Funzione polinomiale

Una funzione polinomiale, indicata solitamente con pn(x) o con Pn(x), è una funzione definita mediante un polinomio di grado n e indeterminata x, con dominio dato dall'insieme dei numeri reali.

 

In questa lezione tratteremo le funzioni polinomiali da un punto di vista analitico, partendo naturalmente dalla definizione di funzione polinomiale e continuando con l'elenco delle proprietà generali che le caratterizzano.

 

Definizione di funzione polinomiale

 

Si dice funzione polinomiale di grado n una funzione che si presenta nella forma

 

p_n(x)=a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ ...\ +a_2 x^2+ a_1 x+a_0

 

dove a_0, \ a_1, \ ... \ , \ a_n sono numeri reali e il coefficiente direttivo a_n diverso da zero.

 

Il numero naturale n\in\mathbb{N} prende il nome di grado della funzione polinomiale. In altri termini, una funzione è polinomiale nel momento in cui è definita mediante un polinomio.

 

Le funzioni polinomiali sono un caso particolare di funzioni razionali il cui polinomio al denominatore ha grado nullo. Non meravigliamoci dunque se le funzioni polinomiali vengano indicate come funzioni razionali intere.

 

Grafico delle funzioni polinomiali

 

p_n(x)=a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ ...\ +a_2 x^2+ a_1 x+a_0\ \ \mbox{ con }n\in\mathbb{N}

 

Funzioni polinomiali

(In blu y=x2+2x-4, in rosso y=x3+3x2+x+1, in verde y=-x3+x2-x+1)

 

Proprietà delle funzioni polinomiali

 

Vediamo le principali proprietà analitiche delle funzioni polinomiali.

 

 

1) Dominio: Dom(f)=(-\infty,+\infty)

 

 

2) Non è possibile dire a priori se una funzione polinomiale è una funzione pari o dispari.

 

 

3) Una funzione polinomiale di grado 0 coincide con la funzione costante f(x)=a_0 ed è dunque una funzione limitata la cui immagine è Im(f)=\{a_0\}.

 

Una funzione polinomiale di grado n>0 è invece una funzione illimitata. In particolare se il grado della funzione polinomiale è dispari allora essa è illimitata sia superiormente che inferiormente, pertanto l'immagine è

 

Im(p_n)=(-\infty, +\infty)\ \ \ \mbox{ per }n\mbox{ dispari}

 

Nel caso in cui il grado della funzione polinomiale sia pari, allora:

 

- illimitata inferiormente ma non superiormente se a_{n}<0;

 

- illimitata superiormente ma non inferiormente se a_{n}>0.

 

 

4) Segno della funzione: in generale nulla si può dire sul segno di una funzione polinomiale.

 

 

5) Intersezioni con gli assi:

 

\\ x=0\ \to\ y=a_0\\ \\ y=0\ \to\ p_n(x)=0

 

Nota: il calcolo delle intersezioni con l'asse delle ascisse richiede la risoluzione di un'equazione di grado n. Se il grado del polinomio è dispari esiste certamente almeno un punto di intersezione con l'asse x, mentre se il grado del polinomio è pari non possiamo dire nulla senza risolvere l'equazione.

 

 

6) Non è una funzione periodica.

 

 

7) Monotonia: se n è pari e maggiore di 0 allora la funzione polinomiale non è certamente monotona sull'asse reale, se invece n è dispari nulla si può dire a priori.

 

 

8) Concavità e convessità: nulla si può dire sulla concavità e convessità di una funzione polinomiale, se non in casi particolari:

 

- se n=0 allora la funzione polinomiale coincide con la funzione costante f(x)=a_0 e dunque è sia concava che convessa su tutto l'asse reale;

 

- se n=1 allora la funzione polinomiale di primo grado consiste in una funzione lineare

 

p_{1}(x)=a_1 x+ a_0

 

è sia concava che convessa. Il suo grafico coincide con la retta avente coefficiente angolare m=a_1 e ordinata all'origine q=a_0;

 

- se n=2 allora la funzione polinomiale

 

p_{2}(x)=a_2 x^2+ a_1 x+a_0

 

è convessa su \mathbb{R} se e solo se a_2>0 mentre è concava se e solo se a_2<0. Il suo grafico coincide con la parabola di equazione y=a_2x^2+a_1x+a_0;

 

- se n> 2 nulla possiamo dire sulla concavità e convessità senza un'indagine ulteriore.

 

 

9) Continua su tutto \mathbb{R}, derivabile su tutto \mathbb{R}.

 

 

10) Limiti agli estremi del dominio:

 

- se n=0 allora la funzione polinomiale coincide con la funzione costante f(x)=a_0, i cui limiti sono

 

\lim_{x\to -\infty}a_0=a_0 \ \ \ \mbox{ e } \ \ \ \lim_{x\to +\infty}a_0=a_0

 

- se a_n>0\mbox{ e }n>0

 

\\ \lim_{x\to +\infty}[a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ ... \ + a_2 x^2+a_1 x+a_0]=+\infty \\ \\ \lim_{x\to - \infty}[a_n x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ ...\ + a_2 x^2 +a_1x +a_0]=\begin{cases}+\infty&\mbox{ se }n\mbox{ pari}\\ -\infty&\mbox{ se }n\mbox{ dispari}\end{cases}

 

- se a_n<0\mbox{ e }n>0 

 

\\ \lim_{x\to +\infty}[a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ ... \ + a_2 x^2+a_1 x+a_0]= -\infty \\ \\ \lim_{x\to -\infty}[a_n x^n+ a_{n-1}x^{n-1}+\ ... \ + a_2x^2+a_1 x+a_0]=\begin{cases}-\infty&\mbox{ se }n\mbox{ pari}\\ +\infty&\mbox{ se }n\mbox{ dispari}\end{cases}

 

 

11) Derivata di una funzione polinomiale:

 

\\ \frac{d}{dx}[a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ ...\ +a_2 x^2+a_1 x+a_0]=\\ \\ =n a_n x^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\ ... \ + 2a_2 x+a_1

 

 

12) Integrale di una funzione polinomiale:

 

\\ \int{(a_n x^n+ a_{n-1}x^{n-1}+\ ... \ + a_2 x^2+ a_1 x+a_0)dx}= \\ \\ \\ =\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}+\frac{a_{n-1}}{n}x^{n}+\ ... \ + \frac{a_2}{3}x^{3}+\frac{a_1}{2}x^2+ a_0 x+c \ \ \ \mbox{con }c\in\mathbb{R}

 

 

13) Per studenti universitari: sviluppo di Taylor con centro in x_0=0:

 

- se l'ordine dello sviluppo k è maggiore o uguale al grado n della funzione polinomiale allora lo sviluppo di Taylor coincide con la funzione polinomiale, il resto è nullo

 

p_{n}(x)=a_n x^n+ a_{n-1}x^{n-1}+\ ... \ + a_1 x+a_0

 

- se l'ordine dello sviluppo k è minore del grado n della funzione polinomiale allora lo sviluppo di Taylor coincide con la somma tra la funzione polinomiale fino al termine di grado k e il resto

 

p_{n}(x)=a_k x^k+a_{k-1}x^{k-1}+\ ...\ + a_1 x+a_0 +o(x^{k}) \ \ \ \mbox{per }x\to 0

 

 


 

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Tags: lezione di riepilogo con la definizione, il grafico e tutte le proprietà delle funzioni polinomiali , tra cui: il dominio, la monotonia, la convessità, i limiti agli estremi, la derivata e l'integrale della funzione polinomiale.