Funzione composta

La funzione composta è una funzione che si ottiene mediante l'operazione di composizione di due funzioni. In sintesi la funzione composta si definisce applicando la seconda funzione alle immagini della prima.

 

Tra le varie operazioni tra funzioni abbiamo introdotto la composizione di funzioni: lo scopo di questa lezione prevede di definire la nozione di funzione composta e di spiegare come si calcola la composizione di due o più funzioni reali.

 

Com'è definita la funzione composta

 

Consideriamo due funzioni

 

\\ f:Dom(f)\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ \ f:x\to y,\ \ y=f(x)\\ \\ g:Dom(g)\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ \ g:y\to z,\ \ z=g(y)

 

Non preoccupatevi se abbiamo indicato la seconda funzione come z=g(y). Inizialmente preferiamo indicare la variabile indipendente e l'espressione analitica della seconda funzione con nomi diversi, onde evitare spiacevoli confusioni.

 

Nella fattispecie chiamiamo y il valore che la funzione f associa ad un generico valore x e z il valore che la funzione g associa ad un generico valore y.

 

Avete notato che abbiamo indicato con y l'immagine di x mediante f e ancora con y la variabile indipendente della funzione g? Questa scelta non è casuale e tra un attimo ne sarà chiaro il motivo.

 

Chiamiamo U=Dom(f) il dominio di f e V=Dom(g) il dominio di g:

 

\\ f:U\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ f:x\to y\\ \\ g:V\subseteq \mathbb{R}\to\mathbb{R},\ g:y\to z

 

Ora date un'occhiata alla seguente immagine

 

 

Composizione di funzioni

 

 

che indicano in modo generale come si comportano le funzioni f\mbox{ e }g, dove sono definite (da dove partono) e quali sono le loro immagini (dove arrivano). Noi vogliamo definire la funzione composta

 

\\ z=h(x)=g(f(x))

 

che si indica anche con la notazione

 

h(x)=g\circ f (x)

 

e che si legge: g composto f,o anche g applicata a f, o ancora g dopo f.

 

Per cominciare vediamo cosa ci suggerisce la scrittura con la quale indichiamo la funzione composta. La funzione composta h è una funzione con variabile indipendente x, e "parte" dallo stesso "livello" in cui è definita la funzione f. Attenzione: abbiamo usato il termine creativo "livello", che non vuol dire dominio.

 

Per definire la funzione composta z=h(x) specifichiamo come si deve comportare:

 

- ad una generica x\in U associa un valore y mediante l'azione di f;

 

- al valore y=f(x) viene applicata l'azione di g, e quindi il valore y appena individuato viene mandato in un valore z mediante l'azione della funzione g.

 

Cerchiamo di visualizzare il comportamento (la definizione) della funzione composta h:=g\circ f mediante uno schema grafico:

 

 

Funzione composta

 

 

Repetita iuvant: dato un valore x, la funzione h=g\circ f manda prima x in y mediante f e successivamente associa a tale y un valore z mediante g.

 

Questo è per definizione il comportamento della funzione composta h=g\circ f, ma come possiamo scrivere la definizione in modo formale e rigoroso?

 

Definizione di funzione composta

 

Date due funzioni

 

\\ f:U\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R}\\ \\ g:V\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R}

 

dove U=Dom(f),\ V=Dom(g), definiamo la funzione composta g\circ f come la funzione

 

g\circ f:\{x\in Dom(f)\mbox{ t.c. }f(x)\in Dom(g)\}\subseteq\mathbb{R}\ \to\ \mathbb{R}

 

definita da

 

g\circ f(x):=g(f(x))

 

dove il simbolo := indica un'uguaglianza per definizione. Con questa notazione la funzione f viene detta prima funzione in ordine di composizione, o più brevemente funzione interna, mentre g viene chiamata seconda funzione in ordine di composizione o più brevemente funzione esterna.

