Funzione crescente, funzione decrescente

Una funzione crescente su un intervallo è una funzione che assume valori crescenti al crescere dei valori di ascissa; al contrario, una funzione decrescente è una funzione che assume valori decrescenti al crescere dei valori di ascissa nell'intervallo.

 

Qui di seguito trattiamo un argomento di grande rilevanza nell'Analisi Matematica: le definizioni di funzione crescente e funzione decrescente, in una parola la monotonia. Si tratta di una proprietà macroscopica che caratterizza le funzioni e che ha evidenti riscontri nella rappresentazione grafica delle stesse. Per questo motivo proporremo diversi esempi che affiancheremo mano a mano alle varie definizioni.

 

La monotonia è una proprietà che esprime la crescita e/o la decrescita di una funzione o nessuna delle due cose, nel caso in cui la funzione si comporti come un "sali-scendi". Prima affrontiamo la questione dal punto di vista intuitivo, poi cerchiamo di inquadrare la faccenda in modo rigoroso con definizioni ed esempi.

 
 
 

Funzione crescente e decrescente da un punto di vista intuitivo

 

Per introdurre intuitivamente la nozione di funzione crescente e di funzione crescente consideriamo la funzione in figura

 

 

Grafico di una funzione crescente e decrescente

 

 

Non ne conosciamo l'espressione analitica, ossia l'espressione y=f(x), ma non è rilevante per i nostri scopi. Almeno per il momento... ;)

 

Anzitutto dal grafico di capisce che la funzione considerata non è iniettiva e nemmeno suriettiva. Vogliamo però considerare un'altra proprietà che caratterizzi il "ritratto" della funzione nella sua completezza.

 

Seguiamone l'andamento da sinistra a destra: la funzione cresce fino al primo picco, poi decresce fino al "fondo della valle", poi cresce, incontra lo spigolino e assume l'andamento di una retta, continuando a crescere.

 

Ora osserviamo i grafici delle seguenti tre funzioni

 

 

Monotonia delle funzioni

Esempi di funzioni monotone globalmente, i.e. su tutto il proprio dominio.

 

 

La prima è una retta e cresce sempre. La seconda funzione è strana - anche qui non conosciamo le espressioni analitiche y=f(x) - ma presenta anch'essa un andamento di crescita. La terza funzione invece decresce sempre.

 

Funzione crescente e funzione decrescente in termini rigorosi

 

In termini matematici si dice che una funzione è monotona se presenta sempre lo stesso andamento: cresce o decresce, e non l'una e l'altra cosa insieme. Se invece cresce su una porzione del dominio e decresce altrove, diciamo che la funzione considerata non è monotona. In sostanza una funzione è monotona se ha sempre lo stesso comportamento di crescita o decrescita.

 

Cerchiamo di esprimere questo fatto in Matematichese.

 

 

Definizione (monotonia, o monotonia globale)

 

Diciamo che una funzione f:Dom(f)\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ y=f(x) è monotona o monotona globalmente se soddisfa una tra le condizioni seguenti:

 

- per ogni x_1,x_2\in Dom(f) (appartenenti al dominio) tali che x_1\leq x_2 risulta che

 

f(x_{1})\leq f(x_{2})

 

- Per ogni x_1,x_2\in Dom(f) tali che x_1\leq x_2 risulta che

 

f(x_{1})\geq f(x_{2})

 

Se nessuna delle precedenti condizioni è soddisfatta, diciamo che la funzione non è monotona, o che non è globalmente monotona, o ancora che non cresce né decresce globalmente.

 

In questo modo abbiamo definito una proprietà che descrive il comportamento di una funzione su tutto il suo dominio. Possiamo essere più specifici?

 

Sì. Intanto notate che la nozione di monotonia è stata definita su tutto il dominio della funzione. In questo senso le tre funzioni della seconda figura sono monotone. In particolare, le prime due funzioni della seconda figura soddisfano la prima proprietà della definizione: se infatti consideriamo due qualsiasi punti

 

x_1,x_2\in Dom(f)\ \ \ \mbox{ con }x_1\leq x_2

 

cioè x_1 a sinistra di x_{2}, troviamo che l'ordinata corrispondente al primo punto, f(x_1), è minore dell'ordinata corrispondente al secondo punto, f(x_2).

 

La terza funzione della seconda figura soddisfa invece la seconda proprietà della definizione: se infatti prendiamo due qualsiasi punti

 

x_1,x_2\in Dom(f)\ \ \ \mbox{ con }x_1\leq x_2

 

cioè x_1 a sinistra di x_2, risulta che l'ordinata corrispondente al primo punto, f(x_1), è maggiore dell'ordinata corrispondente al secondo punto, f(x_2).

 

Consideriamo la funzione della prima figura (quella con il "saliscendi") in cui globalmente non viene soddisfatta né la prima né la seconda condizione della definizione. Tale funzione non è monotona!

 

Possiamo però definire una condizione meno restrittiva della monotonia globale: la monotonia locale. Diciamo per definizione che una funzione è monotona localmente, o monotona su un intervallo del dominio, se esiste un intervallo I\subseteq Dom(f) in cui la funzione è monotona.

 

In soldoni, per salvare capra e cavoli, si mantiene la definizione di monotonia ma si restringe l'intervallo su cui si può verificare. Globalmente vuol dire su tutto il dominio della funzione; localmente significa su un qualche intervallo del dominio. Diamo quindi la seguente definizione.

 

 

Definizione (monotonia locale)

 

Diciamo che una funzione f:Dom(f)\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R}, y=f(x) è monotona localmente nell'intervallo I\in Dom(f) se soddisfa una tra le condizioni seguenti:

 

- dati x_1,x_2\in I tali che x_1\leq x_2 risulta

 

f(x_1)\leq f(x_2)

 

- dati x_1,x_2\in I tali che x_1\leq x_2 risulta che

 

f(x_{1})\geq f(x_{2})

 

Nel caso della funzione della prima figura gli intervalli di monotonia locale si trovano in un nanosecondo. Tenete conto che un intervallo di monotonia è un intervallo dell'asse delle ascisse!

 

 

Intervalli di crescita e decrescita

Funzione localmente monotona ma non globalmente.

 

 

Osserviamo poi che una funzione monotona (cioè globalmente, su tutto il proprio dominio - si abbrevia dicendo solo monotona) è chiaramente monotona localmente comunque si scelga un intervallo del dominio. È abbastanza evidente!

 

 


 

In questa lezione abbiamo introdotto una proprietà che permette di descrivere la crescita e la decrescita di una funzione qualsiasi. Nella lezione successiva presentiamo una ulteriore caratterizzazione della monotonia, molto più specifica, introducendo i concetti di crescita, non-crescita, decrescita, non-decrescita. Essi ci permetteranno di descrivere in maniera rigorosa e completa l'andamento di una qualsiasi.

 

Vi raccomandiamo di leggerla prima di buttarvi a capofitto sugli esercizi: monotonia di una funzione.

 

[L'argomento di questa lezione viene anche trattato in sintesi nella categoria di articoli sullo studio di funzioni]

 

 

Zai jian, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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