Limite infinito per x tendente all'infinito

Il limite infinito per x tendente all'infinito è la quarta tipologia di limite definita per le funzioni reali di variabile reale. Viene denominata talvolta limite infinito all'infinito e consente di studiare il comportamento di una funzione agli eventuali estremi illimitati del suo dominio.

 

Lo scopo di questa lezione consiste nel fornire la definizione del quarto tipo di limite: in accordo con la lezione introduttiva sul concetto di limite, avrete di certo intuito che la distinzione viene fatta sul valore cui tende la x, finito o infinito, e sul valore del limite, che può essere finito o infinito. L'ultimo caso che ci resta da trattare è quello in cui la funzione tende all'infinito quando x tende all'infinito.

 

Per introdurre la nozione di limite infinito all'infinito scriveremo la definizione commentandola in dettaglio, la analizzeremo graficamente ed infine proporremo un esempio di verifica di un limite mediante la definizione stessa.

 

Premesse per la definizione di limite infinito per x tendente all'infinito

 

Per cominciare consideriamo una funzione f:Dom(f)\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R} e supponiamo che il suo dominio sia illimitato sia superiormente, sia inferiormente. In modo del tutto equivalente possiamo supporre che esistano due numeri reali a<0,\ b>0 tali che la funzione sia definita per x<a e per x>b.

 

In altre parole, supponiamo che la funzione sia definita in un intorno di -infinito e in un intorno di +infinito (si veda la lezione: intorno di infinito).

 

Per definire la nozione di limite infinito all'infinito dobbiamo dare un senso a tutti i possibili limiti in cui la x tende ad un valore infinito ed il limite assume un valore infinito. Abbiamo quindi quattro possibilità relative alle combinazioni di segno che possono assumere l'infinito cui tende la x e il risultato del limite

 

\\ \lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty\ \ \ ;\ \ \ \lim_{x\to +\infty}f(x)=-\infty\\ \\ \lim_{x\to -\infty}f(x)=+\infty\ \ \ ;\ \ \ \lim_{x\to -\infty}f(x)=-\infty

 

Noi ci concentreremo sulla definizione del primo caso analizzandola nel dettaglio; più che imparare a memoria ogni definizione, l'importante è comprendere la logica che si cela dietro al linguaggio simbolico dei limiti. In questo modo potrete scrivere agevolmente le rimanenti definizioni basandovi sul semplice ragionamento.

 

Prima di passare alla definizione ricordiamo che l'operazione di passaggio al limite per x tendente all'infinito serve per studiare il comportamento della funzione in un intorno di infinito, e a seconda dei casi per valori decrescenti della x (-\infty) o per valori crescenti della x (+\infty). Non dimenticate che \pm\infty non sono numeri reali.

 

 

Esempio 1

 

La funzione

 

f(x)=x^2

 

ha come dominio Dom(f)=(-\infty,+\infty) e ammette come grafico una parabola rivolta verso l'alto con vertice nell'origine. Alla fine di questa lezione saremo in grado di dimostrare che

 

\\ \lim_{x\to +\infty}x^2=+\infty\\ \\ \lim_{x\to -\infty}x^2=+\infty

 

 

Esempio 2

 

Se consideriamo la funzione

 

f(x)=\frac{\sqrt{x+2}}{\ln(x^2+x)}

 

essa è definita in un intorno di +infinito, e risulta che

 

\lim_{x\to \infty}\frac{\sqrt{x+2}}{\ln(x^2+x)}=+\infty

 

Vi anticipiamo che la verifica di un limite del genere mediante la definizione non è affatto semplice. Ad ogni modo non preoccupatevi: nelle lezioni successive introdurremo tutte le tecniche che consentono di calcolare i limiti e impareremo a determinare il risultato di questo, e di moltissimi altri limiti, con una manciata di calcoli. ;)

 

Definizione di limite infinito all'infinito

 

La prima definizione che vi presentiamo è quella relativa al limite +infinito per x tendente a +infinito; dopo averla analizzata nel dettaglio sarete in grado di scrivere autonomamente le restanti definizioni relative alle altre possibili combinazioni sui segni.

 

 

Definizione (limite +infinito per x tendente a +infinito)

 

Sia f:Dom(f)\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R} una funzione dall'espressione analitica y=f(x), e supponiamo che il suo dominio sia superiormente illimitato. Diciamo che la funzione f tende a +\infty per x\to +\infty, e scriviamo

 

\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty

 

se per ogni valore di controllo N>0 sulle ordinate esiste un corrispondente valore di controllo M>0, dipendente da N, tale per cui se consideriamo x>M allora risulta che f(x)>N.

 

In simboli:

 

\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty

 

\\ \mbox{se }\forall N>0\ \exists M(N)>0\mbox{ tale che se }x>M\\ \\ \mbox{ allora risulta }f(x)>N

 

Nel caso in cui la proprietà richiesta sia soddisfatta diremo che la funzione diverge positivamente per x tendente a +infinito.

 

La definizione è molto più semplice di quanto sembri e per comprenderla a fondo basta concentrarsi sul concetto e non sui simboli. Essa ci dice che f ha limite più infinito per x tendente a più infinito se, comunque scegliamo un valore di controllo N per le distanze delle ordinate, da intendersi "grande a piacere", esiste un corrispondente valore di controllo M per le ascisse, da intendersi "grande", con la proprietà che prendendo ascisse x più grandi di M avremo immagini f(x) più grandi di N.

