Funzione limitata e illimitata

Una funzione limitata è una funzione che assume valori limitati tra due numeri reali; una funzione illimitata è una funzione per cui non è possibile determinare due numeri reali che ne limitino le immagini.

 

In questa lezione presenteremo un'ulteriore proprietà che caratterizza le funzioni reali di variabile reale: ci riferiamo alla limitatezza delle funzioni. Partendo da alcuni semplici esempi grafici proporremo le definizioni formali, che successivamente rileggeremo per mezzo di ulteriori esempi.

 

Prima di cominciare lo studio delle funzioni limitate/illimitate premettiamo che è importante avere dimestichezza con la teoria degli insiemi reali.

 

Idea intuitiva di funzione limitata e illimitata

 

Per introdurre il concetto di funzione limitata e di funzione illimitata partiamo da un approccio intuitivo e facciamo riferimento ad alcuni esempi grafici. Consideriamo una funzione

 

f:Dom(f)\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R}

 

dove Dom(f) denota il dominio della funzione, mentre l'insieme d'arrivo corrisponde al suo codominio.

 

Proponiamo tre esempi, ciascuno per un caso specifico:

 

- funzione limitata superiormente;

 

- funzione limitata inferiormente;

 

- funzione limitata.

 

Esempio di funzione limitata superiormente


Funzione limitata superiormente

 

Il nome dice già tutto: in termini grafici una funzione è limitata superiormente se esiste almeno una retta parallela all'asse x, dunque di equazione y=k, tale che il grafico della funzione stia interamente al di sotto di essa.


Esempio funzione superiormente limitata



II) Funzione limitata inferiormente


Funzione limitata inferiormente

 

Come si intuisce dal grafico possiamo tracciare una retta parallela all'asse x tale che il grafico stia tutto al di sopra di essa.


Esempio di funzione inferiormente limitata

 

 

III) Funzione limitata

 

Funzione limitata

 

Una funzione limitata è una funzione limitata sia superiormente che inferiormente. In questo caso possiamo disegnare due rette parallele all'asse x tali da delimitare il grafico della funzione


Esempio di funzione superiormente e inferiormente limitata

 

Definizioni di funzione limitata o illimitata

 

Occupiamoci delle definizioni rigorose e passiamo in rassegna tutti i possibili casi relativi alla limitatezza e alla illimitatezza delle funzioni. Anticipiamo sin da subito che per comprenderle fino in fondo è necessario sapere che cos'è l'immagine di una funzione e ricordare le definizioni di estremo superiore e inferiore.

 

 

Definizione (funzione limitata superiormente - funzione illimitata superiormente)

 

Una funzione f:Dom(f)\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R} si dice limitata superiormente (o superiormente limitata sul proprio dominio) se vale almeno una tra le seguenti condizioni, del tutto equivalenti tra loro:

 

- se esiste un numero reale M\in \mathbb{R} tale che

 

f(x)\leq M\ \ \ \forall x\in Dom(f)

 

- se l'immagine di f è un insieme limitato superiormente;

 

- se l'immagine di f ammette estremo superiore finito

 

\sup(Im(f))<+\infty

 

Al contrario diremo che f è illimitata superiormente (o illimitata superiormente sul proprio dominio) se vale una tra le seguenti condizioni equivalenti:

 

- se \forall M\in\mathbb{R} esiste almeno un x\in Dom(f) tale che

 

f(x)>M

 

- se l'immagine di f è un insieme illimitato superiormente;

 

- se l'immagine di f ammette estremo superiore infinito

 

\sup(Im(f))=+\infty

 

 

Definizione (funzione limitata inferiormente - funzione illimitata inferiormente)

 

Una funzione f:Dom(f)\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R} si dice limitata inferiormente (o inferiormente limitata sul proprio dominio) se vale almeno una tra le seguenti condizioni, del tutto equivalenti tra loro:

 

- se esiste un numero reale m\in \mathbb{R} tale che

 

f(x)\geq m\ \ \ \forall x\in Dom(f)

 

- se l'immagine di f è un insieme limitato inferiormente;

 

- se l'immagine di f ammette estremo inferiore finito

 

\inf(Im(f))>-\infty

 

Al contrario diremo che f è illimitata inferiormente (o illimitata inferiormente sul proprio dominio) se vale una tra le seguenti condizioni equivalenti:

 

- se \forall m\in\mathbb{R} esiste almeno un x\in Dom(f) tale che

 

f(x)<m

 

- se l'immagine di f è un insieme illimitato inferiormente;

 

- se l'immagine di f ammette estremo inferiore -infinito

 

\inf(Im(f))=-\infty

 

 

Definizione (funzione limitata - funzione illimitata)

 

Una funzione f:Dom(f)\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R} si dice limitata (o limitata sul proprio dominio) se è limitata inferiormente e superiormente.

