Arcocotangente arccot(x)

L'arcocotangente è una funzione goniometrica inversa definita come inversa della funzione cotangente. Denotata con arccot(x), con arcctg(x), con acot(x) o ancora con actg(x), assume come valori gli angoli tra 0 e ∏ espressi in radianti.

 

Veniamo alle proprietà e al grafico dell'arcocotangente intesa come funzione goniometrica: cominciamo dalla definizione e dalla rappresentazione grafica, per passare poi a tutte le principali identità e proprietà che la caratterizzano.

 

f(x) = arccot(x)

 

 

Definizione di arcocotangente: considerato un numero x∈R, si definisce α = arccot(x) l'angolo α∈ (0,π) la cui cotangente è x. In matematichese:

 

α = arccot(x) ⇔ cot(α) = x con α ∈ (0,π)

 

In particolare, l'arcocotangente è la funzione inversa della funzione cotangente sull'intervallo (0,π).

 

 

Per calcolare l'arcocotangente in un punto x non c'è una formula vera e propria. L'unico modo di procedere prevede di utilizzare la definizione e di individuare l'angolo α∈ (0,π) la cui cotangente vale x.

 

Per fare un esempio

 

arccot(1) = ? → cot((π)/(4)) = 1

 

da cui

 

arccot(1) = (π)/(4)

 

Per un eventuale ripasso sui valori delle funzioni goniometriche - click. ;)

 

Grafico dell'arcocotangente

 

Arcocotangente

 

 

Attenzione: alcuni testi e calcolatori assumono come definizione di arcocotangente la seguente

 

α = arccot(x) ⇔ cot(α) = x con α ∈ (-(π)/(2),(π)/(2))

 

e tra questi anche il nostro tool per disegnare il grafico delle funzioni. La scelta è arbitraria, anche se dal canto nostro è preferibile la definizione di arcocotangente data inizialmente.

 

Identità dell'arcocotangente

 

Qui di seguito riportiamo le principali identita relative all'arcocotangente, che possono risultare utili nella risoluzione di alcuni esercizi.

 

 

 arccot(cot(x)) = x per 0 < x < π ; cot(arccot(x)) = x ∀ x ; arctan(x)+arccot(x) = (π)/(2) ∀ x ; arccot(x)+arccot((1)/(x)) = -(π)/(2) se x < 0 ;+(π)/(2) se x > 0

 

 

Omettiamo le identità relative alla composizione con le altre funzioni trigonometriche onde evitare fraintendimenti relativi alla scelta della definizione. ;)

 

Per tutte le altre formule trigonometriche potete leggere il formulario del link. ;)

 

Proprietà della funzione arcocotangente di x

 

1) Dominio: Dom(f) = (-∞,+∞).

 

 

2) Funzione né pari né dispari.

 

 

3) Funzione limitata con immagine Im(f) = (0,π).

 

 

4) Funzione monotona strettamente decrescente su R.

 

 

5) Concava sull'intervallo (-∞,0), convessa su (0,+∞).

 

 

6) Continua su tutto R, derivabile su tutto R.

 

 

7) Limiti agli estremi del dominio:

 

 lim_(x → -∞)arccot(x) = π ; lim_(x → +∞)arccot(x) = 0

 

 

8) Derivata:

 

(d)/(dx)arccot(x) = -(1)/(1+x^2)

 

 

9) Integrale:

 

∫arccot(x)dx = (1)/(2)log(x^2+1)+x·arccot(x)+c

 

 


 

Se siete in cerca di esercizi svolti e non, o in caso di dubbi, non esitate e usate la barra di ricerca interna: lo staff di YM ha risposto a migliaia di domande e risolto altrettanti esercizi. ;)

 

 

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Tags: lezione di riepilogo con la definizione, il grafico e tutte le proprietà della funzione arcocotangente di x arccot(x), tra cui: il dominio, la monotonia, la convessità, i limiti agli estremi, il limite notevole associato, la derivata e l'integrale dell'arcocotangente.