Funzione suriettiva, iniettiva, biettiva

In questa lezione descriveremo tre importanti proprietà delle funzioni, introducendo le definizioni di funzione iniettiva, suriettiva e biettiva e spiegando il significato di iniettività, suriettività e biettività.

 

Come è giusto che sia, qui di seguito proporremo le definizioni nel caso più generale possibile, dunque considereremo funzioni tra due insiemi qualsiasi

 

f:A\rightarrow B

 

e non solamente funzioni reali di variabile reale. Nelle lezioni successive avremo modo di occuparci di quest'ultime e dei metodi pratici per lo studio di tali proprietà. Ad ogni modo tenete presente che non si può prescindere dallo studio preventivo delle definizioni il quale, soprattutto nel caso delle funzioni iniettive e suriettive, nasconde diverse insidie per i meno esperti. ;)

 
 
 

Funzione suriettiva

 

Facendo riferimento alle rappresentazioni mediante punti e frecce introdotte nella lezione sulla definizione di funzione, una funzione è suriettiva se ogni elemento del secondo insieme è raggiunto da almeno una freccia che parte dal primo insieme, come in figura:

 

 

Definizione di funzione suriettiva

 

 

Volendo esprimere la definizione di funzione suriettiva in termini rigorosi, diremo che una funzione è suriettiva se l'immagine della funzione f coincide con il codominio, che è l'insieme di arrivo della funzione (nel nostro caso B).

 

f\ \acute{\mbox{e}}\mbox{ suriettiva sse }Im(f)=B

 

Più espressamente, la definizione di funzione suriettiva si può formulare come segue: una funzione f è suriettiva se per ogni elemento b del codominio B esiste almeno un elemento a del dominio A tale per cui b è l'immagine di a mediante f, ossia b=f(a).

 

In simboli

 

\forall b\in B\ \ \exists a\in A\ \mbox{ t.c. }f(a)=b

 

il che equivale a dire che l'immagine della funzione coincide con il codominio

 

\mbox{Im}(f)=B

 

Nota bene: attenzione a non confondere la scrittura simbolica della definizione di funzione suriettiva con quella della definizione di funzione!

 

In una delle lezioni successive entreremo nel dettaglio e spiegheremo il metodo per stabilire se una funzione è suriettiva, proponendo nel contempo svariati esempi.

 

Funzione iniettiva

 

Una funzione si dice iniettiva se elementi distinti del dominio (l'insieme su cui la funzione è definita, nel nostro caso A) hanno immagini distinte.

 

In simboli scriveremo

 

\forall a_1, a_2\in A\mbox{, tali che }a_1\neq a_2\ \Rightarrow\ f(a_1)\neq f(a_2)

 

Una formulazione del tutto equivalente è la seguente: una funzione è iniettiva se ogni immagine (intesa come elemento dell'immagine della funzione) non ammette più di una preimmagine. In parole povere, una funzione è iniettiva se comunque si scelgano due elementi che hanno la stessa immagine, allora i due elementi devono necessariamente coincidere

 

\forall a_1, a_2\in A\mbox{, tali che }f(a_1)=f(a_2)\ \Rightarrow\ a_1=a_2

 

Possiamo rappresentare graficamente la definizione di funzione iniettiva con un semplice esempio:

 

 

Definizione di funzione iniettiva

 

 

Nella lezione successiva spiegheremo nel dettaglio il metodo per stabilire se una funzione è iniettiva.

 

Funzione biunivoca (funzione biettiva)

 

L'uno e l'altro non si può? :) Certamente: diremo funzione biunivoca (o funzione biettiva, o ancora che stabilisce una corrispondenza 1 a 1) una qualsiasi funzione che è sia iniettiva che suriettiva.

 

Graficamente avremo una situazione come nella figura sottostante.

 

 

Definizione di funzione biunivoca

 

 

La nozione di funzione biunivoca è particolarmente importante in Analisi Matematica perché equivale ad un'ulteriore proprietà che presenteremo nel seguito: una funzione biettiva è invertibile, infatti è sufficiente invertire il verso delle frecce (come nella figura sottostante) per ottenere ancora una volta una funzione.

 

f^{-1}:B\rightarrow A

 

L'ipotesi di biunivocità garantisce che la funzione che effettua il percorso inverso sia a tutti gli effetti una funzione, infatti soddisfa la regola per cui le frecce non possono sdoppiarsi, e nello specifico viene chiamata funzione inversa di f.

 

 

Definizione di funzione inversa

 

 


 

Con questo è tutto: non dimenticate che qui su YM avete a disposizione tantissimi problemi risolti che potete reperire con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buona Matematica a tutti!

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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