Funzione lineare y=ax+b

Una funzione lineare, o più precisamente funzione lineare affine, è una funzione definita mediante un polinomio di grado 1 e il cui grafico coincide con una retta.

 

In questa scheda vedremo elencheremo le proprietà analitiche che contraddistinguono le funzioni lineari: dominio, grafico, limiti agli estremi, regole di calcolo per derivare e integrare una funzione lineare.

 
 
 

Definizione di funzione lineare

 

Iniziamo dalla definizione di funzione lineare: si tratta di una funzione definita mediante un polinomio di grado 1, ossia che si presenta nella forma

 

f(x)=ax+b

 

dove a\neq 0 e b è un numero reale qualsiasi.

 

Si noti che con a=0 ricadiamo nel caso di una funzione costante, mentre con a=1,\ b=0 otteniamo la funzione identità.

 

Riteniamo opportuno precisare che la locuzione funzione lineare si riferirebbe alle funzioni del tipo f(x)=ax in cui il termine b è uguale a 0. Nel caso in cui b sia diverso da 0 allora f(x) andrebbe chiamata più precisamente funzione lineare affine, anche se il suddetto abuso di linguaggio è comunemente accettato.

 

Grafico delle funzioni lineari

 

y=ax+b\ \ \ \mbox{con }a,b\in\mathbb{R},\ a\neq 0

 

Funzioni lineari

(In blu y=x/2+1, in rosso y=-2x+1, in verde y=3x)

 

 

Una funzione lineare ha per grafico una retta che però non può essere verticale né orizzontale. Per tutti gli approfondimenti di natura geometrica e le varie formule di Geometria Analitica vi rimandiamo al formulario del link.

 

A tal proposito vi facciamo notare che la nomenclatura di riferimento in Geometria Analitica denota l'equazione della retta nella forma

 

y=mx+q

 

dove m rappresenta il coefficiente angolare della retta e q l'ordinata all'origine.

 

Proprietà della funzioni lineari

 

È giunto il momento di elencare le proprietà analitiche delle funzioni lineari.

 

 

1) Dominio: Dom(f)=(-\infty, +\infty)

 

 

2) Se b=0 allora è una funzione dispari in quanto individua rette passanti per l'origine; se b\ne 0 non è né pari né dispari.

 

 

3) È una funzione illimitata sia superiormente che inferiormente.

 

 

4) È una funzione monotona strettamente crescente se a>0, mentre è strettamente decrescente se a<0.

 

 

5) È una funzione sia convessa che concava.

 

 

6) Continua su tutto il dominio, derivabile su tutto il dominio.

 

 

7) Limiti agli estremi del dominio:

 

\\ \lim_{x\to +\infty}(ax+b)=\lim_{x\to +\infty}ax=\mbox{sgn}(a)\cdot(+\infty) \\ \\ \\ \lim_{x\to -\infty}(ax+b)=\lim_{x\to -\infty}ax=\mbox{sgn}(a)\cdot(-\infty)

 

Nota: la funzione y=\mbox{sgn}(x) indica la funzione segno.

 

 

8) Derivata di una funzione lineare: in accordo con la regola di derivazione della somma

 

\frac{d}{dx}\left[ax+b\right]=a

 

 

9) Integrale di una funzione lineare:

 

\int(ax+b)dx=\frac{ax^2}{2}+bx+c \ \ \ \mbox{ con }c\in\mathbb{R}

 

 

10) Sviluppo di Taylor con centro in x_0=0: se l'ordine di sviluppo è maggiore o uguale a 1 allora lo sviluppo di Taylor coincide con la funzione lineare; se invece l'ordine di sviluppo è 0 allora il polinomio di Taylor coincide con il termine noto della funzione più il resto.

 

 


 

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