 

Al contrario diremo che f è illimitata (o illimitata sul proprio dominio) se è illimitata inferiormente e superiormente.

 

Funzione limitata e funzione illimitata su un intervallo

 

Ok: abbiamo scritto una lunga trafila di definizioni, e se non vi siete fatti spaventare dalle condizioni equivalenti avrete notato che non c'è nulla di particolarmente complicato. Fino a qui abbiamo parlato di limitatezza e illimitatezza delle funzioni senza alcuna ulteriore specificazione, ed intendendo con ciò che le proprietà hanno natura globale (sul dominio della funzione).

 

Nulla vieta di enunciare definizioni meno stringenti e di analizzare la limitatezza e l'illimitatezza di una funzione su un intervallo. Evitiamo di propinarvi un ulteriore elenco di definizioni: molto meglio capire come specificare le precedenti restringendo le proprietà ad un intervallo I\subseteq Dom(f) contenuto nel dominio.

 

A titolo di esempio, possiamo dire che una funzione f:Dom(f)\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R} è limitata superiormente sull'intervallo I\subseteq Dom(f) se vale almeno una tra le seguenti condizioni, del tutto equivalenti tra loro:

 

- se esiste un numero reale M\in \mathbb{R} tale che

 

f(x)\leq M\ \ \ \forall x\in I

 

- se l'immagine dell'intervallo I mediante f è un insieme limitato superiormente;

 

- se l'immagine dell'intervallo I mediante f ammette estremo superiore finito

 

sup(Im_f(I))<+\infty

 

Le definizioni possono essere contestualizzate facilmente, non trovate? :)

 

Esempi di funzioni limitate e illimitate

 

Cerchiamo di digerire le precedenti definizioni mediante alcuni esempi. Come noterete tra un istante tutto ruota attorno all'immagine della funzione: le definizioni di limitatezza e illimitatezza traspongono infatti il concetto di limitatezza/illimitatezza di un insieme e lo estendono alle funzioni facendo riferimento all'insieme immagine.

 

In altre parole la limitatezza/illimitatezza di una funzione non è altro che una particolarizzazione della nozione di limitatezza/illimitatezza di un insieme. :)

 

 

1) Consideriamo la funzione seno

 

f(x)=\sin(x)

 

Quali sono dominio e immagine di tale funzione?

 

Dom(f)=\mathbb{R}\ \ \ ;\ \ \ Im(f)=[-1,1]

 

Le immagini della funzione sono comprese nell'intervallo [-1,1], quindi l'insieme delle immagini è limitato sia superiormente che inferiormente, dunque f(x)=\sin(x) è limitata.

 

 

Seno come funzione limitata

 

 

Graficamente si vede bene come sia possibile racchiudere il grafico nella porzione di piano compresa tra le rette y=-1\mbox{ e }y=1, o se preferite tra le rette y=-5000\mbox{ e }y=120.

 

Per avere una funzione limitata non importa quali siano i valori di ordinate che ne limitano le immagini: basta che esistano!

 

 

2) Consideriamo la funzione logaritmica

 

f(x)=\ln(x)

 

Come nell'esempio precedente ci chiediamo quale sottoinsieme dei numeri reali contenga le immagini della funzione logaritmo. Sappiamo che per definizione il logaritmo ha dominio e immagine dati da

 

Dom(f)=(0,+\infty)\ \ \ ;\ \ \ Im(f)=(-\infty,+\infty)

 

Poiché l'immagine della funzione è un insieme illimitato sia superiormente che inferiormente, si capisce subito che essa è una funzione illimitata.

 

 

Logaritmo come funzione illimitata

 

 

Non fatevi trarre in inganno dalla lenta crescita della funzione per ascisse crescenti: la proiezione ortogonale del grafico della funzione sull'asse y lo copre interamente, per cui la funzione non è limitata né superiormente, né inferiormente.



3) Consideriamo ora la funzione esponenziale

 

f(x)=e^x

 

e limitiamone il dominio a (-\infty, 0)

 

f:(-\infty,0)\to\mathbb{R}

 

Con questa restrizione otteniamo una funzione limitata sia superiormente che inferiormente, infatti

 

Dom(f)=(-\infty,0)\ \ \ ;\ \ \ Im(f)=(0,1)

 

Partendo dal grafico dell'esponenziale e applicando la restrizione del dominio si vede che l'estremo inferiore delle immagini continua ad essere y=0, mentre l'estremo superiore diventa y=1 (attenzione perché l'estremo x=0 è escluso dal dominio).

