Operazioni tra funzioni

Le operazioni tra funzioni sono le normali operazioni algebriche effettuate tra due o più funzioni, e che restituiscono come risultato una nuova funzione. A partire dagli operandi è possibile trarre opportune conclusioni sul dominio e sull'immagine della funzione risultato.

 

In questa lezione vogliamo studiare le principali operazioni tra funzioni e capire com'è definita la funzione risultante, con particolare riferimento alle valutazioni e al dominio, in ciascuno dei seguenti casi:

 

1) somma;

2) sottrazione e opposto;

3) moltiplicazione;

4) quoziente o equivalentemente divisione;

5) somma per uno scalare;

6) moltiplicazione per uno scalare;

7) modulo di una funzione;

8) composizione di funzioni.

 

In una delle lezioni successive vedremo come individuare velocemente l'immagine della funzione risultante in ciascuno dei casi elencati.

 

 

Consideriamo due generiche funzioni reali a variabile reale, siano esse

 

\\ f:Dom(f)\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R}\\ \\ g:Dom(g)\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R}

 

Analizziamo ognuna delle operazioni elencate sopra da un punto di vista teorico, dopodiché ci soffermeremo su alcuni esempi nella lezione successiva (esempi sulle operazioni tra funzioni); come avrete modo di vedere la pratica sarà sicuramente più immediata della teoria. ;)

 

 

1) Somma di funzioni

 

Per capire cosa significa sommare due funzioni dobbiamo semplicemente dare un senso alla scrittura f+g.

 

In questo caso il significato è più che intuitivo: si tratta semplicemente di sommare i valori che le due funzioni assumono punto per punto, ovviamente considerando x\in Dom(f)\wedge x\in Dom(g), (dove \wedge denota il connettivo logico e, ossia devono valere entrambe le condizioni).

 

Per poter definire la funzione somma dobbiamo naturalmente considerare l'intersezione dei domini delle due funzioni, in modo che entrambe le valutazioni f(x)\mbox{ e }g(x) siano ben definite. In altri termini il dominio della funzione somma è l'insieme dei punti comuni a entrambi i domini. In simboli

 

Dom(f+g)=Dom(f)\cap Dom(g)

 

La valutazione della funzione somma (f+g)(x) in un punto x per definizione non è altro che la somma delle valutazioni f(x)\mbox{ e }g(x) nel punto x\in Dom(f)\cap Dom(g)

 

(f+g)(x):=f(x)+g(x)

 

dove il simbolo := indica che l'uguaglianza è una definizione.

 

 

2) Sottrazione di funzioni e opposto di una funzione

 

Quando si parla di somma in Matematica ci si riferisce nella maggior parte dei casi alla nozione di somma algebrica, vale a dire una somma in cui ciascun addendo presenta il proprio segno. Per intenderci è sempre possibile scrivere 5-3 come 5+(-3). Lo stesso avviene quando si parla di differenza di due funzioni, dunque scrivere

 

f-g

 

equivale a scrivere

 

f+(-g)

 

In questo modo ci siamo ricondotti al caso della somma di due funzioni e dobbiamo semplicemente capire cosa significa la scrittura -g.

 

Il segno meno anteposto al secondo operando significa che per ogni immagine g(x) con x\in Dom(g) dobbiamo considerare il valore opposto -g(x).

 

(-g)(x):=-(g(x))

 

e scriviamo per brevità

 

(-g)(x):=-g(x)

 

Adesso che abbiamo capito come è definito l'opposto di una funzione, per ottenere la differenza tra le due funzioni sarà sufficiente sommare le valutazioni f(x)\mbox{ e }-g(x). Ovviamente il dominio della differenza di due funzioni è dato dall'intersezione dei domini delle due funzioni

 

\\ Dom(f-g)=Dom(f)\cap Dom(g)\\ \\ (f-g)(x):=f(x)+(-g)(x)=f(x)-g(x)

 

 

3) Prodotto di funzioni

 

Date due funzioni f\mbox{ e }g vogliamo capire cosa rappresenti il prodotto f\cdot g.

