Limiti

Il calcolo dei limiti in Matematica è un'operazione che permette di studiare il comportamento di una funzione nell'intorno di un punto o all'infinito; più precisamente il passaggio al limite consente di determinare il valore cui tende una funzione nell'intorno di un punto o all'infinito.

 

Le lezioni di questo capitolo riguardano i limiti, la continuità lo studio degli asintoti delle funzioni reali di una variabile reale, strumenti indispensabili in Analisi Matematica e fondamentali per lo svolgimento di esercizi tipici di verifiche ed esami. Esse si rivolgono agli studenti delle scuole superiori e dell'università e si prefiggono lo scopo di fornire una panoramica a 360° su tutti gli aspetti teorici e pratici che riguardano il calcolo dei limiti.

 

I limiti in Matematica hanno una infinità di utilizzi e tantissimi metodi di calcolo. Basta fare un po' di ordine, imparare una manciata di trucchetti, e il gioco è fatto. ;)

 
 
 

 

Prima di procedere con lo studio, leggere con attenzione: un manciata di lezioni sui limiti tra quelle che seguono si rivolgono esclusivamente agli studenti universitari, e avremo cura di specificarlo di volta in volta. Vi anticipiamo già cosa non troverete qui: i limiti in due variabili, di cui parliamo nella sezione dedicata ad Analisi 2.

 

Il primo gruppo di lezioni (1-10) riguarda le definizioni sui limiti di funzioni reali ad una variabile reale ed un'importante applicazione teorica dei limiti. Tratteremo infatti la nozione di funzione continua, vedremo come classificare i punti di discontinuità e proporremo alcuni teoremi relativi alla continuità delle funzioni. In questo frangente le spiegazioni verranno proposte nel modo più semplice possibile e si concentreranno in particolare sul significato e sull'interpretazione grafico-geometrica dei limiti.

 

Nel secondo blocco (11-23) passiamo ad occuparci delle varie tecniche di calcolo e classificazione limiti da un punto di vista pratico, ossia quello che serve per svolgere gli esercizi sui limiti.

 

Il terzo blocco (24-28) si concentra su alcuni teoremi fondamentali della teoria dei limiti, che sono imprescindibili a qualsiasi livello di studio e che torneranno a più riprese nel prosieguo dell'Analisi Matematica... e non solo. ;)

 

Il quarto blocco (29-33) riprende lo studio della continuità delle funzioni da un punto di vista pratico, dopodiché si passa allo studio e al calcolo degli asintoti. Questo non sarà solamente un banco di prova per applicare concretamente i metodi di calcolo dei limiti, perché aggiungerà anche un tassello sulla strada verso lo studio di funzione.

 

Il quinto ed ultimo blocco (34-39) è rivolto solamente agli studenti universitari. Da un lato propone una formalizzazione più matura di alcuni concetti trattati nelle lezioni precedenti, dall'altro fornisce strumenti per studiare e calcolare i limiti con un approccio più avanzato, nonché un'importante metodo di calcolo che è oggetto di studio nei corsi di Matematica delle varie facoltà universitarie: i limiti con Taylor.

 

Leggere potrebbe non bastare, e noi vogliamo risolvere i tuoi problemi. Le lezioni su limiti, continuità e asintoti che lo richiedono sono corredate da esercizi svolti ed esercizi proposti. Inoltre vi ricordiamo che da quando YM è nato abbiamo risposto a qualche migliaio di domande, e molte tra queste hanno avuto come protagonisti proprio i limiti. Qualche utente con ogni probabilità ha fatto domande sullo specifico argomento che vi interessa, dunque in caso di necessità potete:

 

- usare il comando di ricerca presente in cima ad ogni pagina;

 

- sfogliare le discussioni su limiti, continuità e asintoti del Forum di Analisi 1 lato Università e lato Scuole Superiori;

 

- dare un'occhiata alle D&R della categoria "Uni - Analisi" e "Superiori - Analisi".

 

Chi è impaziente può passare subito agli esercizi sui limiti e può correggere i risultati dei propri esercizi con il tool per calcolare i limiti online.


1 Cosa sono i limiti di funzioni?
2 Definizione di limite finito per x tendente a un valore finito
3 Limite infinito per x tendente a un valore finito
4 Limite destro e limite sinistro
5 Limite finito per x tendente all'infinito
6 Limite infinito per x tendente all'infinito
7 Non esistenza di un limite
8 Teorema di unicità del limite
9 Funzione continua e continuità
10 Punti di discontinuità
11 Continuità e limiti di funzioni elementari
12 Regole per il calcolo dei limiti
13 Limiti di funzioni monotone
14 Limiti fondamentali
15 Infiniti e infinitesimi
16 Calcolo di limiti da sinistra e da destra
17 Limiti per sostituzione - limite della funzione composta
18 Forme indeterminate
19 Tabella: forme di indecisione e metodi di risoluzione
20 Limiti notevoli
21 Limiti notevoli: come si usano
22 Confronto tra infiniti e ordini di infinito
23 Confronto tra infinitesimi e ordini di infinitesimo
24 Teorema del confronto per i limiti
25 Teorema di de l'Hôpital
26 Teorema della permanenza del segno
27 Teorema degli zeri
28 Teorema dei valori intermedi
29 Come stabilire se una funzione è continua
30 Asintoti
31 Asintoto verticale
32 Asintoto orizzontale
33 Asintoto obliquo
34 Simboli di Landau
35 O-grande
36 Equivalenze asintotiche
37 O-piccolo e algebra degli o-piccolo
38 Parte principale con Taylor
39 Limiti con Taylor