Monotonia di una funzione

La monotonia di una funzione è una proprietà che riguarda l'andamento di crescita e decrescita della funzione, e che può essere riferita al suo dominio o ad un intervallo contenuto in esso. 

 

Nella lezione precedente abbiamo presentato la nozione di monotonia in generale e la definizione di funzione crescente o decrescente

 

f:Dom(f)\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ y=f(x)

 

Abbiamo trattato la monotonia da un punto di vista geometrico sull'asse delle ascisse, parlando prima di monotonia globale (su tutto il dominio della funzione) e successivamente di monotonia locale (su un intervallo del dominio in cui la funzione cresce o decresce). Ora vediamo di entrare nel dettaglio e di fornire un'ulteriore caratterizzazione.

 
 
 

I quattro tipi di funzioni monotone

 

Ora mostreremo che è necessario essere più precisi definendo quattro tipi di monotonia e introducendo le nozioni di:

 

- funzione monotona crescente

- funzione monotona non decrescente

- funzione monotona decrescente

- funzione monotona non crescente

 

Oltre a questi casi, rimane naturalmente il tipo

 

- assenza di monotonia in senso globale (in questo caso guardiamo la monotonia locale).

 

Le prime due nozioni riguardano la crescita di una funzione, le ultime due la decrescita. Procedete nella lettura con estrema cautela, perché i nomi possono trarre in inganno. Dopo averle introdotte, vedremo un trucchetto che permette di saperle riconoscere al volo e di non confonderle.

 

Perché introdurre quattro tipi di monotonie?

 

Non basta dire che una funzione cresce o decresce? No, non basta. Se ci limitassimo a dire che una funzione cresce (su tutto il dominio o su un intervallo, non importa) non saremmo in grado di catalogare l'andamento di tutte le funzioni che l'Analisi Matematica può partorire.

 

Vediamo un esempio, e consideriamo la funzione in figura.

 

 

Funzione monotona non decrescente

 

 

Per prima cosa notiamo che tale funzione è monotona, perchè soddisfa la condizione di monotonia che abbiamo presentato nella prima parte della lezione: comunque consideriamo x_1,x_2 nel dominio con x_{1} a sinistra di x_2, ossia x_1<x_2, risulta che

 

f(x_1)\leq f(x_2)

 

Ora consideriamo la bisettrice del primo e del terzo quadrante, vale a dire la funzione identità y=x.

 

 

Funzione monotona crescente

 

 

Anch'essa è monotona globalmente, infatti vale la prima condizione di monotonia, esattamente come nell'esempio precedente.

 

C'è però un dettaglio che distingue le due funzioni. Mentre la prima ha immagini f(x) che diventano maggiori o restano uguali andando da sinistra verso destra sull'asse delle ascisse, la seconda ha immagini f(x) che diventano maggiori e basta. Si dice in quest'ultima situazione che le immagini crescono strettamente, ed è un dettaglio non indifferente...

 

Consideriamo il seguente grafico

 

 

Funzione localmente monotona

 

 

Tale funzione non è monotona, ossia non è monotona su tutto il dominio perchè decresce e cresce, quindi globalmente non soddisfa né la prima né la seconda condizione della definizione di monotonia.

 

Considerando opportuni intervalli la funzione è però localmente monotona. Infatti se si considera l'intervallo giallo unito a quello blu, la funzione è monotona e soddisfa la condizione: comunque scelti x_1,x_2 nell'intervallo con x_1 a sinistra di x_2, ossia x_1<x_2, risulta che

 

f(x_1)\geq f(x_2)

 

Sull'intervallo rosso la funzione cresce strettamente, quindi è sicuramente monotona. Infatti comunque scelti x_1,x_2 nell'intervallo con x_1 a sinistra di x_2, ossia x_1<x_2, è soddisfatta la condizione

 

f(x_1)\leq f(x_2)

 

Di più. Vale la condizione:

 

f(x_1)< f(x_2)

 

Se ci limitiamo a considerare l'intervallo blu, qui la funzione è costante. Ed è monotona in questo intervallo (localmente) perché soddisfa sia la prima che la seconda condizione della definizione di monotonia. In tali condizioni è infatti richiesto che, prendendo due ascisse qualsiasi tali che x_1 sia a sinistra di x_2, risulti

 

\\ f(x_1)\leq f(x_2)\ \ \ (\mbox{prima condizione})\\ \\ f(x_1)\geq f(x_2)\ \ \ (\mbox{seconda condizione})

 

Maggiore uguale o minore uguale, rispettivamente. Nello specifico risulta

 

f(x_1)=f(x_2)

 

dunque entrambe le condizioni sono soddisfatte.

 

Bando alle ciance, avete intuito il motivo di introdurre le definizioni! ;)

 

 

Definizione (funzione monotona crescente)

 

Diciamo che una funzione y=f(x) è monotona crescente su un intervallo I del suo dominio se per ogni x_1,x_2\mbox{ con }x_1<x_2 risulta che

 

f(x_1)<f(x_2)

 

 

Definizione (funzione monotona non decrescente = "cresce o resta uguale")

 

Diciamo che una funzione y=f(x) è monotona non decrescente su un intervallo I del suo dominio se per ogni x_1,x_2\mbox{ con }x_1<x_2 risulta che

 

f(x_1)\leq f(x_2)

 

 

Definizione (funzione monotona decrescente)

 

Diciamo che una funzione y=f(x) è monotona decrescente su un intervallo I del suo dominio se per ogni x_1,x_2\mbox{ con }x_1<x_2 risulta che

 

f(x_1)>f(x_2)

 

 

Definizione (funzione monotona non crescente = "decresce o resta uguale")

 

Diciamo che una funzione y=f(x) è monotona non crescente su un intervallo I del suo dominio se per ogni x_1,x_2\mbox{ con }x_1<x_2 risulta che

 

f(x_1)\geq f(x_2)

 

 

Occhio ai minori e maggiori stretti o uguali!

 

Dato che viviamo nell'era dell'immagine, un bel grafico varrà più di mille parole... E come diceva Il grande Hilbert: "Iniziare sempre con gli esempi più semplici."

 

 

Monotonia per intervalli

 

 

Elenchiamo tutte le informazioni relative alla monotonia della funzione rappresentata in figura:

 

- non è monotona globalmente (sul proprio dominio), ma è localmente monotona;

 

- nel primo intervallo è monotona crescente, perché da sinistra a destra otteniamo immagini sempre maggiori;

 

- sul secondo intervallo è monotona non crescente, perché da sinistra a destra decresce o resta uguale (nel primo tratto dell'intervallo è costante);

 

- nel terzo intervallo è monotona decrescente, perché da sinistra a destra assume valori via via minori;

 

- sul quarto intervallo è monotona crescente;

 

- sul quinto intervallo è costante, dunque è sia monotona non crescente (decresce o resta uguale) che monotona non decrescente (cresce o resta uguale);

 

- considerando l'unione del quarto e del quinto intervallo otteniamo un intervallo su cui la funzione è monotona non decrescente, perché cresce o resta uguale.

 

Nomenclatura delle funzioni monotone

 

In generale i nomi dei quattro tipo di monotonia che abbiamo elencato sono quelli più utilizzati. Ciononostante vi sono vari libri di testo e docenti che adottano ulteriori nomi per indicare i vari tipi di monotonia; come al solito vi raccomandiamo di tenere a mente le possibili varianti onde evitare di confondervi. In fin dei conti sono puri e semplici nomi, e nulla più. ;)

 

 

Tipo di monotonia

Detta anche

Classificazione

Funzione crescente

Strettamente crescente

Monotonia stretta o forte

Funzione decrescente

Strettamente decrescente

Monotonia stretta o forte

Funzione non decrescente

Debolmente crescente

Monotonia larga o debole

Funzione non crescente

Debolmente decrescente

Monotonia larga o debole

 

Trucchetto per riconoscere i vari tipi di monotonia

 

Ed ecco il trucco per non fare confusione. Attenzione: le espressioni "cresce o resta uguale" e "decresce o resta uguale" non sono rigorose ed andrebbero evitate in sede d'esame, ma sono molto utili per avere le idee chiare.

 

Monotona crescente = cresce e basta.

Monotona non decrescente = cresce o resta uguale.

Monotona decrescente = decresce e basta.

Monotona non crescente = decresce o resta uguale.

 

Oltretutto ragionando in questo modo è facile capire qual è la relazione tra monotonia forte e debole:

 

- una funzione crescente è anche non decrescente, perché se vale f(x_1)<f(x_2) vale ovviamente f(x_1)\leq f(x_2), mentre il viceversa in generale non è vero;

 

- una funzione decrescente è anche non crescente, perché se vale f(x_1)>f(x_2) vale ovviamente f(x_1)\geq f(x_2), mentre il viceversa in generale non vale.

 

In sintesi la monotonia stretta è un caso particolare della monotonia debole.

 

Metodo per studiare la monotonia di una funzione

 

Il metodo per studiare la monotonia di una funzione dipende dal dato di cui disponiamo in partenza. Possiamo infatti disporre dell'espressione analitica della funzione, vale a dire di y=f(x), oppure del suo grafico.

 

Nel caso grafico non c'è molto da aggiungere rispetto a quanto già scritto fin qui.

 

Nel caso disponessimo dell'espressione analitica, per studiare nel modo più semplice ed efficace la monotonia globale o locale di una funzione ci servirà il concetto di derivata di una funzione reale di variabile reale, che tratteremo più avanti. Per chi però è già pronto e sta ripassando: come studiare la monotonia di una funzione.

 

Fino a quel momento volendo potremmo barcamenarci nello studio della monotonia mediante la definizione, il che all'atto pratico prevederebbe di risolvere disequazioni piuttosto contorte. Si tratta comunque di un metodo piuttosto astruso e didatticamente poco interessante: molto meglio attendere ed ampliare i propri bagagli analitici. ;)

 

 

Esempio

 

Stabilire se la funzione

 

f(x)=x^2+1

 

è monotona globalmente sul proprio dominio. In caso negativo, individuare gli intervalli su cui essa è localmente monotona e specificare il tipo di monotonia.

 

Svolgimento: come ben sappiamo la funzione proposta ha per grafico una parabola con vertice in V=(0,1) e rivolta verso l'alto. Da qui è facile capire che la funzione non è globalmente monotona, ma solo localmente.

 

In particolare f(x) è monotona decrescente sull'intervallo (-\infty,0] e monotona crescente sull'intervallo [0,+\infty).

 

Proprietà delle funzioni monotone

 

Per chiudere in bellezza riportiamo le proprietà generali valide per tutte le funzioni monotone. Più esplicitamente vogliamo proporvi una carrellata con tutti i risultati teorici che legano la nozione di monotonia alle proprietà studiate nelle precedenti lezioni sulle funzioni.

 

Onde evitare che vi venga un infarto, sappiate che:

 

- non è necessario che impariate a memoria le seguenti proprietà. Esse verranno richiamate a più riprese nel prosieguo degli studi di Analisi 1, dunque l'elenco può essere utile per chi è in fase di ripasso in vista degli esami. Chi affronta l'argomento per la prima volta e ha capito ciò che è stato scritto fin qui può ritenersi più che soddisfatto e passare alla lezione successiva.

 

- Le dimostrazioni vengono omesse perché sono piuttosto semplici in linea generale, e spesso e volentieri vengono assegnate come esercizio dai docenti.

 

Operazioni tra funzioni monotone

 

Consideriamo due funzioni

 

\\ f:A\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R} \\ \\ g:A\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R}

 

il primo blocco riguarda il legame tra la monotonia e le operazioni tra funzioni.

 

 

Somma di funzioni monotone

 

 

f g f+g

Crescente

Crescente

Crescente

Crescente

Non decrescente

Crescente

Non decrescente

Non decrescente

Non decrescente

Decrescente

Decrescente

Decrescente

Decrescente

Non crescente

Decrescente

Non crescente

Non crescente

Non crescente

 

 

Si osservi che con somma si intende la somma algebrica tra le due funzioni. In tutti i casi misti nulla si può dire a priori circa la monotonia della funzione somma.

 

 

Prodotto di una funzione monotona per una costante

 

 

f c\in\mathbb{R} c\cdot f

Crescente

c>0

Crescente

Crescente

c=0

Non decrescente e non crescente

Crescente

c<0

Decrescente

Non decrescente

c>0

Non decrescente

Non decrescente

c=0

Non decrescente e non crescente

Non decrescente

c<0

Non crescente

Decrescente

c>0

Decrescente

Decrescente

c=0

Non decrescente e non crescente

Decrescente

c<0

Crescente

Non crescente

c>0

Non crescente

Non crescente

c=0

Non decrescente e non crescente

Non crescente

c<0

Non decrescente

 

 

Prodotto di funzioni monotone

 

 

f g f\cdot g

Crescente e positiva

Crescente e positiva

Crescente e positiva

Crescente e negativa

Crescente e negativa

Decrescente e positiva

Decrescente e positiva

Decrescente e positiva

Decrescente e positiva

Decrescente e negativa

Decrescente e negativa

Crescente e positiva

 

 

Reciproco di una funzione monotona

 

Se f(x) è una funzione:

 

- crescente su A, a segno costante e non nulla, allora la funzione reciproca h(x)=\frac{1}{f(x)} è decrescente su A;

 

- decrescente su A, a segno costante e non nulla allora, la funzione reciproca h(x)=\frac{1}{f(x)} è crescente su A.

 

Riguardo al prodotto tra due funzioni monotone e al reciproco di una funzione monotona, tutti i casi non menzionati si riferiscono ad eventualità in cui nulla si può dire in generale a priori oppure in cui semplicemente una classificazione a priori non avrebbe particolare rilevanza.

 

Monotonia e iniettività / Monotonia e invertibilità

 

Una relazione particolarmente interessante per gli studenti che affrontano Analisi 1 riguarda il legame tra la monotonia e l'iniettività di una funzione, nonché quello tra la monotonia e l'invertibilità di una funzione. In questo frangente ci sono un po' di approfondimenti e controesempi che preferiamo trattare a parte per non appesantire troppo la lezione:

 

- funzione iniettiva ma non monotona | funzione monotona ma non iniettiva

 

- funzione invertibile ma non monotona | funzione monotona ma non invertibile

 

 


 

È tutto! Come al solito vi ricordiamo che qui su YM ci sono migliaia di risorse e di esercizi risolti, e che in caso di necessità potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

[L'argomento di questa lezione viene anche trattato in sintesi nella categoria studio di funzioni]

 

 

Adiós, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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Tags: definizione di monotonia e di funzione crescente e decrescente, ossia monotona. Che cos'è la monotonia e come si fa a stabilire se una funzione è crescente o decrescente.