Funzione razionale

Le funzioni razionali sono delle funzioni fratte in cui sia il numeratore che il denominatore sono polinomi. Si possono classificare in funzioni razionali intere e in funzioni razionali fratte in base al grado del polinomio a denominatore.

 

In questa scheda vedremo tutto quello che c'è da sapere sulle funzioni razionali: dominio, grafico e le loro proprietà analitiche più importanti, quali i limiti agli estremi del dominio e le regole per il calcolo della derivata e dell'integrale.

 

Definizione di funzione razionale

 

Partiamo dalla definizione di funzione razionale: una funzione razionale è una funzione che si esprime mediante il rapporto di due polinomi, ossia che si presenta nella forma

 

f(x)=\frac{N(x)}{D(x)}

 

dove:

 

• N(x) è un polinomio di grado n\ge 0

 

N(x)=a_{n}x^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\ ... \ +a_{1}x+a_0

 

• D(x) è un polinomio di grado m\ge 0 e non identicamente nullo.

 

D(x)=b_{m}x^m+b_{m-1}x^{m-1}+a_{m-2}x^{m-2}+\ ... \ +b_{1}x+b_0

 

In altri termini una funzione razionale è definita mediante una frazione algebrica. Possiamo distinguere le funzioni razionali in:

 

- funzioni razionali intere, dette più propriamente funzioni polinomiali, se il grado del polinomio a denominatore è 0;

 

- funzioni razionali fratte se il grado del polinomio a denominatore è maggiore di 0.

 

Grafico delle funzioni razionali

 

 

Funzioni razionali

(In blu y=(x+1)/(x-1), in rosso y=(x^2+1)/(x^2-1), in verde y=x^3/(x^2-4))

 

Funzioni razionali notevoli

 

Esistono tre tipologie di funzioni razionali che rivestono un ruolo importante in Analisi Matematica e per tale motivo acquisiscono una nomenclatura propria. Esse sono: 

 

- le funzioni lineari affini

 

f(x)=ax+b\ \ \ \mbox{ con }a,b\in\mathbb{R}\ \wedge\ a\ne 0

 

- le funzioni polinomiali

 

\\f(x)=a_{n}x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ ... \ + a_{1}x+a_{0} \\  \\ \mbox{ con } \ \ a_0, \ a_1, \ ...\ , \ a_n\in\mathbb{R}\ \wedge\ a_n\ne 0

 

- le funzioni omografiche

 

f(x)=\frac{a x+ b}{c x+ d} \ \ \ \mbox{ con }x\ne -\frac{d}{c}

 

Proprietà della funzioni razionali

 

È giunto il momento di elencare le proprietà delle funzioni razionali

 

f(x)=\frac{N(x)}{D(x)}

 

1) Dominio: Dom(f)=\left\{x\in\mathbb{R}\ |\ D(x)\ne 0\right\}

 

 

2) In generale nulla si può dire a priori su parità e disparità.

 

 

3) In generale nulla si può dire a priori sulla limitatezza.

 

 

4) In generale nulla si può dire a priori sulla monotonia.

 

 

5) In generale nulla si può dire a priori su concavità e convessità.

 

 

6) Continua su tutto il dominio, derivabile su tutto il dominio.

 

 

7) Limiti agli estremi infiniti del dominio:

 

\\ \lim_{x\to +\infty}\frac{a_n x^n+ a_{n-1}x^{n-1}+\ ... \ +a_1 x+a_0}{b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\ ... \ +b_1 x+b_0}=\\ \\ \\ =\lim_{x\to +\infty}\frac{a_{n}}{b_m}x^{n-m}=\begin{cases}\mbox{sgn}\left(\frac{a_n}{b_m}\right)\cdot(+\infty)&\mbox{ se }n>m \\ \frac{a_{n}}{b_{m}}&\mbox{ se }n=m \\ 0&\mbox{ se }n<m\end{cases}

 

\\ \lim_{x\to -\infty}\frac{a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} +\ ... \ +a_1 x+a_0}{b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+ \ ... \ +b_1 x+ b_0}= \\ \\ \\ =\lim_{x\to -\infty}\frac{a_{n}}{b_{m}}x^{n-m}=\begin{cases}\mbox{sgn}\left(\frac{a_{n}}{b_{m}}\right)\cdot(+\infty)&\mbox{ se }n>m\wedge n-m\mbox{ pari}\\ \mbox{sgn}\left(\frac{a_{n}}{b_{m}}\right)\cdot(-\infty)&\mbox{ se }n>m\wedge n-m\mbox{ dispari} \\ \frac{a_n}{b_m}&\mbox{ se }n=m \\ 0&\mbox{ se }n<m\end{cases}

 

Nota: la funzione y=\mbox{sgn}(x) indica la funzione segno.

 

 

8) Derivata di una funzione razionale: in accordo con la regola per la derivata del quoziente

 

\frac{d}{dx}\left[\frac{N(x)}{D(x)}\right]=\frac{N'(x)D(x)-N(x)D'(x)}{[D(x)]^2}

 

 

9) Integrale di una funzione razionale: si determina mediante la tecnica dei fratti semplici.

 

 

10) Sviluppo di Taylor con centro in x_0=0: in generale nulla si può dire a priori sul calcolo dello sviluppo di Taylor associato ad una funzione razionale; dovremo affidarci alla definizione o ricondurci agli sviluppi di Taylor notevoli.

 

 


 

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Tags: lezione di riepilogo sulle funzioni razionali con la definizione, il grafico e tutte le proprietà delle funzioni razionali, tra cui: il dominio, la monotonia, la convessità, i limiti agli estremi, la derivata e l'integrale delle funzioni razionali.