Funzione tangente tan(x) o tg(x)

La funzione tangente è una funzione trigonometrica, periodica ed illimitata. Indicata con tan(x) o anche con tg(x), viene definita mediante la nozione di tangente di un angolo, considerando gli angoli espressi in radianti.

La terza funzione goniometrica di cui ci occupiamo è la funzione tangente di x. Per iniziare proponiamo il grafico di y=tg(x) e le principali proprietà che servono nella risoluzione degli esercizi di Analisi Matematica.

f(x) = tan(x)

Se vi interessa la definizione goniometrica della tangente, trovate una spiegazione dettagliata qui: tangente e cotangente. A tal proposito vi ricordiamo che per definizione

tan(x) = (sin(x))/(cos(x))

Grafico della tangente

Funzione tangente di x

Proprietà della tangente

1) Dominio: Dom(f) = (−∞,+∞) esclusi i punti della forma x = (π)/(2)+kπ al variare di k nell'insieme dei numeri relativi.

2) È una funzione dispari.

3) Funzione illimitata con immagine Im(f) = (−∞,+∞).

4) Segno della funzione:

- positiva per kπ < x < (π)/(2)+kπ

- negativa per (π)/(2)+kπ < x < (k+1)π

con k nell'insieme dei numeri relativi.

5) Intersezioni con gli assi:

x = 0 → y = 0 ; y = 0 → x = kπ

con k nell'insieme dei numeri relativi.

6) Funzione periodica con periodo π.

Le successive proprietà *** vengono espresse sull'intervallo di periodicità (−(π)/(2), (π)/(2)).

7) *** Monotona strettamente crescente

8) *** Convessa sull'intervallo [0,(π)/(2)), concava sulla restante parte dell'intervallo di periodicità.

9) *** Continua tranne che in x = (π)/(2) (discontinuità di seconda specie).

10) *** Derivabile tranne che in x = (π)/(2).

11) *** Limiti agli estremi del dominio:

lim_(x → ((π)/(2))^−)tan(x) = +∞ ; lim_(x → ((π)/(2))^+)tan(x) = −∞

12) Limite notevole associato:

lim_(x → 0)(tan(x))/(x) = 1

13) Derivata della tangente:

(d)/(dx)tan(x) = (1)/(cos^2(x))

14) Integrale della tangente:

∫tan(x)dx = −ln(|cos(x)|)+c

15) Per studenti universitari: sviluppo di Taylor con centro in x_0 = 0:

tan(x) = x+(x^3)/(3)+(2)/(15)x^5+o(x^6) per |x| < (π)/(2)

Approfondimenti: valori e formule della tangente

- valori delle funzioni trigonometriche;

- formule trigonometriche

Se sei in cerca di esercizi svolti e non, o in caso di dubbi, non esitare e usa la barra di ricerca interna: lo staff di YM ha risposto a migliaia di domande e risolto altrettanti esercizi. ;)

Auf wiedersehen, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

Lezione precedente.....Lezione successiva

Tags: lezione di riepilogo sulla tg(x) con la definizione, il grafico e tutte le proprietà della funzione tangente di x tan(x), tra cui: il dominio, la monotonia, la convessità, i limiti agli estremi, il limite notevole associato, la derivata e l'integrale della tangente di x.

Ultima modifica: