Grafico immediato di funzioni semplici

Per disegnare il grafico di una funzione, in genere, è richiesto un procedimento specifico piuttosto lungo, che attraverso una serie di considerazioni analitiche permette di tracciare il grafico qualitativo: il cosiddetto studio di funzione. Se però la funzione con cui abbiamo a che fare non è troppo complicata, ed è definita mediante funzioni elementari e operazioni algebriche, possiamo disegnarla facilmente con semplici considerazioni. In questa lezione, divisa in due parti, ci proponiamo di mostrare come applicare il metodo del grafico immediato.

 

Per cominciare spiegheremo come ricavare i grafici immediati di funzioni con espressioni analitiche contenenti logaritmi, funzioni esponenziali, cubiche e moduli. Nella seconda parte invece ci occuperemo delle funzioni costituite da funzioni trigonometriche e dalle principali operazioni algebriche.

 

In questo articolo daremo per scontato che voi sappiate già tracciare i grafici delle funzioni elementari e che ricordiate le nozioni salienti di Geometria Analitica. Vi raccomandiamo inoltre la lettura preventiva della lezione sulle regole del grafico intuitivo.

 
 
 

Metodo per disegnare il grafico intuitivo di funzioni semplici

 

Vogliamo capire come disegnare il grafico di funzioni che sono il risultato di operazioni tra funzioni elementari.

 

Per svolgere questo genere di esercizi bisogna procedere per passi. In sostanza la difficoltà sta nel riuscire a spezzare l'espressione analitica della funzione in parti così semplici da riuscire a disegnarle senza calcoli. Abbiamo deciso di utilizzare degli esempi piuttosto standard, vale a dire quelli che ricorrono con maggiore frequenza nelle verifiche scolastiche e negli esami universitari; in questo modo dovreste riuscire a sviluppare in fretta tutta la tecnica necessaria per svolgere gli esercizi senza difficoltà.

 

Grafico immediato di funzioni con logaritmi

 

Partiamo con un esempio:

 

f(x)=\ln(|x+3|)-5

 

Come possiamo scomporre questa funzione?

 

1) Sappiamo disegnare il grafico del logaritmo, quindi il primo passo prevede di partire da

 

y=\ln(x)

 

Grafico del logaritmo

 

2) Ora pensiamo a come disegnare il logaritmo del modulo di x. Non è difficile: se il modulo è applicato all'argomento del logaritmo, otteniamo semplicemente una simmetrizzazione della funzione rispetto all'asse y.

 

y=\ln(|x|)

 

3) Notiamo che l'argomento del logaritmo non è solo |x|, ma |x+3|. Quando si somma una costante positiva alla variabile indipendente dobbiamo spostare l'intero grafico a sinistra di un valore pari a quello della costante, in questo caso 3:

 

y=\ln(|x+3|)

 

4) Per complicare le cose abbiamo anche sottratto 5 al tutto. Se da un lato sommare una costante alla variabile indipendente equivale a una traslazione a sinistra (quando la costante è positiva) o a destra (se è negativa), dall'altro sommare una costante all'immagine implica una traslazione verso il basso (se la costante è negativa) o verso l'alto (se la costante è positiva).

 

y=\ln(|x+3|)-5

 

Nel seguente grafico riassumiamo tutti i passaggi che abbiamo effettuato per ottenere la rappresentazione della funzione

 

f(x)=\ln(|x+3|)-5

 

Grafico del logaritmo naturale del modulo x+3, meno 5

In rosso y=log(|x|), in verde y=log(|x+3|), in grigio y=log(|x+3|)-5.

 

Grafico intuitivo di funzioni con termini esponenziali

 

In questo caso consideriamo come esempio

 

f(x)=e^{x+5}-2

 

1) Per prima cosa disegniamo il grafico della funzione esponenziale. Anche in questo caso dovremo capire cosa succede quando sommiamo delle costanti nell'argomento della funzione e quando invece le sommiamo all'espressione analitica della funzione.

 

y=e^{x}

 

Grafico della funzione esponenziale

 

 

2) Sommiamo +5 all'esponente ottenendo una traslazione verso sinistra, in modo all'esempio precedente:

 

y=e^{x+5}

 

3) Sommiamo -2 all'intera funzione ottenendo una traslazione verso il basso:

 

y=e^{x+5}-2

 

Nel grafico seguente riassumiamo tutti i passaggi svolti:

 

f(x)=e^{x+5}-2

 

Tutti i passaggi in un solo grafico, e^(x+5)-2

In blu y=ex, in rosso y=ex+5, in verde y=ex+5-2.

 

Grafico intuitivo di funzioni con termini al cubo

 

Prendiamo come riferimento la funzione

 

f(x)=|(x-2)^3-1|

 

1) Disegniamo il cubo di x, vale a dire il grafico della funzione cubica (potenza di x con esponente dispari)

 

y=x^3

 

Grafico della funzione cubica

 

2) Sommiamo -2 alla base della potenza, ottenendo una traslazione verso destra del grafico:

 

y=(x-2)^3

 

3) Sommiamo -1 a tutta la funzione, ottenendo una traslazione verso il basso:

 

y=(x-2)^3-1

 

4) Consideriamone il modulo ribaltando la parte negativa del grafico rispetto all'asse x:

 

y=|(x-2)^3-1|

 

Infine riportiamo tutti i passaggi:

 

f(x)=|(x-2)^3-1|

 

Tutti i passggi del metodo del grafico intuitivo

In blu y=x3, in rosso y=(x-2)3, in verde y=(x-2)3-1, in grigio y=|(x-2)3-1|.

 

Grafico intuitivo di funzioni con somme di moduli

 

Per concludere la prima parte della lezione consideriamo una funzione data dalla somma di due moduli:

 

f(x)=|x|+|x+5|

 

1) Disegniamo la bisettrice del primo e terzo quadrante, che corrisponde alla funzione identità

 

y=x

 

bisettrice del primo e del terzo quadrante

 

 

2) Disegniamo il grafico del modulo di x

 

y=|x|

 

3) Sommando +5 all'argomento del valore assoluto otteniamo una traslazione orizzontale verso sinistra di 5 unità.

 

y=|x+5|

 

4) Consideriamo i grafici delle due funzioni y=|x| e y=|x+5| ed individuiamone graficamente la somma.

 

f(x)=|x|+|x+5|

 

Riassunto dei passaggi del metodo del grafico intuitivo

In blu y=x, in rosso y=|x|, in verde y=|x+5|, in grigio y=|x|+|x+5|.

 

 


 

Ehi, pronti per leggere la seconda parte della lezione? Nel frattempo se volete assimilare i concetti che abbiamo visto potete giocare un po' con il tool per disegnare i grafici online... ;)

 

 

Namasté, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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Tags: metodo del grafico immediato per rappresentare funzioni semplici nel piano cartesiano senza svolgere lo studio completo, ossia il metodo del grafico intuitivo.