Esempi di operazioni tra funzioni, significato geometrico

Vediamo qualche esempio sulle operazioni tra funzioni e il significato geometrico corrispondente a ciascuna operazione.

 

In riferimento alle operazioni tra funzioni introdotte nella precedente lezione cercheremo di capire, con un approccio sia analitico che grafico, come funzionano le varie operazioni algebriche tra funzioni e come determinare le espressioni analitiche delle funzioni risultanti.

 

Importante: tenete bene a mente le considerazioni relative al dominio delle varie funzioni coinvolte, saranno a dir poco fondamentali! ;)

 
 
 

Esempi analitici e grafici sulle operazioni tra funzioni

 

Per gli esempi faremo riferimento alle funzioni elementari, le cui definizioni e i cui grafici vengono qui considerati come acquisiti dal lettore.

 

 

I) Consideriamo la funzione seno e la funzione coseno

 

f(x)=\sin(x)\ \mbox{ e }\ g(x)=\cos(x)

 

vogliamo calcolare la funzione somma f+g.

 

Dalla definizione che abbiamo dato, essendo il dominio di entrambe le funzioni l'intero asse reale, ne consegue che l'intersezione dei domini è ancora tutto l'asse reale e risulta per ogni x\in\mathbb{R}

 

(f+g)(x)=f(x)+g(x)=\sin(x)+\cos(x)

 

Graficamente otteniamo

 

 

Esempio sulla somma di funzioni

 

 

II) Consideriamo la funzione

 

f(x)=x^2-2

 

la quale graficamente individua una parabola nel piano cartesiano, e determiniamo la funzione opposta

 

(-f)(x)=-f(x)=-(x^2-2)=-x^2+2

 

Ad ogni immagine della funzione f dobbiamo associare il valore opposto.

 

In termini di rappresentazione delle funzioni coinvolte i punti (x,f(x)) corrispondono ai punti (x,-f(x)), per cui sostanzialmente otteniamo il grafico simmetrico rispetto all'asse x del grafico della funzione di partenza

 

 

Esempio di funzione opposta

 

 

III) Per quanto riguarda il prodotto di funzioni è importante tenere presente che, in accordo con la definizione, il dominio della funzione prodotto è dato dall'intersezione dei domini delle funzioni coinvolte.

 

Consideriamo le funzioni

 

f(x)=x\ \mbox{ e }\ g(x)=\frac{1}{x}

 

quindi Dom(f)=\mathbb{R}\mbox{ e }Dom(g)=\mathbb{R}-\{0\}.

 

Consideriamo la funzione prodotto f\cdot g. Il dominio della risultante sarà

 

Dom(f\cdot g)=Dom(f)\cap Dom(g)=(-\infty,0)\cup (0,+\infty)

 

e in questo frangente è importante non cadere nella tentazione di svolgere prima il prodotto e determinare il dominio dall'espressione analitica risultante. Per definizione la funzione prodotto è definita come prodotto delle immagini, quindi entrambe le valutazioni f(x)\mbox{ e }g(x) devono essere ben definite.

 

Alla luce di ciò scriveremo

 

(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)=x\cdot \frac{1}{x}=\frac{x}{x}

 

che è chiaramente definita su (-\infty,0)\cup(0,+\infty).

 

Se volessimo semplificare l'espressione analitica dovremmo necessariamente precisare l'insieme di definizione

 

(f\cdot g)(x)=1\ \ \ \mbox{per }x\in (-\infty,0)\cup (0,+\infty)

 

e quindi dovremmo ricordare che f\cdot g è definita su Dom(f\cdot g)=\mathbb{R}-\{0\}.

 

In parole povere le eventuali semplificazioni algebriche intervengono dopo aver definito il prodotto e non possono prescindere dagli insiemi di definizione dei due fattori.

 

Se ritenete che ciò possa confondervi vi basti osservare che la funzione prodotto dell'esempio considerato assomiglia alla funzione costante h(x)=1 ma non coincide con essa. Ebbene sì: il dominio è tanto importante quanto l'espressione analitica nella definizione di una funzione, e le funzioni f\cdot g\mbox{ e }h coincidono solamente se il dominio di h, che è l'intero asse reale, viene ristretto a \mathbb{R}-\{0\}.

