Funzione razionale

Le funzioni razionali sono delle funzioni fratte in cui sia il numeratore che il denominatore sono polinomi. Si possono classificare in funzioni razionali intere e in funzioni razionali fratte in base al grado del polinomio a denominatore.

In questa scheda vedremo tutto quello che c'è da sapere sulle funzioni razionali: dominio, grafico e le loro proprietà analitiche più importanti, quali i limiti agli estremi del dominio e le regole per il calcolo della derivata e dell'integrale.

Definizione di funzione razionale

Partiamo dalla definizione di funzione razionale: una funzione razionale è una funzione che si esprime mediante il rapporto di due polinomi, ossia che si presenta nella forma

f(x) = (N(x))/(D(x))

dove:

• N(x) è un polinomio di grado n ≥ 0

N(x) = a_(n)x^n+a_(n−1)x^(n−1)+a_(n−2)x^(n−2)+ ... +a_(1)x+a_0

• D(x) è un polinomio di grado m ≥ 0 e non identicamente nullo.

D(x) = b_(m)x^m+b_(m−1)x^(m−1)+a_(m−2)x^(m−2)+ ... +b_(1)x+b_0

In altri termini una funzione razionale è definita mediante una frazione algebrica. Possiamo distinguere le funzioni razionali in:

- funzioni razionali intere, dette più propriamente funzioni polinomiali, se il grado del polinomio a denominatore è 0;

- funzioni razionali fratte se il grado del polinomio a denominatore è maggiore di 0.

Grafico delle funzioni razionali

Funzioni razionali

(In blu y=(x+1)/(x-1), in rosso y=(x^2+1)/(x^2-1), in verde y=x^3/(x^2-4))

Funzioni razionali notevoli

Esistono tre tipologie di funzioni razionali che rivestono un ruolo importante in Analisi Matematica e per tale motivo acquisiscono una nomenclatura propria. Esse sono: 

- le funzioni lineari affini

f(x) = ax+b con a,b∈R ∧ a ne 0

- le funzioni polinomiali

f(x) = a_(n)x^n+a_(n−1)x^(n−1)+ ... +a_(1)x+a_(0) ; ; con a_0, a_1, ... , a_n∈R ∧ a_n ne 0

- le funzioni omografiche

f(x) = (a x+b)/(c x+d) con x ne−(d)/(c)

Proprietà della funzioni razionali

È giunto il momento di elencare le proprietà delle funzioni razionali

f(x) = (N(x))/(D(x))

1) Dominio: Dom(f) = x∈R | D(x) ne 0

2) In generale nulla si può dire a priori su parità e disparità.

3) In generale nulla si può dire a priori sulla limitatezza.

4) In generale nulla si può dire a priori sulla monotonia.

5) In generale nulla si può dire a priori su concavità e convessità.

6) Continua su tutto il dominio, derivabile su tutto il dominio.

7) Limiti agli estremi infiniti del dominio:

lim_(x → +∞)(a_n x^n+a_(n−1)x^(n−1)+ ... +a_1 x+a_0)/(b_(m)x^(m)+b_(m−1)x^(m−1)+ ... +b_1 x+b_0) = lim_(x → +∞)(a_(n))/(b_m)x^(n−m) = sgn((a_n)/(b_m))·(+∞) se n > m ; (a_(n))/(b_(m)) se n = m ; 0 se n < m

lim_(x → −∞)(a_n x^n+a_(n−1)x^(n−1)+ ... +a_1 x+a_0)/(b_(m)x^(m)+b_(m−1)x^(m−1)+ ... +b_1 x+b_0) = lim_(x → −∞)(a_(n))/(b_(m))x^(n−m) = sgn((a_(n))/(b_(m)))·(+∞) se n > m ∧ n−m pari ; sgn((a_(n))/(b_(m)))·(−∞) se n > m ∧ n−m dispari ; (a_n)/(b_m) se n = m ; 0 se n < m

Nota: la funzione y = sgn(x) indica la funzione segno.

8) Derivata di una funzione razionale: in accordo con la regola per la derivata del quoziente

(d)/(dx)[(N(x))/(D(x))] = (N'(x)D(x)−N(x)D'(x))/([D(x)]^2)

9) Integrale di una funzione razionale: si determina mediante la tecnica dei fratti semplici.

10) Sviluppo di Taylor con centro in x_0 = 0: in generale nulla si può dire a priori sul calcolo dello sviluppo di Taylor associato ad una funzione razionale; dovremo affidarci alla definizione o ricondurci agli sviluppi di Taylor notevoli.

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Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

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Tags: lezione di riepilogo sulle funzioni razionali con la definizione, il grafico e tutte le proprietà delle funzioni razionali, tra cui: il dominio, la monotonia, la convessità, i limiti agli estremi, la derivata e l'integrale delle funzioni razionali.

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