Segno di una funzione

Dopo aver studiato e digerito le prime nozioni preliminari correlate alla definizione di funzione proseguiamo con l'analisi delle funzioni reali di variabile reale e introduciamo una caratteristica che le contraddistingue macroscopicamente: il segno di una funzione.

Come scoprirete tra un istante la nozione di segno delle funzioni reali di variabile reale è estremamente semplice; come avrete modo di scoprire nel prosieguo degli studi, essa è un vero e proprio caposaldo analitico perché è uno dei passaggi chiave dello studio di funzione.

Definizione di segno di una funzione

Consideriamo una funzione , dove ne denota il dominio, e sia la sua espressione analitica. Con l'espressione segno di una funzione si intende la panoramica di informazioni relative al segno dei valori assunti dalla funzione.

Più precisamente, sappiamo che una funzione reale di variabile reale associa ad ogni punto del dominio un valore reale . In riferimento alla rappresentazione della funzione nel piano cartesiano possiamo delineare un grafico di punti della forma

I valori sono numeri reali, pertanto ciascuno di essi è caratterizzato da un segno: negativo, nullo o positivo. Osservando l'immagine della funzione nel suo complesso, vale a dire l'insieme dei valori assunti dalla funzione sul proprio dominio, ci saranno:

- alcuni insiemi del dominio su cui la funzione assume valori negativi;

- alcuni insiemi del dominio su cui la funzione vale zero;

- alcuni insiemi del dominio su cui la funzione assume valori positivi;

Determinare il segno della funzione significa quindi individuare i sottoinsiemi del dominio su cui la funzione assume valori negativi, nulli o positivi. In pratica si tratta di un'analisi delle "zone" del dominio che ci permette di stabilire velocemente dove la funzione assume valori negativi (dove è negativa - negatività della funzione), dove assume valori nulli (dove si annulla - nullità della funzione) e dove assume valori positivi (dove è positiva - positività della funzione).

Naturalmente i sottoinsiemi del dominio cui corrisponde un determinato segno della funzione potrebbero essere insiemi vuoti, seppur non tutti contemporaneamente vuoti.

Come potete intuire sin da subito le informazioni relative al segno di una funzione possono essere preziosissime sia in termini di analisi grafica, sia per gli sviluppi puramente teorici dell'Analisi Matematica.

Come studiare il segno di una funzione

La buona notizia è che lo studio del segno delle funzioni è veramente semplice in termini concettuali. Sapete risolvere le disequazioni? Se sì, siete a cavallo; se no, l'Analisi Matematica vi sta concedendo un'ottima opportunità per colmare le vostre lacune. ;)

Data una funzione reale di variabile reale definita da è possibile studiarne il segno ponendone l'espressione analitica maggiore o uguale a zero. In sostanza si tratta di risolvere la disequazione

Così facendo saremo in grado di determinare l'insieme delle soluzioni, che equivarrà al sottoinsieme del dominio su cui la funzione assume valori positivi o nulli (in gergo, i valori non negativi). Da qui ricavare il sottoinsieme dei punti in cui la funzione si annulla è una bazzecola; di contro, ci basterà considerare l'insieme complementare dell'insieme delle soluzioni nel dominio per individuare il sottoinsieme su cui la funzione è negativa.

Esempi sul segno di funzioni

I) Segno di una funzione polinomiale, dove l'espressione analitica della funzione consiste in un polinomio.

Consideriamo ad esempio la funzione

e risolviamo la disequazione di secondo grado , al fine di determinare il segno della funzione:

Possiamo risolvere l'equazione di secondo grado associata alla disequazione ottenendo le due soluzioni

Le soluzioni della disequazione sono date dai valori esterni alle due soluzioni distinte dell'equazione associata:

Ne consegue che la funzione assume valori positivi per e per . Essa si annulla per e assume valori negativi sull'intervallo .

Esempio grafico sul segno di una funzione di secondo grado

II) Segno di una funzione razionale fratta, dove espressioni contenenti compaiono al denominatore.

