Punti di discontinuità

I punti di discontinuità di una funzione sono i punti in cui una funzione non è continua. Vi sono essenzialmente tre tipi di punti di discontinuità che vengono classificati con la nomenclatura di prima specie, di seconda specie e di terza specie (o eliminabili).

 

Dopo aver introdotto la nozione di funzione continua in un punto e su un intervallo dobbiamo analizzare i modi in cui una funzione può non soddisfare la definizione di continuità in un punto. A questo proposito si parla di punti di discontinuità e si fornisce una classificazione che conta tre tipologie di punti: discontinuità di prima specie, discontinuità di seconda specie e discontinuità di terza specie.

 

Leggete con molta attenzione la spiegazione che segue e in particolare non fatevi cogliere dalla tentazione di saltare subito alle definizioni. Sappiate inoltre che qui adotteremo un'impostazione prettamente teorica perché nella pratica lo studio delle discontinuità richiede di saper calcolare i limiti, dunque torneremo sull'argomento in un'apposita guida per la risoluzione degli esercizi nella lezione come studiare la continuità in un punto.

 
 
 

Perché studiare i punti di discontinuità

 

Partiamo dalla definizione di funzione discontinua in un punto: diciamo che una funzione è discontinua in un punto x_0, o che presenta un punto di discontinuità in x_0, se non è continua nel punto x_0.

 

La nozione di discontinuità di una funzione è un concetto esclusivamente puntuale che gioca un ruolo fondamentale nell'analisi delle funzioni. Usando opportunamente i teoremi sulle funzioni continue, e imparando a stabilire se una funzione è discontinua in uno o più punti, saremo in grado di capire se la funzione è continua globalmente (nel caso in cui non vi sia alcuna discontinuità) oppure no. Questo perché, da che mondo è mondo, è più facile effettuare un controllo su un numero finito di punti (vale a dire le possibili discontinuità di una funzione) piuttosto che controllare ad uno ad uno i punti in cui una funzione e continua.

 

La guerra delle definizioni nella classificazione dei punti di discontinuità

 

I punti di discontinuità presentano un grosso problema: le definizioni non sono uniche. Purtroppo a volte in Matematica capita che non ci sia un'uniformità assoluta nelle definizioni che vengono fornite. Capita poche volte, però capita, e il concetto di discontinuità di una funzione è una di quelle volte. Niente di insormontabile, ma dato che il nostro orticello non è piccolissimo è nostro preciso dovere e compito avvertirvi. ;)

 

In letteratura matematica, nei vari libri di testo e addirittura da professore a professore l'approccio sui punti di discontinuità può cambiare radicalmente. Attenzione: non ci stiamo riferendo al modo con cui vengono spiegati; sono proprio le definizioni a cambiare.

 

Possiamo riassumere quella che chiameremo guerra delle discontinuità dicendo che i docenti si dividono in due eserciti, che chiameremo A e B. I due eserciti si appellano a due gruppi di definizioni che sono simili tra loro, ma concettualmente diverse. Le discrepanze gravitano intorno alla seguente domanda:

 

un punto di discontinuità può non appartenere al dominio della funzione?

 

Gli esponenti dell'esercito A sostengono di sì: ha senso. Un punto di discontinuità può appartenere o non appartenere al dominio di una funzione. L'unica cosa che conta è che sia un punto di accumulazione per il dominio.

 

I rappresentanti dell'esercito B sostengono di no: non ha alcun senso. Un punto di discontinuità deve appartenere al dominio della funzione, e naturalmente deve essere un punto di accumulazione per il dominio.

 

Notate che non è possibile stabilire chi abbia ragione e chi torto, proprio perché stiamo parlando di definizioni. Ora, ci piacerebbe molto potervi dire che alle scuole superiori si opta per una scelta e all'università per un'altra, ma le cose non sono così semplici. Possiamo dire che tendenzialmente la visione A compete le scuole superiori e che la visione B riguarda l'università, ma sfortunatamente non esiste una distinzione così categorica. Ogni docente ed ogni libro può adottare le definizioni secondo A o secondo B a propria insindacabile decisione.