 

Come al solito, è importante fare attenzione ad ogni singola parola della definizione onde evitare figuracce all'interrogazione o all'esame orale. ;) La proprietà richiesta nella definizione inizia con un bel per ogni, che non vuol dire ne basta uno: la proprietà deve essere verificata per ogni possibile valore di controllo N sulle ordinate.

 

L'interpretazione grafica della definizione di limite +infinito per x che tende a +infinito non lascia spazio ad alcun dubbio.

 

 

Significato grafico della definizione di limite infinito per x tendente a un valore infinito

 

 

L'esempio della precedente figura soddisfa chiaramente la proprietà, e abbiamo indicato una sola coppia N,\ M per dare un'idea, ma è chiaro che anche per altri valori di N c'è un corrispondente M per cui vale la definizione.

 

 

Altre definizioni di limite infinito all'infinito

 

Le altre possibili combinazioni di segno che si possono manifestare sul risultato del limite e sul segno dell'infinito cui tende la x possono essere facilmente individuate passando ai restanti quadranti del piano cartesiano:

 

- limite +\infty per x tendente a -\infty (secondo quadrante);

 

- limite -\infty per x tendente a +\infty (quarto quadrante);

 

- limite -\infty per x tendente a -\infty (terzo quadrante);

 

e dovrebbe essere chiaro come si modifica la definizione del limite +\infty per x tendente a +\infty per adattarla agli altri casi. Non stiamo qui ad esporle una ad una, ma a titolo di esempio...

 

 

Definizione (limite +infinito per x tendente a -infinito)

 

Diciamo che f tende a +\infty quando x tende a -\infty, e scriviamo

 

\lim_{x\to -\infty}{f(x)}=+\infty

 

se per ogni valore di controllo N>0 sulle ordinate esiste un corrispondente valore di controllo M=M(N)>0 (dipendente cioè da N) tale che se si considera x<-M allora risulta che f(x)>N.

 

In simboli:

 

\lim_{x\to -\infty}f(x)=+\infty

 

\mbox{se }\forall N>0\ \exists\ M(N)>0\mbox{ tale che se }x<-M\\ \\ \mbox{ allora risulta che }f(x)>N

 

Una piccola, insignificante osservazione: nella definizione abbiamo considerato il valore di controllo per le ascisse, ossia M, in modo che fosse positivo e conseguentemente abbiamo scritto x<-M in modo da individuare le ascisse nell'intorno di -infinito. La convenzione per le definizioni sui limiti prevede di considerare sempre valori di controllo positivi e di attribuire il rispettivo segno nelle disuguaglianze, in modo da evitare possibili fraintendimenti.

 

Attenzione perché certe fonti prediligono di attribuire il segno meno nel momento in cui viene introdotto il valore di controllo (nel nostro caso avremmo M(N)<0 per poi scrivere x<M). Dal punto di vista logico non cambia assolutamente nulla; dal punto di vista pratico dovremo leggere con attenzione ogni singola lettera delle definizioni che ci verranno proposte.

 

 

Significato grafico della definizione di limite infinito per x tendente meno infinito

 

 

Un buon esercizio prevede di scrivere le rimanenti definizioni facendo riferimento a generiche funzioni y=f(x) che soddisfino le proprietà richieste graficamente; per farlo basta disegnarne i grafici senza conoscere le espressioni analitiche.

 

A titolo di curiosità, ecco i grafici delle funzioni degli esempi 1) e 2) proposti inizialmente

 

 

Grafico dell'esempio 1

Esempio 1): funzione con limite +infinito per x tendente a -infinito e a +infinito.

 

 

Grafico dell'esempio 2

Esempio 2): funzione con limite +infinito per x tendente a +infinito. 

 

Esempio di verifica di un limite infinito all'infinito con la definizione

 

Vogliamo usare la definizione per verificare il seguente limite, che esprime il comportamento a più infinito della funzione radice di x

 

\lim_{x\to +\infty}\sqrt{x}=+\infty

 

Per cominciare notiamo che la funzione in esame ha dominio Dom(f)=(0,+\infty), dunque ha perfettamente senso considerarne il limite per x tendente a più infinito. Per capire se la proprietà espressa dalla definizione è soddisfatta dobbiamo verificare che per ogni N>0 esiste un M>0, dipendente da N, tale per cui considerando x>M risulta che f(x)>N.

 

Consideriamo la condizione finale

 

\sqrt{x}>N

 

che è una semplicissima disequazione irrazionale

 

x>N^2

 

Abbiamo già finito. Il valore di controllo che verifica la definizione è M(N)=N^2 e si noti che, intendendo per N un valore "grande a piacere", il corrispondente valore M è altrettanto "grande".

 

 


 

Nella scheda di esercizi correlati potete cimentarvi con gli esercizi sulla verifica mediante la definizione, per tutto il resto c'è la barra di ricerca interna. ;)

 

 

বিদায়, see you soon guys!

Agente Ω

 

Lezione precedente.....Esercizi correlati.....Lezione successiva

 

Tags: definizione di limite infinito per x tendente a un valore infinito, il quarto dei quattro tipi di limite. Lezione molto utile nel contesto di verifica dei limiti con la definizione e per impararne il significato geometrico - per ogni N esiste un M.

 

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