Ad esempio

Per prima cosa determiniamo le condizioni di esistenza: basta porre il denominatore diverso da zero, in accordo con le regole per determinare il dominio delle funzioni

Siamo pronti per passare allo studio del segno del numeratore (N) e del denominatore (D), in quanto si tratta di risolvere una disequazione fratta:

Studiamo separatamente il segno dei due fattori che compongono il numeratore chiamandoli , dunque

x-1 ≥ 0 ossia x ≥ 1 ; x^2+x+1 ≥ 0

Quest'ultima ha discriminante negativo e coefficiente di positivo, e dunque è sempre positiva.

Per quanto riguarda il segno del denominatore, abbiamo

Tabella per la risoluzione di una disequazione fratta

Dunque la soluzione è .

Esempio sul segno di una funzione fratta

Attenzione: non fatevi ingannare dal grafico! La funzione non è definita in (chi sta leggendo per ripassare saprà sicuramente che quest'ultimo è un punto di discontinuità eliminabile).

III) Segno di una funzione irrazionale, in cui l'incognita compare sotto una radice.

Ad esempio

Le condizioni di esistenza sono individuate da

che significa

Possiamo procedere con il calcolo del segno della funzione

Questa è una disequazione irrazionale. Avendo scritto le condizioni di esistenza possiamo elevare al quadrato, ma in questo caso la disequazione che otteniamo è esattamente quella che abbiamo risolto per le condizioni di esistenza, dunque non è necessario fare altro.

Ne ricaviamo che la funzione è non negativa su tutto il proprio dominio e si annulla nei punti che annullano il radicando. Non a caso una radice quadrata è per definizione non negativa. ;)

Segno di una funzione irrazionale

IV) Segno di una funzione esponenziale, in cui l'incognita compare come esponente.

Consideriamo come esempio

Con una funzione di questo tipo non abbiamo problemi di condizioni di esistenza, dunque possiamo risolvere direttamente la disequazione esponenziale

che scriviamo come

che ha soluzioni per .

Segno di una funzione esponenziale

V) Segno di una funzione logaritmica, in cui la x compare nell'espressione della funzione come argomento di un logaritmo.

Ad esempio

Le condizioni di esistenza ci obbligano a porre l'argomento dei logaritmi maggiore di zero, otteniamo che

Dunque affinché entrambe le condizioni siano verificate dobbiamo assumere come condizione di esistenza

Procediamo con la risoluzione della disequazione logaritmica:

e per una nota proprietà dei logaritmi

ln[x(x+1)] ≥ ln(1) ; x(x+1) ≥ 1 ; x^2+x-1 ≥ 0 ; x_(1,2) = (-1±√(5))/(2)

Dunque la funzione è positiva per .

Esempio sul segno di una funzione logaritmica

VI) Segno di una funzione trigonometrica (funzione espressa tramite somme e prodotti di ).

Consideriamo a titolo esemplificativo

Qui non dobbiamo imporre alcuna condizione di esistenza per la funzione, dunque il dominio è tutto . Studiamone il segno ponendo

ossia

Facendo finta di conoscere vita morte e miracoli della funzione seno, la disequazione goniometrica ci dà come risultato:

Segno di una funzione trigonometrica

Come al solito, se ci fosse qualcosa di poco chiaro o se doveste avere qualsiasi dubbio, ricordate che su YM abbiamo spiegato come risolvere una valanga di esercizi, e potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca. E se volete esercitarvi un po', potete mettervi alla prova con gli esercizi sulle disequazioni. ;)

[L'argomento di questa lezione viene anche trattato in sintesi nella categoria di lezioni sullo studio di funzioni]

Sayonara, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

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Tags: come studiare il segno di una funzione e che cos'è il segno delle funzioni, metodo di studio e interpretazione grafica e geometrica - come studiare la positività di una funzione e la negatività di una funzione.

Ultima modifica: 19/04/2023