Condizione necessaria, sufficiente, necessaria e sufficiente

Un'angosciante questione che si pongono gli studenti che si devono rapportare, loro malgrado, con la Matematica consiste nel capire qual è differenza tra condizione necessaria, condizione sufficiente, e condizione necessaria e sufficiente. Queste nozioni sono qualcosa di più che strumenti base nello studio della Matematica e sono concetti che si usano nella vita di tutti i giorni.

 

Capirle veramente non vi semplificherà solamente lo studio, ma vi permetterà di ragionare con maggiore consapevolezza. A ben vedere niente di complicato: vi suggeriamo di concentrarvi sui concetti e di non cadere nella tentazione di imparare a memoria le definizioni.

 

C'è un'enorme differenza tra imparare a memoria e capire: una nozione imparata e ripetuta a pappagallo è sterile e non dura; i concetti acquisiti sono vere e proprie capacità che durano per tutta la vita. ;)

 
 
 

Che vuol dire condizione necessaria, sufficiente, necessaria e sufficiente?

 

Cosa sono una condizione necessaria (CN), una condizione sufficiente (CS), e una condizione necessaria e sufficiente (CNS)? Sono uno dei mezzi che reggono la struttura della logica dimostrativa. Ok, e poi? Cerchiamo di spiegarlo innanzitutto in termini rigorosi.

 

- Condizione necessaria (CN): presupposto (ipotesi) per il quale una affermazione o proprietà (tesi) potrebbe sussistere, ma senza il quale l'affermazione non può valere.

 

- Condizione sufficiente (CS): presupposto (ipotesi) per il quale una affermazione (tesi) sussiste, ma senza il quale l'affermazione (tesi) potrebbe comunque sussistere.

 

- Condizione necessaria e sufficiente (CNS): equivalenza. Il presupposto (ipotesi) e l'affermazione/proprietà (tesi) coincidono dal punto di vista logico.

 

In termini spiccioli:

 

- Condizione necessaria (CN): se c'è il presupposto (ipotesi), la proprietà (tesi) può valere. Se non c'è, la proprietà non può valere.

 

- Condizione sufficiente (CS): se c'è il presupposto (ipotesi) la proprietà (tesi) vale di sicuro. Se non c'è, la proprietà potrebbe comunque valere.

 

- Condizione necessaria e sufficiente (CNS): il presupposto (ipotesi) è la stessa identica cosa rispetto alla proprietà (tesi). Uno implica l'altra, e viceversa.

 

Ovviamente lo studente sagace avrà già intuito che una condizione necessaria e sufficiente è quanto di più forte possa esistere per formulare un asserto - modo carino di dire affermazione logica. Di contro, dimostrare che un'ipotesi è condizione necessaria e sufficiente nei confronti di una tesi è molto più difficile rispetto agli altri tipi di dimostrazioni: nel caso di una CNS dobbiamo dimostrare l'implicazione diretta e poi l'implicazione inversa per avere l'equivalenza logica.

 

Vale la pena di studiare e comprendere tali nozioni? Assolutamente sì. Nei nostri ragionamenti facciamo sempre ricorso alle nozioni di condizione necessaria, sufficiente, e necessaria e sufficiente.

 

 

Vediamolo con un esempio. Facciamo finta che preparare un risotto sia un procedimento dimostrativo. Il risotto è la nostra tesi. Sappiamo che per fare un risotto ci vogliono fuoco, pentola, acqua, sale, riso e lavoro manuale (nota: non stiamo parlando di un risotto alla Masterchef ;) ).

 

Nella similitudine che stiamo considerando uno qualsiasi dei sei ingredienti è una condizione necessaria per avere il risotto. Se ad esempio abbiamo l'acqua, possiamo avere il risotto (intendendo il "posso" come "c'è speranza"). Se non abbiamo l'acqua, non possiamo avere il risotto ed è certo che non avremo il risotto.

 

Ora immaginiamo che ci sia una cuoca che ha tutti gli ingredienti, sa fare il risotto ed è disposta a prepararlo:

 

- cuoca + ingredienti + capacità + disponibilità significano per noi risotto pronto. È una certezza. Il pacchetto completo è una condizione sufficiente per avere il risotto pronto.

 

- D'altra parte potremmo non avere il pacchetto completo, ma noi stessi potremmo avere gli ingredienti e la voglia di preparare il risotto. Non avere il pacchetto cuoca + ingredienti + capacità + disponibilità non significa che resteremo a digiuno. Non avere il pacchetto completo non significa non poter avere il risotto. Una condizione sufficiente è un modo certo per avere la tesi desiderata, ma non è l'unico.

 

 

Altro esempio molto rapido. Essere un ladro è condizione sufficiente per essere un fuorilegge, infatti se siamo ladri, allora ciò basta per dire che siamo fuorilegge. Se non siamo ladri potremmo però essere assassini e dunque fuorilegge. Di conseguenza se manca la condizione "essere un ladro" potrebbe comunque valere la proprietà "essere un fuorilegge".