 

 

Funzione limitata inferiormente e superiormente

 

 

Osservazione (limitatezza ed esistenza di un massimo / minimo per l'immagine)

 

Nella lezione su estremo superiore e inferiore abbiamo definito i concetti di massimo e minimo di un insieme, e rileggendo le precedenti definizioni di funzione limitata vi accorgerete subito che non ne abbiamo fatto alcuna menzione.

 

Affermare che una funzione è limitata superiormente se la sua immagine ammette un massimo, come pure dire che una funzione è limitata inferiormente se la sua immagine ammette un minimo, è certamente corretto ma non può essere presentata come definizione.

 

L'ultimo esempio mette in luce che una funzione può essere limitata inferiormente e/o superiormente senza che l'immagine ammetta un minimo e/o un massimo.

 

Da un lato una funzione con immagine che ammette minimo e/o massimo è certamente limitata inferiormente e/o superiormente; di contro ciò non è necessario, tant'è che esistono funzioni la cui immagine non ammette minimo e/o massimo ma che sono limitate inferiormente e/o superiormente.

 

In sintesi:

 

- sono l'estremo inferiore e l'estremo superiore che sanciscono nel modo più generale possibile la limitatezza e l'illimitatezza di una funzione;

 

- l'esistenza di un minimo e/o di un massimo è una condizione sufficiente ma non necessaria per la limitatezza inferiore e/o superiore di una funzione.

 

Come stabilire se una funzione è limitata o illimitata

 

Arriviamo al nocciolo della pratica, ma sappiate che siamo costretti a deludervi. :( Per stabilire se una funzione è limitata o illimitata possiamo disporre di uno tra i seguenti dati: grafico della funzione oppure la sua espressione analitica.

 

Nel primo caso è facile: in accordo con le definizioni basta stabilire se esistono due rette parallele all'asse x e tali da limitare il grafico inferiormente e superiormente.

 

Disponendo dell'espressione analitica della funzione potremmo pensare di armarci di buona volontà e verificare la definizione a mano, il che in generale si tradurrebbe in disequazioni piuttosto complicate.

 

Purtroppo (o per fortuna) l'unico vero metodo per studiare la limitatezza di una funzione presuppone di conoscere la teoria delle derivate e di saper studiare la monotonia di una funzione. Prima di arrivarci ci vorrà un bel po' di lavoro... Ma non abbattetevi: tempo al tempo! ;)

 

Operazioni tra funzioni limitate

 

Per concludere riportiamo le principali proprietà che riguardano le operazioni tra funzioni limitate.

 

Consideriamo due funzioni f(x)\mbox{ e }g(x) definite su un insieme A. Se entrambe sono funzioni limitate su A valgono le seguenti affermazioni.

 

1) La funzione somma y=f(x)+g(x) è una funzione limitata su A.

 

2) La funzione prodotto per una costante c\in\mathbb{R} definita da y=c\cdot f(x) è una funzione limitata su A.

 

Questa proposizione continua a valere anche e soprattutto nel caso in cui c=0 per il quale otteniamo la funzione identicamente nulla.

 

Per c=-1 otteniamo un ulteriore caso notevole: la funzione opposta y=-f(x) è una funzione limitata su A.

 

3) La funzione prodotto y=f(x)\cdot g(x) è una funzione limitata su A.

 

4) La funzione rapporto y=\frac{f(x)}{g(x)} è una funzione limitata su A a patto che g(x) non sia mai nulla in A.

 

Se il denominatore si annulla per almeno un elemento x\in A non possiamo dedurre alcuna informazione senza un'indagine ulteriore.

 

Nota: la funzione reciproca è un caso particolare che rientra nella proprietà relativa al rapporto di funzioni.

 

5) Oltre alle proprietà elencate, esiste un'ulteriore proprietà che riguarda la composizione di funzioni. Supponiamo che sussistano le condizioni per comporre le funzioni f(x)\mbox{ e }g(x) così che si possa definire la funzione composta y=g(f(x)).

 

Se le funzioni f(x)\mbox{ e }g(x) sono limitate nei rispettivi domini allora la funzione composta

 

y=g(f(x))

 

è una funzione limitata sull'insieme di definizione. Ancor più in generale, è sufficiente che sia limitata la funzione esterna affinché valga la limitatezza della funzione composta.

 

 


 

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Namasté, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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