare il tool per calcolare i limiti online. ;)

 

Chiudiamo questa lunga lezione con un avvertimento: il metodo di utilizzo delle equivalenze asintotiche per i limiti notevoli, per come l'abbiamo presentato, funziona bene ed è richiesto sia agli studenti delle scuole superiori che agli universitari. Per quest'ultimi in particolare il discorso può essere generalizzato e formalizzato in termini ancor più rigorosi: ne parleremo molto più avanti nella lezione sulle equivalenze asintotiche. ;)

 

 

ગુડબાય, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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