Come stabilire se una funzione è continua

In una delle precedenti lezioni abbiamo introdotto la nozione di funzione continua proponendo le definizioni da un punto di vista teorico. Ora che abbiamo trattato la teoria del calcolo dei limiti e che abbiamo presentato le varie tecniche che permettono di calcolare i limiti di funzioni reali di variabile reale, possiamo occuparci del metodo pratico per studiare la continuità di una funzione in un punto.

 

Vedremo in pratica come sia possibile stabilire se una funzione è continua in un punto senza dover ricorrere alla definizione epsilon-delta: l'alternativa viene fornita dalla definizione che si appoggia al calcolo dei limiti sinistro e destro, che è ben più operativa.

 

Nel contempo per negazione della continuità ci soffermeremo sullo studio e sulla classificazione dei punti di discontinuità. Attenzione: in questo frangente faremo riferimento alle definizioni del primo gruppo, e se non avete già letto la lezione di riferimento vi suggeriamo fortemente di farlo prima di procedere. ;)

 
 
 

Metodo per studiare la continuità di una funzione

 

Immaginiamo di dover stabilire se una funzione f:Dom(f)\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R} è continua. In partenza non avremo altro che l'espressione analitica della funzione, vale a dire y=f(x).

 

Il metodo per lo studio della continuità prevede di procedere in tre passaggi:

 

1) riconoscere i punti in cui la funzione è continua senza calcoli e isolare i punti "dubbi" per analizzarli nel seguito.

 

2) Studiare la continuità della funzione nei punti "dubbi" usando la definizione di funzione continua in un punto mediante i limiti sinistro e destro.

 

3) Qualora fosse necessario, studiare la sola continuità da destra o da sinistra nei restanti punti "dubbi".

 

Commentiamo i tre passaggi da un punto di vista teorico e poi buttiamoci nella pratica con alcuni esempi svolti.

 

1) Studiare la continuità globalmente

 

Lo scopo del gioco all'inizio prevede di tagliare via un'infinità di punti senza fare calcoli. Dobbiamo sostanzialmente sfruttare i teoremi sulle funzioni continue e i ben noti risultati sulla continuità delle funzioni elementari per riconoscere ad occhio e in un colpo solo tutti i punti in cui la funzione y=f(x) è certamente continua.

 

Come potete immaginare effettuare la verifica della continuità punto a punto su un'infinità di punti del dominio non è molto pratico... ;) Quindi la cosa giusta da fare è procedere per esclusione ed isolare i punti in cui non possiamo esprimerci preventivamente sulla continuità della funzione.

 

In questo frangente riusciremo ad individuare un numero finito e (si spera) piccolo di punti "dubbi". Per tali punti procederemo con la verifica manuale della definizione di funzione continua in un punto.

 

2) Stabilire se la funzione è continua in un punto

 

Ora che abbiamo degli specifici punti su cui effettuare il controllo passiamo al metodo per stabilire se una funzione è continua in un punto.

 

Dalla teoria sappiamo che la condizione di continuità in un punto è verificata se, prendendo valori di ascissa x che tendono al punto x_0\in Dom(f), otteniamo valutazioni f(x) che si avvicinano sempre di più alla valutazione della funzione nel punto f(x_0), raccordandosi con essa.

 

In una formula

 

\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)

 

D'altra parte sappiamo anche che tale condizione può essere espressa in modo equivalente con l'ausilio dei limiti sinistro e destro:

 

\lim_{x\to x_0^-}f(x)=\lim_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0)

 

Quest'ultima formula è piuttosto compatta e riassume contemporaneamente due diverse condizioni:

 

C1) Esistono finiti i limiti sinistro e destro:

 

\\ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=\ell_s\in\mathbb{R}\\ \\ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=\ell_d\in\mathbb{R}

 

C2) I limiti sinistro e destro sono uguali e coincidono con la valutazione della funzione nel punto x_0

 

\ell_s=\ell_d=f(x_0)

 

A ben vedere non esiste niente di più concreto e operativo della precedente definizione per stabilire se una funzione è continua in un punto; essa infatti fornisce due semplici condizioni da verificare. In termini pratici lo studio della continuità in un punto si riduce al calcolo di due limiti da sinistra e da destra e alla valutazione della funzione in un punto.

 

Fatto ciò si pongono dinnanzi a noi due eventualità: se entrambe le condizioni sono soddisfatte allora la funzione è continua nel punto; in caso contrario procederemo alla classificazione dei punti di discontinuità e per farlo non dovremo effettuare alcun calcolo supplementare: ci basteranno le informazioni sui limiti sinistro e destro e un piccolo sforzo di memoria per ricordare la classificazione teorica dei punti di discontinuità.

 

3) Studio della continuità da sinistra e da destra

 

L'ultimo passo non è sempre richiesto e dipende dalla specifica funzione y=f(x) che stiamo analizzando. Se il dominio della funzione presenta degli estremi finiti che sono inclusi in esso, come ad esempio

 

Dom(f)=[a,b]

 

allora sui punti x=a,\ x=b non potremo procedere con la verifica della continuità in un intorno completo. Dovrebbe essere piuttosto ovvio: riguardo al punto x=a la funzione non è definita in un intorno sinistro, e per il punto x=b la funzione non è definita in un intorno destro.

