Campo di esistenza di una funzione

Il campo di esistenza di una funzione è l'insieme su cui la funzione è definita, o equivalentemente l'insieme di partenza su cui è possibile valutare punto per punto la funzione.

 

State leggendo la seconda parte della lezione sul metodo generale per determinare il campo di esistenza delle funzioni reali di variabile reale, detto anche dominio o insieme di definizione, a seconda dei gusti. Se siete finiti qui per caso, vi suggeriamo di leggere la prima parte dell'articolo: cos'è e come si trova il dominio di una funzione?

 

Occupiamoci di capire nella pratica come si fa a trovare l'insieme di definizione di una funzione qualsiasi.

 
 
 

Determinare il campo di esistenza di una funzione qualsiasi

 

Nella prima parte della lezione abbiamo visto le regole generali che individuano le condizioni di esistenza delle varie funzioni. Tradotto: come trovare il più grande sottoinsieme di \mathbb{R} su cui una funzione y=f(x) è definita. Nella stragrande maggioranza dei casi avremo tra le mani funzioni che presentano diverse condizioni da imporre contemporaneamente.

 

Un esercizio tipo potrebbe essere: determinare il dominio della funzione

 

y=\sqrt{\frac{\ln(x+2)}{x}}

 

Come dobbiamo comportarci? Innanzitutto osserviamo l'espressione analitica della funzione e ci accorgiamo che ci sono tre personaggi cui dobbiamo prestare attenzione:

 

- radice quadrata;

 

- logaritmo;

 

- denominatore

 

Trovare il dominio di una funzione è molto semplice, se sappiamo come comportarci. ;)

 

Primo passaggio: guardiamo la funzione e cerchiamo ognuno dei personaggi problematici; denominatore, logaritmo, radice con indice pari, esponenziale a base variabile, arcoseno oppure arcocoseno.


Appena troviamo una parte dell'espressione analitica della funzione che richiede condizioni specifiche - quelle elencate nella prima parte della lezione - sappiamo automaticamente qual è la condizione che dobbiamo imporre.

 

Nell'esempio specifico, dovremo chiedere che:

 

- l'argomento della radice sia maggiore o uguale a zero

 

\frac{\ln(x+2)}{x}\geq 0

 

- l'argomento del logaritmo sia maggiore strettamente di zero

 

x+2>0

 

- il denominatore della frazione sia diverso da zero

 

x\neq 0

 

 

Secondo passaggio: appena troviamo un personaggio problematico, scriviamo la condizione corrispondente. Non è nemmeno importante l'ordine con cui le scriviamo, basta scriverle tutte.

 

Che facciamo con le condizioni che abbiamo imposto? Ragioniamo: le condizioni devono valere tutte insieme appassionatamente. In Italiano "valere tutte insieme" si può esprimere dicendo devono valere "contemporaneamente". In Matematica contemporaneamente significa intersezione: nella pratica intersezione vuol dire sistema.

 

 

Terzo passaggio: mettiamo a sistema le condizioni scritte in precedenza.


In riferimento all'esempio scriveremo

 

\begin{cases}\frac{\ln(x+2)}{x}\geq 0\\ x+2>0\\ x\neq 0\end{cases}

 

Osserviamo che la terza condizione qui è superflua, perché è già contenuta implicitamente nella prima disequazione. Per la seconda vale un discorso analogo. Ad ogni modo scriverle come condizioni a parte non è sbagliato, e se siete apprendisti nel calcolo dei domini fareste meglio a scrivere tutte le condizioni che trovate. Cercare di bruciare le tappe quando non si ha abbastanza esperienza è poco furbo: meglio scrivere qualcosa di superfluo che non comprometterà il risultato (richiede quattro secondi) piuttosto che tralasciare qualche condizione, risparmiando i quattro secondi ma rischiando di compromettere la riuscita dell'esercizio. 

 

 

Quarto passaggio: risolvere il sistema.


- Consideriamo la prima disequazione o disuguaglianza che sia e la risolviamo a parte. Abbiamo così il risultato della prima condizione.

 

- Consideriamo la seconda disequazione o disuguaglianza che sia e la risolviamo a parte. Abbiamo così il risultato della seconda condizione.