 

Noi per completezza forniremo entrambe le definizioni secondo A e secondo B per ogni tipo di punto di discontinuità, forniremo esempi per entrambe le definizioni e metteremo bene in luce le differenze sostanziali tra le due classi di definizioni.

 

Le conseguenze di una scelta o dell'altra sul prosieguo degli studi non hanno una rilevanza così spaventosa, dunque non preoccupatevi. Qui su YM non avrete modo di percepire tali conseguenze negli sviluppi successivi della teoria; le uniche conseguenze riguarderanno gli esercizi svolti sui punti di discontinuità.

 

Noi non possiamo fare altro che mettervi al corrente della situazione e informarvi del fatto che il mondo è un posto più grande rispetto a quello che gli esponenti della fazione A e della fazione B vogliano farvi credere. ;) Ciò premesso:

 

- nella risoluzione degli esercizi faremo riferimento alle definizioni della fazione A, sia per ragioni didatticamente storiche, sia perché sono definizioni più generali;

 

- ognuno di voi, per quel che concerne i punti di discontinuità, dovrà fare riferimento alla scelta del proprio libro di testo e ancor prima del proprio docente. Signore e signori, purtroppo per quel che riguarda le discontinuità di una funzione YouMath non può darvi una risposta che possa essere considerata assoluta e definitiva in qualsiasi contesto. Ambasciator non porta pena. :(

 

Punti di discontinuità di prima, seconda e terza specie

 

Siamo finalmente pronti per passare in rassegna i tre tipi di discontinuità: lasciamo al seguito le definizioni, i commenti e gli esempi. Come al solito ragioneremo nel caso di una funzione reale di variabile reale f:Dom(f)\subseteq\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}.

 

Premettiamo che nelle definizioni di tipo A la richiesta sul punto x_0 è che sia un punto di accumulazione che può non appartenere al dominio della funzione, ma tale che la funzione sia definita a sinistra e a destra di x_0.

 

Per le definizioni di tipo B x_0 deve essere un punto di accumulazione appartenente al dominio della funzione e tale che la funzione sia definita a sinistra e a destra di x_0.

 

Punti di discontinuità di prima specie

 

A) Sia x_0\in\mathbb{R} un punto di accumulazione per Dom(f) e supponiamo che f sia definita in un intorno circolare, eventualmente bucato, di x_0. Diciamo che la funzione f ha in x_0 una discontinuità di prima specie se esistono finiti i due limiti sinistro e destro, ma non sono uguali:

 

\lim_{x\to x_0^-}f(x)\neq \lim_{x\to x_0^+}f(x) \mbox{ entrambi finiti}

 

 

B) Sia x_0\in Dom(f) un punto di accumulazione per Dom(f) e supponiamo che f sia definita in un intorno circolare di x_0. Diciamo che la funzione f ha in x_0 una discontinuità di prima specie se esistono finiti i due limiti sinistro e destro, ma non sono uguali:

 

\lim_{x\to x_0^-}f(x)\neq \lim_{x\to x_0^+}f(x) \mbox{ entrambi finiti}

 

In entrambi i casi le discontinuità di prima specie vengono anche dette discontinuità a salto.

 

 

Esempio di discontinuità di prima specie


A) Consideriamo la funzione

 

f(x)=\frac{x}{|x|}

 

essa ha dominio (-\infty,0)\cup(0,+\infty) e, in accordo con la definizione di valore assoluto, ammette come limiti sinistro e destro

 

\\ \lim_{x\to 0^{-}}{\frac{x}{|x|}}=\lim_{x\to 0^{-}}{\frac{x}{-x}}=-1\\ \\ \\ \lim_{x\to 0^{+}}{\frac{x}{|x|}}=\lim_{x\to 0^{+}}{\frac{x}{+x}}=+1

 

La funzione presenta quindi in x_0=0 un punto di discontinuità di prima specie. Guardando il grafico della funzione segno capiremo subito il significato del nome discontinuità a salto: il salto si genera nel punto perchè a sinistra la funzione si avvicina a x=0 assumendo un valore diverso da quello che assume avvicinandosi da destra.

