Tabella: forme di indecisione e metodi di risoluzione

Dopo aver presentato le forme indeterminate vogliamo proporvi una scaletta con tutti i possibili metodi di risoluzione associati ad ogni tipo di forma di indecisione.

 

La tabella sui metodi di risoluzione per le forme di indecisione che vi presentiamo qui di seguito ha una duplice chiave di lettura.

 

Per chi ha già affrontato lo studio dei limiti, a scuola o nei corsi universitari di Matematica, è da intendersi come un riepilogo delle tecniche per calcolare i limiti che generano una forma indeterminata. Al contrario, chi sta studiando i limiti per la prima volta può intenderla come un preludio alle lezioni che seguiranno, ed in cui presenteremo nel dettaglio ciascuno dei principali metodi di risoluzione.

 
 
 

Tabella dei metodi di risoluzione per le forme di indecisione

 

In termini generali abbiamo già accennato che purtroppo non esiste un unico metodo risolutivo per ciascuna una forma di indecisione. Ciononostante ogni forma indeterminata ha una serie di tecniche di risoluzione preferenziali, le quali nel complesso consentono di arrivare al risultato del limite.

 

La specifica tecnica di risoluzione che permetterà di risolvere la forma indeterminata di riferimento dipenderà, di volta in volta, dallo specifico limite che dovremo risolvere.

 

Come faremo a scegliere la miglior tecnica, intesa come metodo che funzioni e tale da ridurre al minimo i nostri sforzi computazionali? Purtroppo la risposta è esattamente quella che nessuno studente vorrebbe sentire: non c'è un metodo assoluto per scegliere. Serve esperienza e l'unico modo per allenare l'intuito prevede di svolgere tantissimi esercizi.

 

 

\left[\frac{0}{0}\right]

Limiti notevoli

 

Confronto tra infinitesimi

 

Scomposizione, raccoglimento e semplificazione (soprattutto nel caso di un rapporto di polinomi)

 

Trucchi algebrici per ricondursi all'uso di un limite notevole (sommare e sottrarre la stessa quantità, dividere e moltiplicare per la stessa quantità)

 

Altri trucchi algebrici per ricondursi all'uso di un limite notevole (eventuali proprietà delle potenzeproprietà di logaritmiformule trigonometriche, ...)

 

Teorema di De l'Hôpital (richiede la conoscenza delle derivate)

 

Limiti con Taylor (non richiesto alle scuole superiori)

 \left[\frac{\infty}{\infty}\right]

Limiti notevoli

 

Confronto tra infiniti

 

Scomposizione, raccoglimento e semplificazione (soprattutto nel caso di un rapporto di polinomi)

 

Trucchi algebrici per ricondursi all'uso di un limite notevole (sommare e sottrarre la stessa quantità, dividere e moltiplicare per la stessa quantità)

 

Altri trucchi algebrici per ricondursi all'uso di un limite notevole (eventuali proprietà di logaritmi, proprietà delle potenze, formule trigonometriche, ...)

 

Teorema di De l'Hôpital (richiede la conoscenza delle derivate)

\left[1^{\infty}\right] 

Limiti notevoli, in particolare il limite notevole neperiano

 

Uso dell'identità logaritmo-esponenziale y=e^{\ln(y)}\ \mbox{per }y>0 e proprietà dei logaritmi

 

Trucchi algebrici per ricondursi all'uso del limite notevole dell'esponenziale, (sommare e sottrarre la stessa quantità, dividere e moltiplicare per la stessa quantità)

 

Altri trucchi algebrici per ricondursi all'uso di un limite notevole (eventuali proprietà di logaritmi, proprietà delle potenze, formule trigonometriche, ...)