 

In casi del genere se x=a,\ x=b sono punti "dubbi" non potremo fare altro che procedere rispettivamente con la verifica mediante la definizione di funzione continua da destra e da sinistra:

 

CD) y=f(x) è continua da destra in x=a se

 

\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a)

 

ossia se il limite destro esiste finito, e se il suo valore coincide con quello della valutazione della funzione nel punto x=a.

 

CS) y=f(x) è continua da sinistra in x=b se

 

\lim_{x\to b^-}f(x)=f(b)

 

ossia se il limite sinistro esiste finito, e se il suo valore coincide con quello della valutazione della funzione nel punto x=b.

 

Vale la pena di menzionare i rari casi in cui una funzione è discontinua in un punto x_0 e non possiamo escludere a priori che essa sia continua solo da sinistra o solo da destra: anche per tali punti dovremo effettuare il controllo con le definizioni CD) e CS).

 

Esempi sullo studio della continuità di una funzione


A) Stabilire se la seguente funzione è continua

 

f(x)=x\sin(x)

 

Svolgimento: innanzitutto osserviamo che la funzione f(x) è definita su Dom(f)=\mathbb{R}. Poiché le funzioni

 

y=x\ \ \ ;\ \ \ y=\sin(x)

 

sono continue su tutto \mathbb{R}, e poiché il prodotto di funzioni continue è una funzione continua, concludiamo che la funzione f(x) è continua su tutto \mathbb{R}.

 

 

B) Stabilire se è continua la funzione

 

g(x)=\frac{x+2}{x-1}

 

Svolgimento: il dominio della funzione è

 

Dom(f)=(-\infty,1)\cup(1,+\infty)

 

Poiché le funzioni y=x+1\mbox{ e }y=x-1 sono continue su tutto \mathbb{R}, lo sono in particolare su Dom(f). Inoltre il denominatore non si annulla (ovviamente) su Dom(f) e quindi per il teorema sulla continuità del rapporto di funzioni continue, la funzione g(x) è continua su tutto Dom(f).

 

Anche se x=1 non appartiene al dominio della funzione, decidendo di sposare le definizioni del primo gruppo sui punti di discontinuità ha senso domandarsi come si inquadri il punto x=1 in riferimento al comportamento della funzione nel suo intorno.

 

A tal proposito calcoliamo i due limiti da sinistra e da destra servendoci dell'algebra di infiniti e infinitesimi

 

\\ \lim_{x\to 1^-}\frac{x+2}{x-1}=-\infty\\ \\ \\ \lim_{x\to 1^+}\frac{x+2}{x-1}=+\infty

 

Ne deduciamo quindi che x=1 è un punto di discontinuità di seconda specie per g(x) (che non appartiene al dominio della funzione g(x)).

 

 

C) Data la funzione definita a tratti

 

h(x)=\begin{cases}x+4\ \ \ \ \ \mbox{se }0\leq x\leq 3\\ \log_9(x)\ \ \ \ \ \mbox{se }x>3\end{cases}

 

stabilire se essa è continua su suo dominio.

 

Svolgimento: il dominio della funzione è Dom(h)=[0,+\infty). Se consideriamo i due rami mediante i quali è definita

 

\\ y=x+4\ \ \ \mbox{su }[0,3]\\ \\ y=\log_9(x)\ \ \ \mbox{su }(3,+\infty)

 

sappiamo che y=x+3 è continua su tutto \mathbb{R} e che la funzione logaritmica y=\log_9(x) è continua su (0,+\infty). Di conseguenza entrambi i rami sono continui sui rispettivi intervalli di definizione.

 

L'unico punto che richiede un'indagine approfondita è il punto di raccordo x=3. Calcoliamo la valutazione della funzione scegliendo correttamente il ramo di sua competenza (attenzione ai simboli che comprendono l'uguaglianza!)

 

h(3)=3+4=7

 

e calcoliamo i due limiti da sinistra e da destra, scegliendo di volta in volta il giusto ramo della funzione

 

\\ \lim_{x\to 3^-}h(x)=\lim_{x\to 3^-}(x+4)=7\\ \\ \lim_{x\to 3^+}h(x)=\lim_{x\to 3^+}\log_9(x)=\log_9(3)=\frac{1}{2}

 

Poiché i due limiti esistono finiti, ma non coincidono, concludiamo che la funzione non è continua in x=3 e che in particolare esso è un punto di discontinuità di prima specie.

 

 


 

Nota bene: un classico esercizio di quinta superiore (seconda prova di matematica) e soprattutto presente negli esami universitari di matematica consiste nello stabilire se una funzione è continua in un punto, proprio perchè la continuità è un aspetto cruciale dell'Analisi Matematica. A questo proposito vi raccomandiamo di dare un'occhiata alle schede correlate di esercizi svolti e proposti, in cui ci concentriamo anche sullo studio della continuità di funzioni parametriche.

 

Per tutto il resto sappiate che qui su YM è disponibile un tool per studiare i punti di discontinuità online, oltre a tante altre risorse che potete reperire con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

ವಿದಾಯ, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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