 

Esempio di discontinuità di prima specie

 

 

B) Consideriamo la funzione segno

 

g(x)=\mbox{sgn}(x)=\begin{cases}+1\mbox{ se }x>0\\ 0\mbox{ se }x=0\\ -1\mbox{ se }x<0\end{cases}

 

Tale funzione è definita su tutto \mathbb{R} e presenta in x_0=0 un punto di discontinuità di prima specie, poiché

 

\\ \lim_{x\to 0^-}\mbox{sgn}(x)=\lim_{x\to 0^-}(-1)=-1\\ \\ \lim_{x\to 0^+}\mbox{sgn}(x)}=\lim_{x\to 0^+}(+1)=+1

 

 

Punto di discontinuità di prima specie

 

 

Differenze tra A e B: secondo la definizione A entrambe le funzioni f,g presentano in x_0=0 un punto di discontinuità di prima specie; secondo B la funzione f non presenta in x_0=0 alcun punto di discontinuità, perché 0\not\in Dom(f). In tale circostanza B si riferirà a x_0=0 chiamandolo punto singolare.

 

Punti di discontinuità di seconda specie


A) Sia x_0\in\mathbb{R} un punto di accumulazione per Dom(f) e supponiamo che f sia definita in un intorno circolare, eventualmente bucato, di x_0. Diciamo che la funzione f ha in x_0 un punto di discontinuità di seconda specie se almeno uno dei due limiti, sinistro o destro, è infinito oppure non esiste.

 

\lim_{x\to x_0^-}f(x)\begin{cases}\not\exists\\ =\infty\end{cases}\ \vee\ \lim_{x\to x_0^+}f(x)\begin{cases}\not\exists\\ =\infty\end{cases}

 

 

B) Sia x_0\in Dom(f) un punto di accumulazione per Dom(f) e supponiamo che f sia definita in un intorno circolare di x_0. Diciamo che la funzione f ha in x_0 un punto di discontinuità di seconda specie se almeno uno dei due limiti, sinistro o destro, è infinito oppure non esiste.

 

\lim_{x\to x_0^-}f(x)\begin{cases}\not\exists\\ =\infty\end{cases}\ \vee\ \lim_{x\to x_0^+}f(x)\begin{cases}\not\exists\\ =\infty\end{cases}

 

Nota bene: in entrambi i casi la condizione di non esistenza del limite si traduce nel fatto che non sia soddisfatta né la definizione di limite finito per x tendente a un valore finito, né la definizione di limite infinito per x tendente a un valore finito.

 

 

Esempio di discontinuità di seconda specie


A) Consideriamo la funzione

 

f(x)=\frac{x^2+3}{x^{2}-1}

 

Questa funzione ha dominio

 

Dom(f)=\left(-\infty,-1\right)\cup\left(-1,+1\right)\cup\left(+1,+\infty\right)

 

ed i punti da escludere si individuano ponendo il denominatore diverso da zero (come spiegato nella lezione sul dominio di una funzione). La funzione considerata presenta nei punti x_1=-1,\ x_2=+1 due punti di discontinuità di seconda specie, infatti:

 

\lim_{x\to (-1)^{-}}{\frac{x^2+3}{x^{2}-1}}=+\infty\ \ \ ;\ \ \ \lim_{x\to (-1)^{+}}{\frac{x^2+3}{x^{2}-1}}=-\infty.

 

In modo del tutto analogo

 

\lim_{x\to (+1)^{-}}{\frac{x^2+3}{x^{2}-1}}=-\infty\ \ \ ;\ \ \ \lim_{x\to (+1)^{+}}{\frac{x^2+3}{x^{2}-1}}=+\infty.

 

Notate che per entrambi i punti è soddisfatta la condizione: "almeno uno dei due limiti sinistro o destro è infinito". Se guardiamo il grafico della funzione, possiamo farci un'idea di quel che succede in corrispondenza di un punto di discontinuità di seconda specie.

