Radice di x con indice pari

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Qui ti proponiamo le proprietà e il grafico delle funzioni del genere radice di x con indice pari; per quelle dispari dai un'occhiata alla lezione successiva. ;)

 

La definizione delle funzioni radice di x con indice pari è data mediante un radicale con radicando x ed indice di radice costante

 

f(x) = [n]√(x)

 

che equivalentemente si può esprimere nella forma

 

f(x) = x^((1)/(n))

 

In questa scheda considereremo esclusivamente il caso in cui l'indice di radice n è un numero naturale, nonché un numero pari positivo.

 

Grafico della radice di x ad indice pari

 

y = [n]√(x) con n = 2k, k∈N-0

 

Funzione radice con indice pari

(in blu la radice quadrata y = √(x), in rosso y = [4]√(x) )

 

Proprietà della radice di x con indice pari

 

Per quanto riguarda le principali proprietà analitiche della funzione radice di x con indice pari, valgono le seguenti.

 

 

1) Dominio: Dom(f) = [0,+∞)

 

 

2) Inutile parlare di parità e disparità, sapendo qual è il dominio.

 

 

3) Funzione illimitata superiormente con immagine Im(f) = [0,+∞).

 

 

4) Monotona crescente strettamente su tutto il dominio.

 

 

5) Concava su tutto il dominio.

 

 

6) Continua su tutto [0,+∞), derivabile su (0,+∞).

 

 

7) Limiti agli estremi del dominio:

 

lim_(x → +∞)[n]√(x) = +∞

 

 

8) Derivata della radice:

 

(d)/(dx)x^((1)/(n)) = (1)/(n[n]√(x^(n-1)))

 

 

9) Integrale della radice:

 

∫x^((1)/(n))dx = (n)/(n+1)[n]√(x^(n+1))+c

 

 

10) (Per studenti universitari) sviluppo di Taylor correlato della funzione y = √(1+x) con centro x_0 = 0:

 

√(1+x) = (1+x)^((1)/(2)) = 1+(x)/(2)-(x^2)/(8)+(x^3)/(16)-(5)/(128)x^4+(7)/(256)x^5-(21)/(1024)x^6+o(x^6)

 

 

 

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Allinllachu, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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Tags: lezione di riepilogo con la definizione, il grafico e tutte le proprietà della funzione radice pari di x sqrt(x), x^(1/4), x^(1/6),... tra cui: il dominio, la monotonia, la convessità, i limiti agli estremi, il limite notevole associato, la derivata e l'integrale delle radici pari di x.

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