Funzioni iperboliche

Le funzioni iperboliche sono seno iperbolico, coseno iperbolico, tangente iperbolica, cotangente iperbolica, secante iperbolica e cosecante iperbolica, e costituiscono una famiglia di funzioni elementari dotate di proprietà analoghe a quelle delle funzioni goniometriche.

Questa pagina, più che una lezione, è una scheda di riepilogo sulle funzioni iperboliche in cui vedremo dapprima come si definiscono mediante l'iperbole equilatera, per poi darne la definizione in forma esponenziale. Riporteremo il grafico di ogni funzione iperbolica mettendo in risalto le analogie con le funzioni goniometriche. Elencheremo infine le formule notevoli per le funzioni iperboliche e vi spiegheremo come ricavarle dalle formule goniometriche mediante la regola di Osborn.

Le funzioni iperboliche non hanno una collocazione precisa a livello didattico, a differenza delle funzioni goniometriche che ad esempio vengono studiate per la prima volta in Trigonometria. Per questo motivo abbiamo convenuto di trattarle nella sezione dedicata alle funzioni elementari. Precisiamo inoltre che le funzioni iperboliche sono oggetto di studio anche alle scuole superiori.

Definizione geometrica delle funzioni iperboliche

Fissiamo un sistema di riferimento cartesiano nel piano e consideriamo l'iperbole equilatera di equazione , avente come asintoti la bisettrice di primo-terzo quadrante e la bisettrice di secondo-quarto quadrante, e come vertici i punti e .

Concentriamo la nostra attenzione su uno dei due rami, ad esempio su quello che giace nel semipiano positivo delle ascisse. Dato un qualsiasi numero reale sia il punto sul ramo dell'iperbole che individua un settore iperbolico avente area (con segno) uguale a $\frac{x}{2}$ .

Con area con segno si intende che se è un numero positivo, allora il settore iperbolico giace nel primo quadrante, mentre se è un numero negativo, allora il settore iperbolico è contenuto nel quarto quadrante. Attenzione perché $\frac{x}{2}$ si riferisce alla misura dell'area, mentre l'ascissa del punto è .

Funzioni iperboliche

Definizione delle funzioni iperboliche
a partire dall'iperbole equilatera.

Si definiscono coseno iperbolico e seno iperbolico di , rispettivamente, l'ascissa e l'ordinata del punto

$\\ \cosh(x) := X_P \\ \\ \sinh(x) := Y_P$

A partire da seno iperbolico e coseno iperbolico si introducono e si definiscono le altre funzioni iperboliche:

$\\ \tanh(x)=\frac{\sinh(x)}{\cosh(x)}\ \ \ ;\ \ \ \coth(x)=\frac{\cosh(x)}{\sinh(x)}\\ \\ \\ \mbox{sech}(x)=\frac{1}{\cosh(x)}\ \ \ ;\ \ \ \mbox{csch}(x)=\frac{1}{\sinh(x)}$

Definizione esponenziale e grafici delle funzioni iperboliche

Passiamo in rassegna le varie funzioni iperboliche dando la definizione attraverso la funzione esponenziale , riportando i vari grafici e mettendo in evidenza dominio, immagine e le analogie con le corrispondenti funzioni trigonometriche.

Per tutte le altre proprietà vi rimandiamo alle schede relative a ciascuna funzione, che potete consultare con un semplice click sul nome.

Seno iperbolico

La funzione seno iperbolico $y=\sinh(x)$ è una funzione da $\mathbb{R}$ in $\mathbb{R}$ che a ogni associa un valore detto seno iperbolico di

$\\ \sinh(x): \mathbb{R} \to \mathbb{R} \\ \\ x \mapsto \sinh(x)$

La definizione di seno iperbolico attraverso la funzione esponenziale è la seguente

$\sinh(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$

Come si evince dal grafico, dominio e immagine coincidono con tutto $\mathbb{R}$ , e analogamente alla funzione seno è una funzione dispari (simmetrica rispetto all'origine degli assi) e il seno iperbolico di 0 vale 0.

$\sinh(0)=\sin(0)=0$

Funzione seno iperbolico

Grafico della funzione seno iperbolico

Coseno iperbolico

La funzione coseno iperbolico è la seconda e ultima funzione che non viene definita da altre funzioni iperboliche.

$\\ \cosh(x): \mathbb{R} \to [1,+\infty) \\ \\ x \mapsto \cosh(x)$

Il suo legame con la funzione esponenziale è il seguente

$\cosh(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}$

Ha come dominio $\mathbb{R}$ e come immagine l'intervallo illimitato $[1, +\infty)$

Come la funzione coseno, è una funzione pari e il coseno iperbolico di 0 è 1.

$\cosh(0)=\cos(0)=1$

Funzione coseno iperbolico

Grafico della funzione coseno iperbolico

Tangente iperbolica

La funzione tangente iperbolica è definita come il rapporto tra seno iperbolico e coseno iperbolico

$\tanh(x)=\frac{\sinh(x)}{\cosh(x)}=\frac{e^x - e^{-x}}{e^x+e^{-x}} = \frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}$

L'ultima relazione si ottiene moltiplicando numeratore e denominatore di $\frac{e^x - e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$ per

Il dominio della tangente iperbolica è tutto $\mathbb{R}$ e la sua immagine è l'intervallo aperto e limitato

$\\ \tanh(x): \mathbb{R} \to (-1, 1) \\ \\ x \mapsto \tanh(x)=\frac{\sinh(x)}{\cosh(x)}$

Analogamente alla funzione tangente è una funzione dispari e la tangente iperbolica di 0 vale 0

$\tanh(0)=\tan(0)=0$

Funzione tangente iperbolica

Grafico della funzione tangente iperbolica

Cotangente iperbolica

La cotangente iperbolica è la funzione reciproca della tangente iperbolica e si può anche definire come il rapporto tra coseno iperbolico e seno iperbolico

$\coth(x) := \frac{1}{\tanh(x)} = \frac{\cosh(x)}{\sinh(x)} = \frac{e^x+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}} = \frac{e^{2x}+1}{e^{2x}-1}$

Il suo dominio è $\mathbb{R}-\{0\}$ e ha come immagine $(-\infty, -1) \cup (1,+\infty)$

$\\ \coth(x): \mathbb{R}-\{0\} \to (-\infty, -1) \cup (1,+\infty) \\ \\ x \mapsto \coth(x)=\frac{\cosh(x)}{\sinh(x)}$

Similmente alla funzione cotangente non è definita per ed è una funzione dispari.

Funzione cotangente iperbolica

Grafico della funzione cotangente iperbolica

Secante iperbolica

Si indica con $\mbox{sech}(x)$ ed è la funzione reciproca del coseno iperbolico.

$\mbox{sech}(x) := \frac{1}{\cosh(x)} = \frac{2}{e^x+e^{-x}} = \frac{2e^x}{e^{2x}+1}$

È definita in tutto $\mathbb{R}$ e la sua immagine è l'intervallo limitato .

$\\ \mbox{sech}(x): \mathbb{R} \to (0, 1] \\ \\ x \mapsto \mbox{sech}(x)=\frac{1}{\cosh(x)}$

La secante iperbolica di 0 vale 1 e proprio come la funzione secante è una funzione pari.

$\mbox{sech}(0) = \sec(0) = 1$

Funzione secante iperbolica

Grafico della funzione secante iperbolica

Cosecante iperbolica

Concludiamo con la funzione cosecante iperbolica $y=\mbox{csch}(x)$ , definita come la funzione reciproca del seno iperbolico.

$\mbox{csch}(x) := \frac{1}{\sinh(x)} = \frac{2}{e^x-e^{-x}} = \frac{2e^x}{e^{2x}-1}$

Attenzione quindi a non farvi trarre in inganno dal nome; nonostante l'assonanza tra i termini cosecante e coseno, la cosecante iperbolica è la funzione reciproca del seno iperbolico (e non del coseno iperbolico).

La cosecante iperbolica è definita su tutto l'asse reale ad eccezione dello 0, che è il punto che annulla il seno iperbolico, e ha come immagine $\mathbb{R}-\{0\}$ .

$\\ \mbox{csch}(x): \mathbb{R}-\{0\} \to \mathbb{R}-\{0\} \\ \\ x \mapsto \mbox{csch}(x)=\frac{1}{\sinh(x)}$

Le analogie con la funzione cosecante sono evidenti: entrambe sono funzioni dispari e non sono definite per .

Funzione cosecante iperbolica

Grafico della funzione cosecante iperbolica

Formule notevoli delle funzioni iperboliche

Le funzioni iperboliche soddisfano molte identità, simili a quelle delle funzioni goniometriche e che si possono ricavare dalle formule trigonometriche usando la regola di Osborn, secondo cui:

per convertire ogni formula sulle funzioni goniometriche in una formula sulle funzioni iperboliche si deve trasformare ogni seno nel seno iperbolico, ogni coseno nel coseno iperbolico e cambiare il segno di ogni termine che presenta $\sinh^2(x)$ o il prodotto di due seni iperbolici, non necessariamente con lo stesso argomento.

Ad esempio, dall'identità fondamentale della Trigonometria

$\cos^2(x)+\sin^2(x)=1$

possiamo ricavare l'identità fondamentale delle funzioni iperboliche

$\cosh^2(x) - \sinh^2(x)=1$

ottenuta sostituendo $\cos(x)$ con $\cosh(x )$ , $\sin(x)$ con $\sinh(x)$ e cambiando il segno che precede $\sinh^2(x)$ .