 

 

Due punti di discontinuità di seconda specie

 

 

B) Consideriamo la funzione

 

g(x)=\begin{cases}\frac{x^2+3}{x^{2}-1}\mbox{ se }x>1\\ 0\mbox{ se }x\leq 1\end{cases}

 

il cui grafico coincide con quello della funzione dell'esempio precedente per x>1, mentre è dato dalla retta orizzontale y=0 per x\leq 1. Tale funzione presenta in x=1 un punto di discontinuità di seconda specie in x_0=1, infatti

 

\\ \lim_{x\to 1^-}g(x)=\lim_{x\to 1^-}0=0\\ \\ \\ \lim_{x\to 1^+}g(x)=\lim_{x\to 1^+}{\frac{x^2+3}{x^2-1}}=+\infty

 

 

Differenze tra A e B: la funzione g(x) presenta in x_0=1 una discontinuità di seconda specie sia secondo A che secondo B, mentre f(x) presenta una discontinuità di seconda specie in x_0=1 solo secondo A; per B infatti tale punto non appartiene al dominio della funzione e verrà semplicemente chiamato punto singolare.

 

Punti di discontinuità di terza specie


A) Sia x_0\in\mathbb{R} un punto di accumulazione per Dom(f) e supponiamo che f sia definita in un intorno circolare, eventualmente bucato, di x_0. Diciamo che la funzione f ha in x_0 un punto di discontinuità di terza specie se i due limiti sinistro e destro esistono finiti e sono uguali tra loro, ma non coincidono con la valutazione della funzione nel punto (a patto che x_0\in Dom(f)).

 

\lim_{x\to x_0^-}f(x)=\lim_{x\to x_0^+}f(x)\ \ \ \mbox{esistono finiti e }\neq f(x_0)

 

oppure

 

\lim_{x\to x_0^-}f(x)=\lim_{x\to x_0^+}f(x)\ \ \ \mbox{esistono finiti e }x_0\not\in Dom(f)

 

B) Sia x_0\in Dom(f) un punto di accumulazione per Dom(f) e supponiamo che f sia definita in un intorno circolare di x_0. Diciamo che la funzione f ha in x_0 un punto di discontinuità di terza specie se i due limiti sinistro e destro esistono finiti e sono uguali tra loro, ma non coincidono con la valutazione della funzione nel punto.

 

\lim_{x\to x_0^-}f(x)=\lim_{x\to x_0^+}f(x)\ \ \ \mbox{esistono finiti e }\neq f(x_0)

 

In entrambi i casi una discontinuità di terza specie viene anche dette discontinuità eliminabile, perché partendo da f è possibile definire una nuova funzione \tilde{f} in modo da eliminare la discontinuità. Detto c il comune valore dei due limiti sinistro e destro:

 

\tilde{f}(x)=\begin{cases}f(x)\mbox{ se }x\neq x_0\\ c\mbox{ se }x=x_0\end{cases}

 

In questo modo la funzione \tilde{f} risulta comunque definita nel punto x_0 ed è pure ivi continua, in accordo con la definizione di funzione continua in un punto. Quando si elimina una discontinuità di terza specie si dice, in termini rigorosi, che si effettua un prolungamento per continuità nel punto.

 

 

Esempio di discontinuità di terza specie

 

Delle tre discontinuità appena introdotte quest'ultima è la più tecnica e certamente la più artificiosa. Essa si manifesta tipicamente nel caso delle funzioni definite a tratti (dette anche funzioni definite per rami), come ad esempio

 

f(x)=\begin{cases}x+1\mbox{ se }x\neq 2\\ 1\mbox{ se }x=2\end{cases}

 

avente grafico:

 

Punto di discontinuità di terza specie o discontinuità eliminabile

 

Essa ha entrambi i limiti sinistro e destro finiti e uguali

 

\\ \lim_{x\to 2^-}{x+1}=3\\ \\ \lim_{x\to 2^+}{x+1}=3

 

ma il loro comune valore non coincide con la valutazione della funzione nel punto: vale infatti f(2)=1 per come è definita f(x).

 

Se volessimo eliminare il punto di discontinuità di terza specie basterebbe definire una nuova funzione \tilde{f} ottenuta prolungando per continuità f in x_0=2

 

\tilde{f}(x)=\begin{cases}x+1\mbox{ se }x\neq 2\\ 3\mbox{ se }x=2\end{cases}

 

ossia \tilde{f}(x)=x+1. Ora i limiti sinistro e destro coincidono con la valutazione f(2)=1 della funzione nel punto x_0=2 quindi abbiamo continuità in tale punto.

