Funzione lineare y=ax+b

Una funzione lineare, o più precisamente funzione lineare affine, è una funzione definita mediante un polinomio di grado 1 e il cui grafico coincide con una retta.

In questa scheda vedremo elencheremo le proprietà analitiche che contraddistinguono le funzioni lineari: dominio, grafico, limiti agli estremi, regole di calcolo per derivare e integrare una funzione lineare.

Definizione di funzione lineare

Iniziamo dalla definizione di funzione lineare: si tratta di una funzione definita mediante un polinomio di grado 1, ossia che si presenta nella forma

dove e è un numero reale qualsiasi.

Si noti che con ricadiamo nel caso di una funzione costante, mentre con otteniamo la funzione identità.

Riteniamo opportuno precisare che la locuzione funzione lineare si riferirebbe alle funzioni del tipo in cui il termine è uguale a 0. Nel caso in cui sia diverso da 0 allora andrebbe chiamata più precisamente funzione lineare affine, anche se il suddetto abuso di linguaggio è comunemente accettato.

Grafico delle funzioni lineari

(In blu y=x/2+1, in rosso y=-2x+1, in verde y=3x)

Una funzione lineare ha per grafico una retta che però non può essere verticale né orizzontale. Per tutti gli approfondimenti di natura geometrica e le varie formule di Geometria Analitica vi rimandiamo al formulario del link.

A tal proposito vi facciamo notare che la nomenclatura di riferimento in Geometria Analitica denota l'equazione della retta nella forma

dove rappresenta il coefficiente angolare della retta e l'ordinata all'origine.

Proprietà della funzioni lineari

È giunto il momento di elencare le proprietà analitiche delle funzioni lineari.

1) Dominio:

2) Se allora è una funzione dispari in quanto individua rette passanti per l'origine; se non è né pari né dispari.

3) È una funzione illimitata sia superiormente che inferiormente.

4) È una funzione monotona strettamente crescente se , mentre è strettamente decrescente se .

5) È una funzione sia convessa che concava.

6) Continua su tutto il dominio, derivabile su tutto il dominio.

7) Limiti agli estremi del dominio:

Nota: la funzione indica la funzione segno.

8) Derivata di una funzione lineare: in accordo con la regola di derivazione della somma

9) Integrale di una funzione lineare:

10) Sviluppo di Taylor con centro in : se l'ordine di sviluppo è maggiore o uguale a 1 allora lo sviluppo di Taylor coincide con la funzione lineare; se invece l'ordine di sviluppo è 0 allora il polinomio di Taylor coincide con il termine noto della funzione più il resto.

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Au revoir, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

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Ultima modifica: 19/04/2023