 

 

IV) Nel quoziente tra funzioni il discorso relativo al dominio è altrettanto delicato.

 

Consideriamo ad esempio

 

f(x)=x\ \mbox{ e }\ g(x)=x^3-x

 

Non cadiamo nella tentazione di effettuare i calcoli per poi determinare il dominio dall'espressione analitica risultante. Atteniamoci piuttosto alla teoria:

 

Dom\left(\frac{f}{g}\right)=(Dom(f)\cap Dom(g))-\{x\in Dom(g)\ :\ g(x)=0\}

 

Entrambe le funzioni sono definite su \mathbb{R} e, risolvendo l'equazione scomponibile

 

g(x)=0\ \ \to\ \ x^3-x=0

 

otteniamo le soluzioni x=0,\ x=\pm 1, per cui il dominio della funzione quoziente è dato da

 

Dom\left(\frac{f}{g}\right)=(\mathbb{R}\cap\mathbb{R})-\{-1,0,1\}=(-\infty,-1)\cup(-1,0)\cup(0,1)\cup(1,+\infty)

 

Se avessimo erroneamente deciso di calcolare l'insieme di definizione dall'espressione analitica della funzione quoziente, avremmo ricavato

 

\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{x}{x^3-x}=\frac{x}{x(x^2-1)}=\frac{1}{x^2-1}

 

ossia \mathbb{R}- \{+1,-1\}. Sbagliato! La funzione quoziente ha espressione analitica

 

\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{x}{x^3-x}

 

che non è definita nei punti x=-1,\ x=0,\ x=1.

 

Possiamo al più dire che in tutti gli altri punti di \mathbb{R}, in cui è ben definita, ha un'espressione analitica che si riduce a \frac{1}{x^2-1}.

 

\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{1}{x^2-1}\ \ \ \mbox{ per }x\in\mathbb{R}-\{-1,0,1\}

 

 

V) Consideriamo la funzione logaritmica

 

f(x)=\ln(x)

 

e sommiamo lo scalare +3. La somma della funzione con lo scalare equivale alla funzione

 

(f+3)(x)=f(x)+3=\ln(x)+3

 

Osserviamo cosa accade graficamente

 

 

Esempio di traslazione verticale di una funzione

 

 

Dal grafico si vede che il risultato consiste in una traslazione verso l'alto del grafico della funzione f.



VI) Consideriamo ancora la funzione logaritmo e proviamo a moltiplicarla per uno scalare, ad esempio +3.

 

(f\cdot 3)(x)=3\cdot f(x)=3\ln(x)

 

Come si rappresentano le funzioni y=\ln(x)\mbox{ e }y=3\ln(x)\ ?

 

 

Esempio di prodotto di una funzione per una costante

 

 

VII) Ora vediamo un esempio sul valore assoluto di una funzione. Lavoriamo su

 

f(x)=\sin(x)

 

e, in accordo con quanto abbiamo visto nella precedente lezione

 

|f|(x)=|f(x)|=|\sin(x)|

 

Ora possiamo tranquillamente fare riferimento alla definizione di valore assoluto

 

|f|(x)=|f(x)|=|\sin(x)|=\begin{cases}+\sin(x)\mbox{ dove }\sin(x)>0\\ 0\mbox{ dove }\sin(x)=0\\ -\sin(x)\mbox{ dove }\sin(x)<0\end{cases}

 

Dal punto di vista grafico passare al modulo di una funzione significa considerare il simmetrico del grafico della stessa rispetto all'asse delle x

 

 

Esempio di applicazione del valore assoluto di una funzione

 

 

VIII) Per quel che concerne la composizione di funzioni tratteremo il discorso in una delle lezioni successive. ;)

 

 


 

Importante: non sottovalutate mai il significato delle operazioni tra funzioni. Esse infatti ricorreranno sempre e dovunque nello studio dell'Analisi Matematica, ed inoltre conoscerne il significato grafico ci permetterà di risparmiare parecchi conti nella pratica. Non a caso torneremo su questo argomento in una delle successive lezioni, quella sul grafico intuitivo.

 

Per qualunque dubbio o perplessità potete trovare le risposte ai vostri dubbi con la barra di ricerca interna. Qui su YM abbiamo risolto migliaia e migliaia di esercizi! ;)

 

 

Buona Matematica a tutti!

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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