Dominio di una funzione

Il dominio di una funzione è l'insieme su cui è definita la funzione, ossia l'insieme di partenza sui cui elementi ha senso valutare la funzione. Nella pratica è possibile determinare il dominio di una qualsiasi funzione reale di variabile reale mediante una serie di semplici regole.

L'argomento di cui ci occupiamo in questa lezione è un must nello studio dell'Analisi Matematica: vogliamo proporre una guida completa sul dominio di funzioni reali di variabile reale, e mostrare quali sono le regole che permettono di determinare il campo di esistenza di una qualsiasi funzione.

(L'argomento di questa lezione viene anche trattato in sintesi nella guida sullo studio di funzione).

Considerazioni preliminari sul dominio

Nelle lezioni sulla definizione di funzione e sulla rappresentazione di una funzione reale a valori reali nel piano cartesiano abbiamo accennato al concetto di dominio di una funzione

$f:A\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ \ \ f:x\to y$

detto anche insieme di definizione o, più impropriamente, campo di esistenza della funzione.

Il dominio di una funzione si indica con e viene talvolta detto dominio naturale della funzione. Per definizione esso è il più grande sottoinsieme di $\mathbb{R}$ , (al più tutto $\mathbb{R})$ , in cui ha senso valutare la funzione .

In riferimento alla scrittura precedente il dominio della funzione è semplicemente l'insieme di partenza

Un momento. Abbiamo scritto in cui ha senso valutare la funzione. Cosa significa?

Dire ha senso valutare la funzione o è definita la funzione vuol dire che, considerando i valori di appartenenti a e sostituendo tali valori nell'espressione analitica di , è possibile fare i calcoli.

In altre parole non capitano "cose strane": le operazioni algebriche che ne risultano devono essere ben definite e devono fornire un determinato valore numerico, o meglio un valore reale.

In altre parole ancora: $x\in Dom(f)$ se è possibile effettuare la valutazione , trovando così il numero che la funzione restituisce per la preimmagine .

Esempi sul dominio di funzioni

1) Consideriamo la funzione polinomiale

$f(x)=\frac{1}{9}x^3 +x^2-3x+9$

e consideriamo il punto . Sostituendo tale valore nell'espressione di e facendo i calcoli troviamo

La funzione è quindi definita in e tale numero reale appartiene a .

2) Consideriamo la funzione

$f(x)=\frac{x^2+2}{x+5}$

Preso un qualsiasi numero reale ad eccezione di -5 $(\forall x\neq -5)$ possiamo valutare la funzione nel punto : nessun problema.

Se però proviamo a calcolare , troviamo che l'espressione della funzione restituisce a denominatore . Da che mondo è mondo non si può dividere per zero, quindi non appartiene al dominio della funzione.

Di conseguenza il dominio della funzione è tutto l'asse reale escluso il punto . In simboli

$Dom(f)=\{x\in\mathbb{R}\ :\ x<-5\ \vee\ x>-5\}=(-\infty,-5)\cup(-5,+\infty)$

Che cosa indica l'ultima scrittura? Un'unione di intervalli reali, e nulla più. Se avete dubbi sulla notazione degli intervalli non preoccupatevene per il momento, e ritagliatevi 5 minuti di tempo per leggere la lezione dell'ultimo link.

3) Consideriamo la funzione

$f(x)=e^{x}-3$

scegliamo un qualsiasi valore reale e sostituiamolo nell'espressione, valutando la funzione in tale punto. Nessun problema: il dominio della funzione è tutto l'asse reale

$Dom(f)=\mathbb{R}=(-\infty,+\infty)$

4) Ora consideriamo

$f(x)=\ln(x)$

La funzione logaritmica per definizione deve avere argomento positivo. Non c'è niente da capire: il logaritmo naturale è fatto così, lo stesso vale per i logaritmi con base qualsiasi $\log_{a}(x)$ (attenzione al fatto che per definizione anche la base a del logaritmo deve essere positiva e diversa da 1).

La funzione considerata ha dunque dominio

$Dom(f)=\{x\in\mathbb{R}\mbox{ tali che }x>0\}=(0,+\infty)$

cioè l'insieme dei numeri reali positivi che possiamo anche denotare con $\mathbb{R}^+$ (simboli matematici).

5) Ragioniamo sulla funzione

$f(x)=\sqrt{x+2}$

Qual è la regola per il calcolo della radice quadrata di un numero? Che l'argomento della radice sia non negativo, ossia maggiore o uguale a zero. Possiamo allora valutare tale funzione in qualsiasi che soddisfi $x+2\geq 0$ , e risolvendo questa semplice disequazione si trova che

$Dom(f)=\{x\in\mathbb{R}\mbox{ tali che }x\geq-2\}=[-2,+\infty)$

ossia il dominio di è dato da tutte le che sono maggiori o uguali a -2.

6) Data la funzione

$f(x)=\sqrt[3]{x+2}$

non dobbiamo imporre alcuna condizione perché, trattandosi di una radice cubica, può essere valutata sia per numeri positivi che per numeri negativi.

$Dom(f)=\mathbb{R}$

7) Consideriamo la funzione

$f(x)=\tan(x)$

La funzione tangente per definizione è data da

$\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$

Non potendo dividere per zero dobbiamo richiedere $\cos(x)\neq 0$ , condizione che si traduce in

$x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi\ \ \ \mbox{ con }k\in\mathbb{Z}$

Analogo ragionamento vale per la funzione cotangente

$f(x)=\cot(x)$

definita da

$\cot(x)=\frac{\cos(x)}{\sin(x)}$

dunque imponiamo $\sin(x)\neq 0$ , che fornisce le soluzioni

$x\neq k\pi\ \ \ \mbox{ con }k\in\mathbb{Z}$

Come trovare il dominio di una funzione

Fino a qui nulla di così complicato. Ora però vogliamo delle regole generali che ci permettano di calcolare il dominio di una qualsiasi funzione.