 

Ancora una volta viene in nostro aiuto l'intuizione, infatti è immediato pensare che questa scrittura si possa tradurre direttamente sulle immagini come

 

(f\cdot g)(x):=f(x)\cdot g(x)

 

E per quanto riguarda il dominio? Anche in questo caso il dominio della funzione prodotto è dato dall'intersezione dei domini delle due funzioni

 

Dom(f\cdot g)= Dom(f)\cap Dom(g)

 

Attenzione a non farvi trarre in inganno: riguardando com'è definito il prodotto tra due funzioni, per poter considerare (f\cdot g)(x) devono essere definite entrambe le valutazioni f(x)\mbox{ e }g(x). Non cadete nella tentazione di individuare il dominio del prodotto dopo aver moltiplicato ed eventualmente semplificato le espressioni analitiche di f(x)\mbox{ e }g(x)

 

 

Esempio

 

Il prodotto tra le funzioni f(x)=x e g(x)=\frac{1}{x} ha dominio dato da

 

\\ Dom(f\cdot g)=Dom(f)\cap Dom(g)=\mathbb{R}\cap ((-\infty,0)\cup(0,+\infty))=\\ \\ =(-\infty,0)\cup(0,+\infty)

 

 

4) Divisione tra funzioni

 

Il discorso è del tutto analogo a quello appena visto per il prodotto. Il quoziente tra due funzioni si scriverà come \frac{f}{g}

 

\left(\frac{f}{g}\right)(x):=\frac{f(x)}{g(x)}

 

In questo caso il dominio Dom\left(\frac{f}{g}\right) non coincide in generale con l'intersezione tra i domini delle due funzioni. In accordo con le regole per determinare il dominio di una funzione, bisogna tenere a mente che la funzione quoziente non è definita ove il denominatore si annulla.

 

Possiamo quindi concludere che il dominio del quoziente di due funzioni è dato dall'intersezione dei due domini, da cui vanno esclusi gli eventuali punti in cui il denominatore si annulla

 

Dom\left(\frac{f}{g}\right)=(Dom(f)\cap Dom(g))-\{x\in Dom(g)\mbox{ t.c. }g(x)=0\}

 

dove il simbolo - denota l'usuale differenza insiemistica.

 

 

5) Somma con uno scalare (una costante)

 

Con somma con uno scalare si intende semplicemente la somma di una funzione con un numero reale, che chiameremo \alpha e non x in modo da non fare confusione tra il primo (che è soltanto un numero fissato) e la variabile indipendente della funzione.

 

(f+\alpha)(x):=f(x)+\alpha

 

In parole povere ad ogni valore assunto dalla funzione viene aggiunto il numero fissato \alpha.

 

Per quanto riguarda la sottrazione tra una funzione ed uno scalare è sufficiente pensare a

 

f-\alpha

 

come

 

f+(-\alpha)

 

e ci riconduciamo in questo modo al caso della somma con uno scalare.

 

In entrambi i casi il dominio delle funzioni risultanti coincide con il dominio della funzione considerata

 

Dom(f+\alpha)=Dom(f)\ \ \ \mbox{ dove }\alpha\in\mathbb{R}

 

 

6) Moltiplicazione per uno scalare

 

L'operazione \alpha\cdot f consiste semplicemente nel moltiplicare per \alpha ogni immagine della funzione calcolata sul suo dominio, ottenendo così

 

(\alpha\cdot f)(x):=\alpha\cdot f(x)

 

e il dominio è chiaramente 

 

Dom(\alpha\cdot f)=Dom(f)\ \ \ \mbox{ dove }\alpha\in\mathbb{R}

 

 

7) Modulo di una funzione

 

Prendere il valore assoluto di una funzione, ossia considerare |f|, significa calcolare il modulo dell'immagine per ogni punto appartenente al dominio di f

 

|f|(x)=|f(x)|

 

Riguardo al dominio, non ci sono particolari sorprese

 

Dom(|f|):=Dom(f)

 

 

8) Composizione di funzioni

 

Siamo arrivati al caso più delicato, al quale dedicheremo un'intera lezione nel seguito. Qui ne proponiamo qualche cenno veloce, chiamiamola pure un'anticipazione. ;)

 

Consideriamo le solite funzioni

 

f:U\subseteq\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\ \mbox{ e }\ g:V\subseteq\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}

 

dove U=Dom(f)\mbox{ e }V=Dom(g). La composizione di g\mbox{ con }f si indica con la scrittura

 

g\circ f

 

e il valore della funzione composizione è definito come

 

(g\circ f)(x):=g(f(x))

 

e si legge g composto f o anche g dopo f. In buona sostanza si tratta di applicare a x la funzione f, considerare la valutazione così ottenuta e valutare in essa la funzione g.

 

 


 

Per vedere gli esempi, se non l'avete già fatto, date uno sguardo alla lezione successiva. Se invece avete dubbi potete cercare le risposte alle vostre domande con la barra di ricerca interna: abbiamo risolto migliaia di esercizi... ;)

 

 

Buona Matematica a tutti!

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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