 

Espressione analitica della funzione composta

 

Come si individua l'espressione analitica della composizione di due funzioni? Semplicissimo: date

 

\\ y=f(x)\\ \\ z=g(y)

 

se vogliamo determinare

 

z=g\circ f(x)

 

tutto si riduce ad una pura e semplice valutazione letterale della funzione g. Nella pratica sostituiremo nell'espressione analitica di z=g(y) l'espressione analitica f(x) in luogo della variabile indipendente y.

 

Il metodo è implicitamente suggerito dalla notazione

 

z=g(y)\ \ \ \overbrace{\to}^{y=f(x)}\ \ \ z=g(f(x))

 

Dominio della funzione composta


Nella definizione appena scritta fila tutto liscio fino al momento in cui si scrive esplicitamente il dominio della funzione composta. Perché ne abbiamo definito il dominio nella seguente forma?

 

Dom(g\circ f)=\{x\in Dom(f)\mbox{ t.c. }f(x)\in Dom(g)\}

 

Il motivo è estremamente semplice e non è frutto di un'imposizione astratta, bensì discende dal comportamento previsto dalla definizione di funzione composta.

 

Tenendo conto di come si comporta la composizione di funzioni, se decidiamo di comporre due funzioni f\mbox{ e }g e dunque calcolare

 

z=g(f(x))

 

dobbiamo sicuramente considerare valori di x appartenenti al dominio della funzione interna, dunque x\in Dom(f), in modo che la prima valutazione in ordine di composizione y=f(x) abbia senso.

 

Non basta. Poiché y=f(x) è il punto in cui dobbiamo applicare la funzione esterna, dobbiamo necessariamente richiedere che il valore y appartenga al suo dominio, dunque y\in Dom(g), o in modo del tutto equivalente f(x)\in Dom(g).

 

Un modo piuttosto elegante per descrivere il dominio della funzione composta, ed equivalente a quello appena descritto, è il seguente: si considerano gli elementi del dominio della funzione interna le cui immagini appartengono al dominio della funzione esterna.

 

In questo modo abbiamo una definizione coerente e sensata: ovviamente per far sì che g\circ f abbia senso deve avere un dominio non vuoto

 

Dom(g\circ f)\neq\emptyset

 

Per determinare il dominio della funzione composta possiamo procedere in due modi equivalenti:

 

- seguire la definizione;

 

oppure

 

- determinare l'espressione analitica della funzione composta e determinarne il dominio.

 

Attenzione al secondo metodo: se decidiamo di calcolare il dominio della funzione composta con il secondo metodo dobbiamo procedere con i piedi di piombo. Dopo aver sostituito l'espressione della funzione interna nella funzione esterna non dobbiamo effettuare alcuna semplificazione algebrica, perlomeno non prima di aver calcolato il dominio.

 

In caso contrario rischieremmo di semplificare qualche termine problematico e di annullare eventuali condizioni di esistenza, individuando un insieme più grande rispetto all'effettivo dominio della funzione composta, come mostreremo negli esempi a seguire.

 

Esempi di funzioni composte


I) Consideriamo le funzioni

 

\\ y=f(x)=e^x\\ \\ z=g(y)=y+1

 

La funzione composta g\circ f è data da

 

z=h(x)=g(f(x))=(e^x)+1=e^x+1

 

Poiché la funzione esponenziale ha dominio Dom(f)=\mathbb{R} e la funzione esterna (retta) ha dominio Dom(g)=\mathbb{R}, basta osservare che la funzione interna ha immagine Im(f)=(0,+\infty), la quale è contenuta nel dominio della funzione esterna.

 

In sintesi Dom(g\circ f)=\mathbb{R}.

