Significato geometrico di funzioni pari e dispari

Nella lezione sulle funzioni pari e dispari abbiamo definito i concetti di funzione pari e di funzione dispari. Queste due proprietà analitiche hanno anche un'interpretazione geometrica e ciascuna di esse si traduce in una precisa condizione di simmetria sul grafico.

 

In questa lezione vedremo qual è il significato grafico di parità e disparità delle funzioni qualora una tra le due condizioni sussista, e spiegheremo come dedurre la condizione geometrica a partire dalla condizione algebrica, corroborando la spiegazione con alcuni esempi.

 

Interpretazione geometrica di parità e disparità delle funzioni

 

Partiamo subito dal significato grafico. Data una funzione f:Dom(f)\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R}, in riferimento alla rappresentazione della funzione nel piano cartesiano risulta che:

 

- una funzione pari è simmetrica rispetto all'asse y;

 

- una funzione dispari è simmetrica rispetto all'origine degli assi cartesiani.

 

Ragioniamo per un istante. Sappiamo che per poter parlare di parità/disparità è necessario che il dominio Dom(f), inteso come insieme reale, sia simmetrico rispetto a x=0. Sotto tale ipotesi ha senso indagare e stabilire se la funzione assegnata è pari o dispari (o né pari né dispari).

 

Per la condizione di parità deve risultare

 

f(-x)=f(x)\ \ \ \forall x\in Dom(f)

 

ciò significa che, comunque si consideri x\in Dom(f), valutando la funzione f nel punto (-x) otteniamo il medesimo valore f(x). Osservando che (-x) è il simmetrico di x rispetto all'origine, si conclude che il grafico della funzione è simmetrico rispetto all'asse delle ordinate.

 

Se consideriamo la condizione di disparità

 

f(-x)=-f(x)\ \ \ \forall x\in Dom(f)

 

concludiamo con un ragionamento analogo che valutando la funzione f nel punto (-x) otteniamo il valore opposto -f(x) rispetto al valore f(x) che la funzione assume in x. Ne consegue che il grafico della funzione è necessariamente simmetrico rispetto all'origine degli assi.

 

Esempi sul significato geometrico di parità e disparità

 

Per capire ciò che abbiamo appena scritto possiamo fare riferimento agli esempi grafici. A voi l'onere e l'onore di applicare le indicazioni della precedente lezione e di verificare algebricamente, di volta in volta, le definizioni. ;)

 

 

I) Consideriamo la funzione polinomiale

 

y=x^4+x^2

 

La funzione è pari e ha grafico

 

 

Una funzione pari è simmetrica rispetto all'asse delle y

 

 

che è simmetrico rispetto all'asse delle y.

 

 

II) La funzione

 

y=x^7-x^5+x^3-x

 

è dispari, con grafico simmetrico rispetto all'origine

 

 

Una funzione pari è simmetrica rispetto all'origine degli assi

 

 

III) La funzione

 

y=x^7+x^4+x^3+x^2+x

 

non è né pari né dispari, infatti nel grafico non vediamo simmetrie rispetto all'asse y, o rispetto all'origine.

 

 

Esempio di funzione né pari né dispari

 

 

IV) La funzione coseno

 

f(x)=\cos(x)

 

è pari, il suo grafico è

 

 

Esempio di funzione pari

 

 

e, ancora una volta, è simmetrico rispetto all'asse delle y.



V) La funzione seno

 

f(x)=\sin(x)

 

è dispari e il grafico risulta simmetrico rispetto all'origine

 

 

Esempio di funzione dispari

 

 


 

Nota bene: se volete giocare un po' e fare qualche test, potete usare i nostri tools per:

 

disegnare il grafico di funzioni online;

 

- controllare parità e disparità online.

 

Se qualcosa non fosse chiaro vi suggeriamo di fare un giretto qui su YM. Abbiamo tantissimi esercizi interamente risolti e spiegati, non dovete fare altro che usare la bassa di ricerca interna. ;)

 

[L'argomento di questa lezione viene anche trattato in sintesi nella categoria studio di funzioni]

 

 

Namasté, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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