Procedendo allo stesso modo si ricavano le formule di addizione, di duplicazione, di bisezione, parametriche, di prostaferesi e di Werner delle funzioni iperboliche, che abbiamo riportato nella seguente tabella assieme alle corrispondenti formule goniometriche.

	Funzioni goniometriche	Funzioni iperboliche
Identità fondamentale	$\cos^2(x)+\sin^2(x)=1$	$\cosh^2(x)-\sinh^2(x)=1$
Formule di addizione e sottrazione	$\\ \sin(x\pm y) = \sin(x)\cos(y)\pm \cos(x)\sin(y) \\ \\ \cos(x \pm y) = \cos(x) \cos(y) \mp \sin(x)\sin(y)$	$\\ \sinh(x\pm y) = \sinh(x)\cosh(y)\pm \cosh(x)\sinh(y) \\ \\ \cosh(x \pm y) = \cosh(x) \cosh(y) \pm \sinh(x)\sinh(y)$
Formule di duplicazione	$\\ \sin(2x)= 2 \sin(x) \cos(x) \\ \\ \cos(2x)=\cos^2(x)-\sin^2(x)$	$\\ \sinh(2x)= 2 \sinh(x) \cosh(x) \\ \\ \cosh(2x)=\cosh^2(x)+\sinh^2(x)$
Formule di bisezione	$\\ \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1-\cos(x)}{2} \\ \\ \\ \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1+\cos(x)}{2}$	$\\ \sinh^2\left(\frac{x}{2}\right) = -\frac{1-\cosh(x)}{2} \\ \\ \\ \cosh^2\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1+\cosh(x)}{2}$
Formule parametriche	$\\ \sin(x)=\frac{2 \tan\left(\frac{x}{2}\right)}{1+\tan^2\left(\frac{x}{2}\right)} \\ \\ \\ \cos(x)=\frac{1- \tan^2\left(\frac{x}{2}\right)}{1+\tan^2\left(\frac{x}{2}\right)}$	$\\ \sinh(x)=\frac{2 \tanh\left(\frac{x}{2}\right)}{1-\tanh^2\left(\frac{x}{2}\right)} \\ \\ \\ \cosh(x)=\frac{1+ \tanh^2\left(\frac{x}{2}\right)}{1-\tanh^2\left(\frac{x}{2}\right)}$
Formule di prostaferesi	$\\ \sin(x)+\sin(y)=2 \sin\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right) \\ \\ \\ \sin(x)-\sin(y)=2 \cos\left(\frac{x+y}{2}\right)\sin\left(\frac{x-y}{2}\right) \\ \\ \\ \cos(x)+\cos(y)=2 \cos\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right) \\ \\ \\ \cos(x)-\cos(y)=-2 \sin\left(\frac{x+y}{2}\right)\sin\left(\frac{x-y}{2}\right)$	$\\ \sinh(x)+\sinh(y)=2 \sinh\left(\frac{x+y}{2}\right)\cosh\left(\frac{x-y}{2}\right) \\ \\ \\ \sinh(x)-\sinh(y)=2 \cosh\left(\frac{x+y}{2}\right)\sinh\left(\frac{x-y}{2}\right) \\ \\ \\ \cosh(x)+\cosh(y)=2 \cosh\left(\frac{x+y}{2}\right)\cosh\left(\frac{x-y}{2}\right) \\ \\ \\ \cosh(x)-\cosh(y)=2 \sinh\left(\frac{x+y}{2}\right)\sinh\left(\frac{x-y}{2}\right)$
Formule di Werner	$\\ \sin(x)\sin(y)=\frac{1}{2}\left[\cos(x-y)-\cos(x+y)\right] \\ \\ \\ \cos(x)\cos(y)=\frac{1}{2}\left[\cos(x-y)+\cos(x+y)\right] \\ \\ \\ \sin(x)\cos(y)=\frac{1}{2}\left[\sin(x-y)+\sin(x+y)\right]$	$\\ \sinh(x)\sinh(y)=-\frac{1}{2}\left[\cosh(x-y)-\cosh(x+y)\right] \\ \\ \\ \cosh(x)\cosh(y)=\frac{1}{2}\left[\cosh(x-y)+\cosh(x+y)\right] \\ \\ \\ \sinh(x)\cosh(y)=\frac{1}{2}\left[\sinh(x-y)+\sinh(x+y)\right]$

È tutto! Vi ricordiamo che, per ogni funzione iperbolica vista in questa lezione di riepilogo, avete a disposizione le relative schede di approfondimento, dove potete consultarne tutte le proprietà (compreso ad esempio lo sviluppo in serie di Taylor).

Se invece vi interessano le sostituzioni iperboliche negli integrali potete consultare la lezione del link, e per qualsiasi altro dubbio vi invitiamo a usare la barra di ricerca interna. ;)

Buon proseguimento su Youmath,

Giuseppe Carichino (Galois)

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