\left[0\cdot \infty\right]

Trucchi algebrici, ad esempio: scrivere il termine che genera l'infinito come un reciproco mediante la regola per le frazioni di frazioni, in modo da ricondursi alla forma di indecisione \left[\frac{0}{0}\right]

 

Trucchi algebrici, ad esempio scrivere il termine che genera l'infinitesimo come un reciproco mediante la regola per le frazioni di frazioni, in modo da ricondursi alla forma di indecisione \left[\frac{\infty}{\infty}\right]

 

Limiti notevoli

 

Trucchi algebrici per ricondursi all'uso di un limite notevole (sommare e sottrarre la stessa quantità, dividere e moltiplicare per la stessa quantità)

 

Altri trucchi algebrici per ricondursi all'uso di un limite notevole (eventuali proprietà di logaritmi, proprietà delle potenze, formule trigonometriche, ...)

\left[\infty-\infty\right]

Razionalizzazione inversa (se c'è anche una sola radice è la strada maestra)

 

Uso dei prodotti notevoli al contrario (ad esempio: avendo f(x)-g(x), moltiplicare e dividere per f(x)+g(x) sfruttando la regola della differenza di quadrati)

 

Confronto tra infiniti

 

Limiti notevoli

 

Trucchi algebrici per ricondursi all'uso di un limite notevole (sommare e sottrarre la stessa quantità, dividere e moltiplicare per la stessa quantità)

 

Altri trucchi algebrici per ricondursi all'uso di un limite notevole (eventuali proprietà di logaritmi, proprietà delle potenze, formule trigonometriche, ...)

 \left[\infty^{0}\right]

Uso dell'identità logaritmo-esponenziale y=e^{\ln(y)}\ \mbox{per }y>0 e proprietà dei logaritmi: spesso riconduce alla forma di indecisione \left[0\cdot\infty\right]

 

Limiti notevoli

 

Confronto tra infiniti

 

Confronto tra infinitesimi

 

Trucchi algebrici per ricondursi all'uso di un limite notevole (sommare e sottrarre la stessa quantità, dividere e moltiplicare per la stessa quantità)

 

Altri trucchi algebrici per ricondursi all'uso di un limite notevole (eventuali proprietà di logaritmi, proprietà delle potenze, formule trigonometriche, ...)

\left[0^{0}\right]

Uso della formula y=e^{\ln(y)}\ \mbox{per }y>0 e proprietà dei logaritmi: spesso riconduce alla forma di indecisione \left[0\cdot\infty\right]

 

Limiti notevoli

 

Confronto tra infiniti

 

Confronto tra infinitesimi

 

Trucchi algebrici per ricondursi all'uso di un limite notevole (sommare e sottrarre la stessa quantità, dividere e moltiplicare per la stessa quantità)

 

Altri trucchi algebrici per ricondursi all'uso di un limite notevole (eventuali proprietà di logaritmi, proprietà delle potenze, formule trigonometriche, ...)

 

 

La tabella precedente è un bigino e ha l'enorme pretesa di riuscire a catalogare tutti i metodi esistenti per risolvere le forme di indecisione. Attenzione però: le forme indeterminate spesso e volentieri sono interscambiabili tra di loro, nel senso che effettuando opportune operazioni algebriche si può passare da una forma di indecisione ad un'altra. Di conseguenza è importante non trascurare alcuna di esse.

 

Ognuno dei metodi proposti viene trattato nel dettaglio nelle successive lezioni, in cui vengono forniti anche diversi esempi.

 

L'aspetto macroscopico che se ne deduce è che è fondamentale avere una certa dimestichezza con i calcoli algebrici, oltre che conoscere le proprietà delle funzioni elementari. A questo proposito vi raccomandiamo di non commettere un errore tipico dello studio della Matematica: molti studenti credono, in terza/quarta/quinta superiore, di poter dimenticare quello che hanno studiato quando si passa da un argomento a un altro. Sbagliato! In Matematica non esistono compartimenti stagni... ;)

 

 


 

Se avete letto questa lezione in fase di ripasso, potete cimentarvi con gli esercizi svolti delle schede correlate: ci sono esercizi risolti per ogni tipo di forma indeterminata. Non solo: qui su YM c'è anche un tool per calcolare i limiti online che può esservi d'aiuto per verificare i risultati dei vostri esercizi. Per tutto il resto ricordate che potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. :)

 


Pożegnanie, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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