Prima di procedere lo studente zelante potrebbe sollevare una semplice obiezione: se il dominio di una funzione è l'insieme di partenza, perché preoccuparsi di determinarlo?

Risposta: perché nella maggioranza dei casi disporremo solamente dell'espressione analitica della funzione priva della specificazione relativa al dominio. Lo scopo del gioco, qui e nel 99% degli esercizi di Analisi Matematica, richiede di saper calcolare il dominio disponendo unicamente dell'espressione analitica della funzione.

Veniamo a noi. Ricordate le equazioni fratte, o le equazioni logaritmiche, o ancora le disequazioni irrazionali? Se sì saprete sicuramente che per risolverle è necessario determinare le condizioni di esistenza prima di iniziare a smanettare con i calcoli. Qui funziona più o meno allo stesso modo. Prima di fare qualsiasi cosa con una funzione, dobbiamo stabilire qual è il più grande sottoinsieme $Dom(f)\subseteq\mathbb{R}$ su cui essa è definita.

Le uniche condizioni sono le seguenti, e non ce n'è nessun'altra.

Ogni volta che c'è una frazione poniamo il denominatore diverso da zero.

Se contiene

$\frac{\mbox{numeratore}}{\mbox{denominatore}}$

poniamo

$\mbox{denominatore}\neq 0$

Ogni volta che c'è un logaritmo poniamo l'argomento maggiore di zero e la base maggiore di zero e diversa da 1.

Se contiene

$\log_{base}(\mbox{argomento})$

poniamo

$\begin{cases}\mbox{argomento}>0\\ \mbox{base}>0\\ \mbox{base}\neq 1\end{cases}$

Ogni volta che c'è una radice con indice pari poniamo l'argomento maggiore-uguale a zero.

Se contiene

$\sqrt[n]{\mbox{argomento}}\ \ \ \mbox{ con }n\mbox{ pari}$

poniamo

$\mbox{argomento}\geq 0$

Ogni volta che c'è un arcoseno o un arcocoseno poniamo l'argomento compreso tra -1 e 1, estremi inclusi.

Se contiene

$\mbox{\arcsin}(\mbox{argomento})$

oppure contiene

$\mbox{\arccos}(\mbox{argomento})$

poniamo

$-1\leq \mbox{argomento}\leq +1$

Occhio che tale condizione, essendo una doppia disequazione, racchiude due disequazioni che devono valere contemporaneamente:

$\begin{cases}\mbox{argomento}\geq -1\\ \mbox{argomento}\leq +1\end{cases}$

Ogni volta che c'è un'arcosecante o un'arcocosecante poniamo l'argomento minore-uguale a -1 o maggiore-uguale a 1

Se contiene

$\mbox{arcsec}(\mbox{argomento})$

oppure

$\mbox{arccsc}(\mbox{argomento})$

poniamo

$\mbox{argomento}\leq -1\ \vee\ \mbox{argomento}\geq +1$

Ogni volta che c'è una esponenziale con base variabile poniamo la base maggiore di zero.

Ossia: se la funzione è della forma

$y=[f(x)]^{g(x)}$

imporremo

Se non compare nessuno dei personaggi appena citati, il dominio è tutto $\mathbb{R}$ .

Attenzione al dominio con tangente, cotangente, secante o cosecante!

Osserviamo come particolare esempio che la funzione tangente, la funzione cotangente, la funzione secante e la funzione cosecante rientrano per loro stessa definizione nella condizione delle frazioni.

Il dominio prima di tutto...

Le regole appena elencate dettano specifiche condizioni di esistenza da imporre in presenza di determinati termini. Oltre ad esse c'è una ulteriore, importante regola da prendere in considerazione: il calcolo del dominio viene prima di tutto.

Con ciò intendiamo che, disponendo dell'espressione analitica di una funzione, la prima cosa da fare sempre e comunque è osservarne l'espressione e imporre le relative condizioni di esistenza. La prima in assoluto: non possiamo nemmeno effettuare eventuali semplificazioni algebriche, perché così facendo rischieremmo di semplificare eventuali termini e le relative condizioni di esistenza.

Dunque, in linea generale:

1) determineremo innanzitutto il dominio della funzione;

2) procederemo ad eventuali semplificazioni algebriche, tenendo a mente che l'espressione semplificata è definita solamente sul dominio determinato al punto 1).

Esempio

Le funzioni

$f(x)=(\sqrt{x})^2\ \ \ ;\ \ \ g(x)=\frac{x}{x}$

hanno domini rispettivamente dati da

$\\ Dom(f)=[0,+\infty)\\ \\ Dom(g)=(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$

e su tali domini possono essere riscritte nella forma

$f(x)=x\ \ \ ;\ \ \ g(x)=1$

Non c'è niente altro che dobbiamo fare. Si pone però un'altra importante questione, vale a dire: se in una stessa funzione dovessimo avere più di una condizione da imporre, ad esempio una radice e una frazione, cosa dovremmo fare?

Nella seconda parte della lezione sulle regole per determinare l'insieme di definizione spieghiamo il procedimento da seguire, farcito con diversi esempi. ;)

Nel frattempo voleste esercitarvi un po', sappiate che qui su YM avete a disposizione migliaia e migliaia di esercizi svolti: potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca. Tra l'altro c'è anche un tool per calcolare il dominio online. ;)

Bye bye, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

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