Funzione periodica

Una funzione periodica, in accordo con il significato dell'aggettivo periodico, è una funzione che ripete il comportamento che presenta su un certo intervallo periodicamente su tutto il proprio dominio.

 

In questa lezione vedremo nel dettaglio la definizione di funzione periodica e di periodo di una funzione, soffermandoci ad elencare le proprietà che la caratterizzano.

 

Intuitivamente si può pensare a una funzione periodica come a una funzione che si ripete identica a intervalli di una certa lunghezza. Vediamo qualche ad esempio prima di passare alla definizione rigorosa.

 
 
 

Esempi grafici di funzioni periodiche

 

Esempio di funzione periodica

 

Come si può vedere dal grafico, la spezzata si ripete su intervalli di uguale lunghezza, formando ogni volta due lati di un triangolo isoscele.

 

Un altro esempio di funzione periodica è il seguente.

 

 

Grafico di una funzione periodica

 

Restringendo l'intervallo su cui la funzione si ripete otteniamo il grafico seguente

 

Periodo di una funzione dimezzato

 

Definizione di funzione periodica

 

Ora che abbiamo un'idea intuitiva di quale sia la proprietà che caratterizza una funzione periodica, proviamo a dare una definizione più rigorosa.

 

Diremo che f:D\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R}, con D=Dom(f) un insieme illimitato sia inferiormente che superiormente, è una funzione periodica se esiste un numero reale T>0, che chiameremo periodo, tale che per ogni x\in D risulti

 

f(x+T)=f(x)

 

Consideriamo l'ultimo degli esempi riportati sopra: evidenziamo il periodo, cioè la lunghezza T sull'asse x dopo la quale la funzione inizia a ripetersi. Fissato un punto P nell'intervallo [0,T] abbiamo segnato con un punto rosso il valore f(P), dopodiché abbiamo evidenziato

 

f(P-3T)\ ;\ f(P-2T)\ ;\ f(P-T)\ ;\ f(P)\ ;\ f(P+T)\ ;\ f(P+2T)

 

 

Rappresentazione grafica del periodo di una funzione

 

Esempi analitici di funzioni periodiche


I) Consideriamo la funzione seno

 

f(x)=\sin(x)

 

che è una funzione periodica di periodo T=2\pi. Per vederlo poniamo

 

\sin(x)=\sin(x+T)

 

e, grazie alla formula di sommazione degli archi per il seno

 

\sin(x+T)=\sin(x)\cos(T)+\cos(x)\sin(T)

 

Di conseguenza abbiamo

 

\sin(x)=\sin(x)\cos(T)+\cos(x)\sin(T)

 

Per verificare l'uguaglianza deve essere

 

\cos(T)=1\mbox{ e }\sin(T)=0

 

il che si verifica nel caso banale in cui T=0 oppure nel caso T=2\pi. La prima soluzione va evidentemente scartata, per cui concludiamo che il periodo della funzione considerata è T=2\pi.

 

 

II) Consideriamo la funzione mantissa

 

\mbox{mant}(x)=x-\lfloor x\rfloor

 

dove [x] denota la parte intera di x, cioè la funzione che associa ad x il più grande intero minore o uguale a x. Ad esempio [1,0256]=1\mbox{ e }[8,76]=8.

 

La funzione \mbox{mant}(x) è periodica di periodo T=1, infatti se proviamo a risolvere

 

\mbox{mant}(x)=\mbox{mant}(x+T)

 

Per come è definita la funzione dobbiamo avere che


x-\lfloor x\rfloor=x+T-\lfloor x+T\rfloor

 

 

Le x si elidono, e cambiando i segni si ottiene


\lfloor x\rfloor +T=\lfloor x+T\rfloor

 

Questa uguaglianza è verificata se e solo se T è intero e vale per qualunque intero, dunque come periodo scegliamo il più piccolo tra questi, cioè T=1.

 

 

Funzione mantissa

 

Osservazione sul dominio di una funzione periodica

 

C'è un aspetto delicato che potrebbe essere passato sotto traccia nella definizione di funzione periodica. Se ci avete fatto caso abbiamo richiesto che il dominio sia un insieme illimitato sia inferiormente che superiormente. Il motivo è piuttosto intuitivo: se il dominio fosse limitato inferiormente e/o superiormente la definizione non potrebbe essere consistente.

 

Se consideriamo un punto x\in Dom(f) nel dominio di una funzione periodica con periodo T, dobbiamo poter considerare qualsiasi punto traslato di una lunghezza pari a un multiplo intero di T in modo da poter valutare la funzione in tutti i punti traslati:

 

\\ x\ \ \ \to\ \ \ x+kT\ \mbox{ con }k\in\mathbb{Z}\\ \\ f(x)\ \ \ \to\ \ \ f(x+kT)\ \mbox{ con }k\in\mathbb{Z}

 

I lettori più accorti si staranno domandando: perché nella definizione non abbiamo semplicemente scritto f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\ ?

 

Perché nulla vieta che alcuni punti siano periodicamente esclusi dal dominio: si pensi ad esempio al caso della funzione tangente, che è una funzione periodica di periodo T=\pi e che non è definita nei punti della forma x=\frac{\pi}{2}+k\pi al variare di k nell'insieme dei numeri relativi.

 

 


 

Come chiosa finale, segnaliamo ai lettori universitari che sono in fase di ripasso un utilissimo approfondimento sulle operazioni tra funzioni periodiche, in cui spieghiamo sotto quali condizioni la somma, il prodotto e il quoziente di funzioni periodiche sono ancora funzioni periodiche (e come determinarne il periodo).

 

Con questo abbiamo finito. Se volete potete mettervi alla prova con la scheda di esercizi correlati e con tutti gli altri esercizi svolti sulle funzioni periodiche presenti su YM, che potete reperire mediante la barra di ricerca interna. Inoltre potete anche ricorrere al tool per calcolare il periodo di una funzione online. ;)

 

 

Namasté, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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