Definizione di grafico di una funzione

In questa lezione introdurremo il concetto di grafico di funzione reale di variabile reale, dunque definita da un sottoinsieme A\subseteq\mathbb{R} a valori in \mathbb{R}, e mostreremo come definire una rappresentazione grafica di una qualsiasi funzione reale di variabile reale.

 

Sappiate sin da subito che in questa pagina non mostreremo come si arriva a tracciare il grafico a partire dalla semplice espressione analitica, perché è un procedimento che richiede molti prerequisiti teorici e pratici. Ne parleremo in una categoria di lezioni a parte (studio di funzione).

 

A fine lezione, dopo aver spiegato in dettaglio la definizione di grafico coadiuvandola con alcuni esempi, daremo tutti i riferimenti per chi vuole passare direttamente al sodo. Un consiglio: leggete e non abbiate fretta. :)

 

Definizione di grafico di una funzione

 

Una funzione di variabile reale a valori reali, in simboli

 

f:A\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ \ \ f:x\to y

 

può essere rappresentata mediante un grafico nel piano cartesiano, vale a dire un diagramma che ci permette di osservare e analizzare in un colpo d'occhio tutte le proprietà che caratterizzano la funzione.

 

Il grafico di una funzione f, generalmente denotato con \mbox{Gr}(f) o con G_f, è definito come l'insieme dei punti del piano cartesiano dato da:

 

\mbox{Gr}(f)=\{(x,y)\in A\times\mathbb{R}\mbox{ tale che }y=f(x)\}

 

dove A\times\mathbb{R} denota il prodotto cartesiano tra il dominio A e il codominio \mathbb{R}

 

In parole povere il grafico di f è il luogo geometrico dei punti del piano per cui ad ogni ascissa x appartenente al dominio della funzione si associa l'ordinata y=f(x), vale a dire il valore y che la funzione f associa alla x considerata.

 

L'unione di tutti i punti (x,y) del piano individuati dalla legge y=f(x) costituisce il grafico della funzione f.

 

Qualche esempio sui grafici di funzioni

 

1) Consideriamo la funzione lineare

 

y=3x+2

 

e consideriamo l'ascissa x=1, cui corrisponde il valore

 

y=f(1)=5

 

Questa coppia ascissa-ordinata individua il punto del piano (1,5). Valutando la funzione in ogni ascissa del suo dominio (nel caso considerato, tutti i numeri reali) otteniamo il grafico di f: una retta.

 

 

Grafico di una funzione lineare

 

 

2) Consideriamo la funzione razionale

 

y=\frac{x^2}{x+2}

 

che ha grafico

 

 

Esempio di grafico di una funzione

 

 

Il punto (2,1) appartiene a tale grafico. Per verificarlo valutiamo la funzione in x=2: si ottiene

 

y=f(2)=\frac{4}{4}=1

 

cioè il punto di coordinate cartesiane (x,y)=(2,1).

 

 

Naturalmente per disegnare il grafico di una generica funzione non è necessario effettuare un numero infinito di valutazioni. ;)

 

Uno degli scopi dell'Analisi Matematica è quello di fornire gli strumenti e un modus operandi, detto studio di funzione, che permetta di tracciare il grafico qualitativo di un'assegnata funzione (tipico argomento di quinta superiore e degli esami di Matematica di base delle varie facoltà universitarie). Sappiate tra l'altro che su YM c'è un tool per disegnare il grafico di funzione online!

 

Per la vostra sopravvivenza: per alcune funzioni notevoli, le cosiddette funzioni elementari, inizialmente ne vengono mostrati i grafici e vengono dati per buoni, per cui è cosa buona e giusta tenerli a mente. Tranquilli, niente di fantascientifico, perché ricorrono talmente tante volte che ricordarne il grafico diventa un automatismo!

 

Ci sono poi altre proprietà che possono tornare utili all'occorrenza e che non mancheremo di ricordare al momento opportuno. Ad esempio, nel caso delle rette, è sufficiente tenere a mente il I postulato di Euclide (per due punti del piano passa una e una sola retta), e dunque basta effettuare due valutazioni di f in due ascisse x arbitrarie.

 

 


 

Una curiosità finale: vi ricordate cosa abbiamo scritto nella lezione sulla definizione di funzione? Tra le altre cose abbiamo spiegato che nel caso delle funzioni reali di variabile reale gli elementi del dominio prendono il nome di punti. Abbiamo anche specificato che tale nomenclatura costituisce un abuso di linguaggio, e ora dovrebbe esserne chiaro il motivo: gli elementi dell'insieme di definizione sono le ascisse dei punti del grafico, o più brevemente punti.

 

Se non avete capito qualcosa, se avete dubbi o ancora se siete in cerca di esercizi e approfondimenti, ricordate che YouMath è pieno di esempi, esercizi e problemi risolti. Potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Au Revoir, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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