Arcocotangente arccot(x)

L'arcocotangente è una funzione goniometrica inversa definita come inversa della funzione cotangente. Denotata con arccot(x), con arcctg(x), con acot(x) o ancora con actg(x), assume come valori gli angoli tra 0 e ∏ espressi in radianti.

Veniamo alle proprietà e al grafico dell'arcocotangente intesa come funzione goniometrica: cominciamo dalla definizione e dalla rappresentazione grafica, per passare poi a tutte le principali identità e proprietà che la caratterizzano.

$f(x)=\mbox{arccot}(x)$

Definizione di arcocotangente: considerato un numero $x\in\mathbb{R}$ , si definisce $\alpha= \mbox{arccot}(x)$ l'angolo $\alpha\in \left(0,\pi\right)$ la cui cotangente è . In matematichese:

$\alpha=\mbox{arccot}(x)\iff \mbox{cot}(\alpha)=x\mbox{ con }\alpha \in (0,\pi)$

In particolare, l'arcocotangente è la funzione inversa della funzione cotangente sull'intervallo $(0,\pi)$ .

Per calcolare l'arcocotangente in un punto non c'è una formula vera e propria. L'unico modo di procedere prevede di utilizzare la definizione e di individuare l'angolo $\alpha\in (0,\pi)$ la cui cotangente vale .

Per fare un esempio

$\mbox{arccot}(1)=?\ \to\ \cot\left(\frac{\pi}{4}\right)=1$

da cui

$\mbox{arccot}(1)=\frac{\pi}{4}$

Per un eventuale ripasso sui valori delle funzioni goniometriche - click. ;)

Grafico dell'arcocotangente

Arcocotangente

Attenzione: alcuni testi e calcolatori assumono come definizione di arcocotangente la seguente

$\alpha=\mbox{arccot}(x)\iff \mbox{cot}(\alpha)=x\mbox{ con }\alpha \in \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$

e tra questi anche il nostro tool per disegnare il grafico delle funzioni. La scelta è arbitraria, anche se dal canto nostro è preferibile la definizione di arcocotangente data inizialmente.

Identità dell'arcocotangente

Qui di seguito riportiamo le principali identita relative all'arcocotangente, che possono risultare utili nella risoluzione di alcuni esercizi.

$\\ \mbox{arccot}(\cot(x))=x\ \ \ \mbox{per }0<x<\pi\\ \\ \\ \cot(\mbox{arccot}(x))=x\ \ \ \forall x\\ \\ \\ \arctan(x)+\mbox{arccot}(x)=\frac{\pi}{2}\ \ \ \forall x\\ \\ \\ \mbox{arccot}(x)+\mbox{arccot}\left(\frac{1}{x}\right)=\begin{cases}-\frac{\pi}{2}\mbox{ se }x<0\\ +\frac{\pi}{2}\mbox{ se }x>0\end{cases}$

Omettiamo le identità relative alla composizione con le altre funzioni trigonometriche onde evitare fraintendimenti relativi alla scelta della definizione. ;)

Per tutte le altre formule trigonometriche potete leggere il formulario del link. ;)

Proprietà della funzione arcocotangente di x

1) Dominio: $Dom(f)=(-\infty,+\infty)$ .

2) Funzione né pari né dispari.

3) Funzione limitata con immagine $Im(f)=(0,\pi)$ .

4) Funzione monotona strettamente decrescente su $\mathbb{R}$ .

5) Concava sull'intervallo $\left(-\infty,0\right)$ , convessa su $(0,+\infty)$ .

6) Continua su tutto $\mathbb{R}$ , derivabile su tutto $\mathbb{R}$ .

7) Limiti agli estremi del dominio:

$\\ \lim_{x\to -\infty}{\mbox{arccot}(x)}=\pi\\ \\ \lim_{x\to +\infty}{\mbox{arccot}{(x)}}=0$

8) Derivata:

$\frac{d}{dx}\mbox{arccot}{(x)}=-\frac{1}{1+x^2}$

9) Integrale:

$\int\mbox{arccot}(x)dx=\frac{1}{2}\log(x^2+1)+x\cdot\mbox{arccot}(x)+c$

Se siete in cerca di esercizi svolti e non, o in caso di dubbi, non esitate e usate la barra di ricerca interna: lo staff di YM ha risposto a migliaia di domande e risolto altrettanti esercizi. ;)

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