Coseno iperbolico cosh(x)

Il coseno iperbolico cosh(x) è una funzione iperbolica definita mediante una somma di esponenziali. In modo del tutto analogo al seno iperbolico, viene così chiamata per una proprietà simile all'identità fondamentale della Trigonometria che la lega all'equazione dell'iperbole.

In questa rapidissima lezione vediamo la definizione, il grafico e le principali proprietà del coseno iperbolico come funzione.

f(x) = cosh(x)

La definizione di coseno iperbolico è simile a quella del seno iperbolico, a meno del fatto che dobbiamo considerare la somma dei termini esponenziali e non la differenza:

cosh(x) = (e^x+e^(-x))/(2)

Riguardo al nome, ci sono diverse analogie tra il coseno iperbolico ed il coseno di un angolo, a partire dall'identità delle funzioni iperboliche

cosh^2(x)-sinh^2(x) = 1

le quali vengono per l'appunto dette iperboliche perché la precedente identità corrisponde all'equazione dell'iperbole x^2-y^2 = 1.

Grafico del coseno iperbolico

Coseno iperbolico

Per calcolare il coseno iperbolico in un dato punto bisogna inevitabilmente attenersi alla definizione; per quanto riguarda le analogie con il coseno, invece, si osservi che il coseno iperbolico di zero vale 1:

cosh(0) = 1

Proprietà della funzione coseno iperbolico di x

1) Dominio: Dom(f) = (-∞,+∞).

2) È una funzione pari.

3) Funzione illimitata superiormente con immagine Im(f) = [1,+∞).

4) Funzione monotona strettamente decrescente per x<0, strettamente crescente per x>0.

5) Convessa su tutto il dominio.

6) Continua su tutto R, derivabile su tutto R.

7) Limiti agli estremi del dominio:

lim_(x →±∞)cosh(x) = +∞

8) Limite notevole associato:

lim_(x → 0)(cosh(x)-1)/(x^2) = (1)/(2)

9) Derivata:

(d)/(dx)cosh(x) = sinh(x)

10) Integrale:

∫cosh(x)dx = sinh(x)+c

11) Per studenti universitari: sviluppo di Taylor con centro in x_0 = 0:

cosh(x) = 1+(x^2)/(2)+(x^4)/(24)+(x^6)/(720)+(x^8)/(362880)+o(x^9)

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Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

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Tags: lezione di riepilogo con la definizione, il grafico e tutte le proprietà della funzione coseno iperbolico di x cosh(x), tra cui: il dominio, la monotonia, la convessità, i limiti agli estremi, il limite notevole associato, la derivata e l'integrale del coseno iperbolico.

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