 

 

II) Consideriamo le funzioni

 

\\ y=f(x)=x+5\\ \\ z=g(y)=e^y

 

La funzione composta g\circ f è data da

 

z=h(x)=g(f(x))=e^{(x+5)}=e^{x+5}

 

Il dominio si individua piuttosto facilmente: basta osservare l'espressione analitica della funzione composta per capire che

 

Dom(g\circ f)=\mathbb{R}

 

 

III) Date le funzioni

 

\\ f(x)=\frac{1}{x}\\ \\ \\ g(y)=\frac{1}{y}

 

La funzione composta g\circ f è

 

z=h(x)=g(f(x))=\frac{1}{\left(\frac{1}{x}\right)}=\frac{1}{\frac{1}{x}}

 

Come spiegato nel paragrafo relativo al dominio, qui non dobbiamo cadere nella tentazione di semplificare l'espressione analitica della funzione. Prima ne determiniamo il dominio imponendo che i denominatori non si annullino

 

\begin{cases}\frac{1}{x}\neq 0\\ x\neq 0\end{cases}\ \to\ x\neq 0\ \to\ Dom(g\circ f)=\mathbb{R}-\{0\}

 

A questo punto possiamo semplificare l'espressione algebrica con la regola per le frazioni di frazioni

 

z=h(x)=g(f(x))=x

 

ma non dobbiamo dimenticare che essa va limitata all'insieme di definizione Dom(g\circ f)=(-\infty,0)\cup (0,+\infty).

 

 

IV) Consideriamo le funzioni

 

\\ y=f(x)=\sin(x)\\ \\ \\ z=g(y)=\frac{y+\sqrt{y}}{y^2}

 

La funzione composta è data da

 

z=h(x)=g(f(x))=\frac{\sin(x)+\sqrt{\sin(x)}}{(\sin(x))^2}

 

Lasciamo a voi l'onere di calcolare il dominio prima e di ricercare successivamente eventuali riscritture più eleganti dell'espressione analitica.

 

 

V) Consideriamo le funzioni

 

\\ y=f(x)=\ln(x)\\ \\ \\ \ z=g(y)=\frac{1}{y^3+2y-4}

 

La funzione composta è data da

 

z=h(x)=g(f(x))=\frac{1}{(\ln(x))^3+2\ln(x)-4}

 

Anche in questo caso prima di cadere nella tentazione di applicare le proprietà dei logaritmi è essenziale determinare il dominio della funzione composta.

 

Nomenclatura avanzata per la composizione di funzioni


Giunti a questo punto dobbiamo fare un ulteriore passo in avanti. È uso comune da parte di docenti e libri di testo non diversificare i nomi delle variabili dipendenti e indipendenti delle funzioni da comporre. Più esplicitamente, capita spesso di leggere

 

- calcolare g\circ f date y=f(x) e y=g(x)

 

al posto di

 

- calcolare g\circ f date y=f(x) e z=g(y)

 

Niente paura: se abbiamo capito cos'è la composizione di funzioni e qual è il significato della scrittura g\circ f, allora sappiamo perfettamente qual è la funzione interna e quale la funzione esterna. Non dobbiamo fare altro che sostituire l'espressione analitica della funzione interna nell'espressione della funzione esterna, a prescindere dai nomi. ;)

 

 

Esempio

 

Consideriamo le funzioni

 

\\ f(x)=\frac{x}{\ln(x+1)}\\ \\ \\ g(x)=\cos(x)

 

La funzione composta g\circ f è data da

 

h(x)=g\circ f(x)=g(f(x))=\cos\left(\frac{x}{\ln(x+1)}\right)

 

Se invece consideriamo la funzione composta f\circ g con le stesse funzioni, otteniamo

 

s(x)=f\circ g(x)=f(g(x))=\frac{\cos(x)}{\ln(\cos(x)+1)}

 

Come potete vedere la notazione stessa impone un ordine ben preciso. :)

 

La composizione di funzioni è un'operazione commutativa?


No. L'esempio precedente mostra che, in generale

 

f\circ g\neq g\circ f

 

Composizione con più di due funzioni


Nulla ci vieta di comporre più di due funzioni e a ben vedere questo fatto non dovrebbe sorprenderci. In particolare possiamo comporre 3, 12 o 480 funzioni seguendo l'ordine indicato dalla notazione di composizione.