 

È sufficiente essere ladri per essere fuorilegge? Sì.

 

 

E come condizione necessaria e sufficiente? Per avere una condizione CNS il modo più semplice è quello di negare una affermazione in una logica duale. Una logica duale è un sistema di ragionamento in cui vale il principio del terzo escluso (tertium non datur), e - cara grazia! - questo sistema non basta per descrivere il mondo. Ma facciamo finta che esistano solamente due colori: bianco e nero. Allora un esempio di condizione necessaria e sufficiente sarebbe: "bianco equivale a non nero". Se è bianco è non nero, se è non nero allora è bianco. Equivalenza logica.

 

 

Esempi in Matematica

 

Torniamo nel mondo della matematica e vediamo alcuni esempi notevoli di condizioni necessarie e sufficienti. Non preoccupatevi se non avete ancora studiato i concetti che menzioneremo, per il momento l'importante è focalizzarsi sull'aspetto logico della faccenda.

 

Condizione necessaria: "La continuità in un punto è condizione necessaria per la derivabilità."

 

Se una funzione è continua in un punto, potrebbe essere ivi derivabile. Se essa non è continua in un punto possiamo dire addio al calcolo della derivata in quel punto.

 

Condizione sufficiente: "Condizione sufficiente affinchè luogo di punti sia un triangolo è che sia un triangolo equilatero".

 

Si commenta da sola: un triangolo equilatero è certamente un triangolo. Considerare un triangolo equilatero è sufficiente, ma non necessario, per avere a che fare con un triangolo.

 

Condizione necessaria e sufficiente: uno dei numerosi esempi che si trovano in Matematica, ad esempio nell'Analisi Superiore, è dato dal seguente teorema: uno spazio di Hilbert infinito dimensionale è separabile se e solo se (condizione necessaria e sufficiente) ammette un sistema ortonormale completo che sia al più numerabile.

 

 

Come si riassume in Matematica quel che abbiamo detto?

 

I concetti appena espressi sono così importanti in Matematica al punto di avere dei simboli specifici, introdotti appositamente nel contesto della Logica matematica (per approfondire: simboli matematici).

 

I simboli di nostro interesse riguardano le implicazioni e le principali relazioni tra proposizioni logiche. Siano A,B due proposizioni.

 

 

Simbolo

Significato

A\Rightarrow B

A implica B

A\Leftarrow B

A è implicato da B

(ossia B implica A

A\Leftrightarrow B

A implica B e B implica A

A\mbox{ sse }B

A implica B e B implica A

A\mbox{ iff }B

A implica B e B implica A

\wedge

"e" (et, congiunzione, connettivo logico)

\vee

"o" (vel, disgiunzione inclusiva, connettivo logico)

 

 

Volendo usare alcuni dei simboli appena introdotti, dovremmo scrivere:

 

• A è condizione necessaria per B se vale B\Rightarrow A ma non necessariamente vale A\Rightarrow B.

 

A è condizione sufficiente per B se vale A\Rightarrow B ma non necessariamente vale B\Rightarrow A.

 

A è condizione necessaria e sufficiente per B se valgono contemporaneamente A\Rightarrow B e B\Rightarrow A. In un colpo solo: A\Leftrightarrow B.

 

In gergo matematico una condizione necessaria e sufficiente viene spesso e volentieri espressa mediante la locuzione se e solo se (talvolta se e soltanto se, abbreviato sse), che in inglese si traduce come if and only if (abbreviato iff).

 

Se volete divertirvi provate a

 

- tradurre a parole la seguente tautologia (proposizione che definisce un concetto mediante se stesso) ;)

 

(A\Rightarrow B\ \ \ \wedge\ \ \ B\Rightarrow A)\ \ \ \mbox{sse}\ \ \ (A\Leftrightarrow B)

 

- ragionare sul fatto che se A è condizione necessaria per B, allora B è condizione sufficiente per A.

 

 


 

Se volete approfondire, in maniera del tutto facoltativa, vi rimandiamo ad alcune che sarebbe opportuno consultare prima di addentrarsi nello studio della Matematica. Riguardano il significato di alcuni termini molto ricorrenti ma di cui raramente viene spiegato il significato: assioma, postulato, principio, congettura, teorema, lemma, corollario, proposizione, enunciato, dimostrazione, ipotesi e tesi.

 

Che si abbia a che fare con ragionamenti quotidiani o con importanti risultati teorici della Matematica, si usano sempre e comunque le condizioni necessaria, sufficiente e necessaria e sufficiente. Fermarsi di tanto in tanto ad inquadrare i nostri ragionamenti in quest'ottica è un utile esercizio che ci aiuterà sicuramente a rafforzare le nostre capacità logiche. ;)

 

 

अलविदा, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

Lezione successiva

 

Tags: logica Matematica di base: che cosa sono le condizioni necessarie, sufficienti e le condizioni necessarie e sufficienti?