 

- Procediamo così con tutte le N disequazioni o disuguaglianze che compaiono a sistema. Abbiamo N risultati, o più precisamente N insiemi di soluzioni.

 

- Ora rimettiamo a sistema gli N risultati.

 

- Tracciamo un grafico con l'asse reale delle x.

 

- Al di sotto di essa indichiamo su N righe parallele all'asse delle x i risultati delle N condizioni che abbiamo ricavato.

 

- Indichiamo i risultati delle disequazioni con semirette o segmenti a seconda dei casi. Prestiamo attenzione a escludere o includere gli estremi di questi segmenti/semirette (convenzione: \bullet per includere, \times per escludere). Qui non ci vogliono i tratteggi: o linea piena o niente.

 

- Per indicare i risultati di ciascuna disuguaglianza tracceremo una linea parallela all'asse x e cancelleremo con una \times i vari valori da escludere.

 

- Fine! Guardando il grafico in verticale le zone in cui compaiono contemporaneamente i segmenti di tutte le condizioni rappresentano l'insieme delle soluzioni del sistema. In altri termini, essi individuano il campo di esistenza della funzione.

 

Un esempio di applicazione delle regole per il dominio

 

Mettiamo in pratica i passaggi nell'esempio di riferimento

 

y=\sqrt{\frac{\ln(x+2)}{x}}

 

Abbiamo già individuato le condizioni da imporre, per cui possiamo metterle sin da subito a sistema

 

\begin{cases}\frac{\ln(x+2)}{x}\geq 0\\ x+2>0\\ x\neq 0\end{cases}

 

 

I CONDIZIONE RISOLTA A PARTE

 

Risolviamo la prima condizione, che corrisponde ad una disequazione fratta

 

\frac{\ln(x+2)}{x}\geq 0

 

Studiamo separatamente il segno di numeratore e denominatore. Nel caso del numeratore dobbiamo risolvere una disequazione logaritmica

 

\\ \mbox{Numeratore}\geq 0\ :\ \ln(x+2)\geq 0\ \to\ (x+2)\geq 1\ \to\ x\geq -1\\ \\ \mbox{Denominatore}>0\ :\ x>0

 

Ora riflettiamo sul fatto che la disequazione che stiamo considerando ammette soluzioni a patto che il logaritmo abbia argomento maggiore di zero. In questo caso x+2>0, vale a dire x>-2. È la condizione di esistenza delle soluzioni della disequazione.

 

Abbiamo quindi come grafico di disequazione (qui i tratteggi sono necessari!)

 

 

Soluzioni della prima condizione per il dominio

 

 

Soluzioni della I condizione: -2<x\leq -1 \vee x>0

 

 

II CONDIZIONE RISOLTA A PARTE

 

Qui è facile e oltretutto la condizione è già inclusa nella disequazione della I condizione. Facciamo finta di essercene dimenticati e riscriviamola: abbiamo x+2>0, dunque x>-2.

 

Soluzioni della II condizione: x>-2

 

 

III CONDIZIONE RISOLTA A PARTE

 

Non facile, di più. x\neq 0. Osserviamo che anche tale condizione è inclusa nella I condizione.

 

Soluzioni della III condizione: x\neq 0

 

 

SOLUZIONI DEL SISTEMA

 

Tracciamo il grafico di sistema

 

 

Grafico del sistema per le condizioni del dominio

 

 

e scopriamo così che il dominio della funzione considerata è:

 

Dom(f)=\{x\in\mathbb{R}\ :\ -2<x\leq -1\ \vee\ x>0\}

 

o equivalentemente, con le notazioni degli intervalli

 

Dom(f)=(-2,-1]\cup(0,+\infty)

 

 


 

Abbiamo finito. Il metodo descritto funziona per ogni funzione, potete provare voi stessi con le schede di esercizi correlati. E se gli esercizi non bastassero, in caso di dubbi potete anche usare il tool per calcolare il dominio online ed effettuare un paio di ricerche qui su YM, di esercizi sul dominio ne abbiamo risolti e spiegati a bizzeffe... ;)

 

 

Auf widersehen, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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