 

Per motivi puramente didattici ci concentriamo sulla composizione di tre funzioni

 

y=f(x)\ \ ;\ \ y=g(x)\ \ ;\ \ y=h(x)

 

Imparando a comporre tre funzioni saremo automaticamente in grado di comporne N. Come al solito l'importante è capire l'ordine da seguire nella composizione e ricordare che si parte dalla funzione più interna fino ad arrivare a quella più esterna.

 

Se ad esempio vogliamo calcolare

 

y=f(g(h(x)))

 

non dobbiamo fare altro che:

 

- sostituire l'espressione di h(x) al posto di x nell'espressione di g(x);

 

- sostituire l'espressione appena trovata g(h(x)) e sostituirla al posto della x nell'espressione di f(x);

 

- fine, abbiamo individuato l'espressione della funzione composta y=f(g(h(x))).

 

Anche in questo caso tutte le eventuali semplificazioni algebriche vanno effettuate alla fine e non prima di aver determinato il dominio della composizione.

 

 

Esempio

 

 

\\ f(x)=\cos(x)\\ \\ g(x)=x+1\\ \\ h(x)=\ln(x)

 

La funzione composta y=f(g(h(x))) è data da

 

f(g(h(x)))=\cos\left(\ln(x)+1\right)

 

Proprietà della funzione composta

 

Dopo aver definito la composizione di funzioni e compreso come calcolare il dominio di una funzione composta è giunto il momento di elencare le principali proprietà analitiche delle funzioni composte, con particolare riferimento alle proprietà delle funzioni già trattate nelle precedenti lezioni.

 

Due avvertenze prima di procedere:

 

- chi è alle prime armi con lo studio della composizione di funzioni può saltare momentaneamente la restante parte della lezione, dal momento che i seguenti risultati teorici verranno ripresi più volte nel prosieguo degli studi in Analisi 1;

 

- qui di seguito omettiamo le dimostrazioni, le quali possono essere ricavate facilmente dai lettori (non a caso spesso e volentieri vengono proposte dai docenti per esercizio).

 

Composizione di funzioni iniettive, suriettive, biunivoche

 

Cominciamo con l'elenco delle proprietà relative alla composizione di funzioni iniettive, suriettive o biunivoche. Queste sono proprietà molto utili a livello teorico ma possono rivelarsi dei salva-esame anche nella risoluzione di esercizi in cui sono presenti funzioni dalle espressioni analitiche mastodontiche.

 

La composizione di funzioni iniettive è iniettiva

 

Se f(x)\mbox{ e }g(x) sono funzioni iniettive sui rispettivi domini allora la funzione composta g(f(x)) è una funzione iniettiva sul proprio dominio. Attenzione: in generale non vale il viceversa.

 

La composizione di funzioni suriettive è suriettiva

 

Se f(x)\mbox{ e }g(x) sono funzioni suriettive sui rispettivi domini allora la funzione composta g(f(x)) è una funzione suriettiva. In generale non vale il viceversa.

 

La composizione di funzioni biettive è biettiva

 

Se f(x) \ \mbox{ e }g(x) sono funzioni biettive sui rispettivi domini allora la funzione composta g(f(x)) è una funzione biettiva. In generale non vale il viceversa.

 

Proprio perché la funzione composta è biettiva, segue subito che g(f(x)) ammette la funzione inversa. Si può dimostrare che la funzione inversa della funzione composta g(f(x)) si ottiene componendo la funzione inversa di g(x) con la funzione inversa di f(x).

 

In altri termini sussiste l'elegante relazione

 

\left[g(f(x))]^{-1}=f^{-1}(g^{-1}(x))

 

o equivalentemente

 

(g\circ f)^{-1}(x)=(f^{-1}\circ g^{-1})(x)

 

Sull'iniettività e sulla suriettività della funzione composta

 

Se g(f(x)) è una funzione iniettiva allora la funzione interna f(x) è iniettiva.