 

 

Come eliminare una discontinuità di terza specie

 

Differenze tra A e B: l'esempio proposto individua un punto di discontinuità eliminabile sia secondo A, sia secondo B. Per A continuerebbe ad esserlo anche se la funzione non fosse definita in x_0=2, ma in tal caso non lo sarebbe per B che lo classificherebbe come punto singolare.

 

Altri tipi di punti di discontinuità?

 

Indipendentemente dall'approccio A o B le precedenti definizioni classificano una buona parte di punti di discontinuità, ma non li esauriscono tutti.

 

Ad esempio potremmo considerare una funzione f con dominio Dom(f)=[a,+\infty) e tale che

 

\lim_{x\to a^+}f(x)\neq f(a)

 

Un punto del genere non si classifica né in prima specie, né in seconda, né in terza perché la funzione non è definita in un intorno circolare di x=a, ma solo in un intorno destro. Rifacendoci alla definizione di funzione continua da destra possiamo dire che essa presenta un punto di discontinuità da destra in x=a e che è ivi discontinua da destra.

 

In modo analogo potremmo considerare una funzione f con dominio Dom(f)=(-\infty,a] e tale che

 

\lim_{x\to a^-}f(x)\neq f(a)

 

e, in riferimento alla definizione di funzione continua da sinistra, potremmo affermare che essa presenta un punto di discontinuità da sinistra in x=a e che essa è ivi discontinua da sinistra.

 

Le discontinuità solo da sinistra o solo da destra possono manifestarsi esclusivamente nei punti di frontiera del dominio che appartengono al dominio ed in cui la funzione è definita solamente a destra o a sinistra, come ad esempio in

 

\\ (-\infty,a]\ \to\ x=a\\ \\ \quad [a,b]\ \to\ x=a,\ x=b\\ \\ \quad[a,+\infty)\ \to\ x=a

 

La differente interpretazione dei punti di discontinuità secondo A e B

 

Secondo la visione A il concetto di discontinuità di una funzione trascende il suo insieme di definizione e ha lo scopo di fornire un punto di vista più ampio sul comportamento della funzione.

 

Esempio: consideriamo la funzione f(x)=\frac{1}{x}, che ha come dominio Dom(f)=(-\infty,0)\cup(0,+\infty) e presenta come grafico un'iperbole equilatera riferita ai propri asintoti.

 

Per entrambi i gruppi di definizioni, A e B, la funzione f è continua sul proprio dominio perché è continua per ogni x_0\in Dom(f).

 

Domanda: f è continua su \mathbb{R}, o sull'intervallo [-1,1]?

 

Secondo B la domanda non ha senso, perché entrambi gli insiemi contengono un punto che non appartiene al dominio della funzione. La funzione diverge a -\infty per x\to 0^- e diverge a +\infty per x\to 0^+. Essa non è definita in x=0 e presenta in x=0 un punto singolare.

 

Secondo A la domanda ha senso: la funzione è continua sul proprio dominio ma non è continua né su \mathbb{R} né su [-1,1], perché presenta in x=0 un punto di discontinuità di seconda specie.

 

Come potete notare l'analisi è la stessa, l'unica cosa che cambia è la nomenclatura. ;)

 

 


 

Questa lunga lezione è giunta al termine. Per studiare i punti di discontinuità di una funzione in un punto nella pratica è necessario saper calcolare i limiti, per cui tratteremo il metodo di risoluzione degli esercizi più avanti, nella lezione come studiare la continuità in un punto.

 

Consigliamo di affrontare la scheda correlata di esercizi svolti solamente a chi è qui per ripassare, o comunque a chi ha già sufficiente dimestichezza con i limiti; tutti gli altri possono proseguire con la lettura delle lezioni ed eventualmente giochicchiare con il tool per studiare le discontinuità di una funzione online. ;)

 

 

Hüvasti, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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SCHEDA 1 - SCHEDA 2

 

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