 

Se g(f(x)) è suriettiva allora la funzione esterna g(x) è suriettiva.

 

Dalle due proprietà segue che se la funzione composta g(f(x)) è biettiva allora f(x) è iniettiva e g(x) è suriettiva.

 

Come per le proposizioni precedenti, non possiamo dire nulla sulla veridicità delle implicazioni inverse.

 

Composizione di funzioni pari e dispari

 

In questo paragrafo supporremo che i domini delle funzioni f(x)\mbox{ e }g(x) siano simmetrici rispetto all'origine, in accordo con le definizioni di funzione pari e funzione dispari.

 

La composizione di funzioni pari è pari

 

Se f(x)\mbox{ e }g(x) sono funzioni pari nei rispettivi domini allora la funzione composta g(f(x)) è una funzione pari sul proprio dominio.

 

La composizione di funzioni dispari è dispari

 

Se f(x)\mbox{ e }g(x) sono funzioni dispari nei rispettivi domini allora la funzione composta g(f(x)) è una funzione dispari sul proprio dominio.

 

Composizione tra una funzioni pari e una funzioni dispari

 

Se f(x) è una funzione pari e g(x) una funzione dispari allora la funzione composta g(f(x)) è una funzione pari.

 

Se f(x) è una funzione dispari e g(x) una funzione pari allora la funzione composta g(f(x)) è una funzione pari.

 

Composizione tra una funzione pari e una funzione qualsiasi

 

Se f(x) è una funzione pari e g(x) una funzione qualsiasi allora g(f(x)) è una funzione pari.

 

In tutte le altre situazioni conviene affidarsi alla definizione di funzione pari e dispari per stabilire se una funzione composta sia pari, dispari o ancora nessuna delle due. ;)

 

Composizione di funzioni monotone

 

Cosa succede se componiamo tra loro due funzioni monotone? Rispondiamo a questa domanda proponendo una serie di proposizioni dalle dimostrazioni immediate.

 

Linee guida per le dimostrazioni: per ricavare i risultati sulla monotonia della composizione di funzioni basta osservare che la monotonia della funzione interna individua un verso di percorrenza per le preimmagini della funzione esterna: una funzione interna crescente o non decrescente preserva una percorrenza da sinistra a destra, una funzione interna decrescente o non crescente inverte la percorrenza (da destra a sinistra).

 

Il verso di percorrenza sulle preimmagini della funzione esterna permette di giungere alla monotonia della funzione composta semplicemente considerando la monotonia della funzione esterna.

 

 

f(x)

g(x)

g(f(x))

Crescente

Crescente

Crescente

Crescente

Non decrescente

Non decrescente

Crescente

Decrescente

Decrescente

Crescente

Non crescente

Non crescente

Decrescente

Crescente

Decrescente

Decrescente

Non decrescente

Non crescente

Decrescente

Decrescente

Crescente

Decrescente

Non crescente

Non decrescente

Non crescente

Crescente

Non crescente

Non crescente

Non decrescente

Non crescente

Non crescente

Decrescente

Non decrescente

Non crescente

Non crescente

Non decrescente

Non decrescente

Crescente

Non decrescente

Non decrescente

Non decrescente

Non decrescente

Non decrescente

Decrescente

Non crescente

Non decrescente

Non crescente

Non crescente

 

 

Attenzione: in generale le implicazioni non possono essere invertite!

 

Sottolineiamo che la tabella risulta essere molto comoda nel momento in cui è nota a priori la monotonia delle funzioni che compongono g(f(x)), in tutti gli altri casi è necessario fare affidamento ad altri strumenti analitici che incontrerete nel prosieguo degli studi. ;)

 

 


 

Con questo, carissime e carissimi, è tutto tutto. Se siete in cerca di ulteriori spunti e/o esercizi risolti vi raccomandiamo un buon uso della fedelissima barra di ricerca interna. ;)

 

 

Sayonara, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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