Grafico intuitivo di funzioni

Questa lezione propone molto velocemente le linee guida e le principali osservazioni che permettono di disegnare il grafico intuitivo di funzioni reali.

 

Dopo aver studiato le operazioni tra funzioni e aver visto diversi esempi sul significato grafico delle operazioni tra funzioni, ci accingiamo ad estendere le nostre abilità grafiche introducendo ulteriori metodi che, a partire dai grafici delle funzioni elementari e dai pregressi studi di Geometria Analitica, permettono di disegnare il grafico qualitativo di funzioni con espressioni analitiche non troppo complicate.

 

Le indicazioni che forniremo qui di seguito si riferiscono a:

 

1) somma di una costante con l'argomento di una funzione, f(x\pm c);

2) somma di una costante con l'espressione di una funzione, f(x)\pm c;

3) modulo applicato all'argomento di una funzione, f(|x|);

4) modulo applicato all'espressione di una funzione, |f(x)|;

5) moltiplicazione di una costante per l'argomento di una funzione periodica, f(cx);

6) moltiplicazione di una costante per l'espressione di una funzione, cf(x).

 
 
 

Linee guida e trucchi per tracciare il grafico intuitivo

 

1) Se si somma una costante all'argomento di una funzione elementare (ad esempio \log(x+4) ) bisogna spostare l'intero grafico a sinistra se la costante è positiva, oppure a destra se la costante è negativa, di una distanza pari al valore della costante.

 

Ad esempio, noto il grafico della funzione f(x) (in blu), ecco cosa si ottiene sommando e sottraendo una costante positiva c al suo argomento.

 

 

Somma e sottrazione di una costante sull'argomento rispetto al grafico

 

 

Come fare per non confondersi? Basta ricordare com'è fatto il grafico della bisettrice del primo e del terzo quadrante y=x e pensare che la retta y=x+1, cui abbiamo sommato la quantità positiva +1, ha ordinata all'origine +1: la bisettrice viene spostata a sinistra di una unità.

 

 

2) Se si somma una costante a tutta la funzione (ad esempio \log(x)+4 ) allora il grafico si sposterà verso l'alto se la costante è positiva, verso il basso se è negativa.

 

Partendo dal grafico di una funzione f(x) ecco cosa accade graficamente sommando e sottraendo una costante positiva c.

 

 

Somma e sottrazione di una costante all'espressione della funzione

 

 

Anche in questo caso per non confondervi vi suggeriamo di ragionare con la bisettrice del primo e del terzo quadrante y=x.

 

 

3) Se il modulo compare applicato all'argomento (variabile indipendente) di una funzione elementare, ad esempio \log(|x|), bisognerà disegnarla rappresentando la parte di grafico sulle ascisse positive simmetrica rispetto all'asse y.

 

Per rendere l'idea consideriamo il grafico di una funzione f(x) (in blu). Il grafico di f(|x|) sarà quello in rosso, ottenuto "eliminando" la parte delle ascisse negative e costruendo il simmetrico rispetto all'asse y della parte del grafico sulle ascisse positive di f(x).

 

 

Modulo dell'argomento ed effetti sul grafico

 

 

4) Se invece il modulo è applicato a tutta la funzione (ad esempio |\log(x)| ) sarà sufficiente ribaltare rispetto all'asse x la parte del grafico che ha ordinate negative. Ad esempio:

 

 

Modulo della funzione ed effetti sul grafico

 

 

5) [Anticipazione] Se un coefficiente positivo moltiplica l'argomento di una funzione periodica (argomento che tratteremo nel dettaglio in seguito) il risultato è la stessa funzione ma con periodo il periodo iniziale diviso per la costante.

 

Ad esempio \sin(x) ha periodo 2\pi mentre la funzione \sin(4x) ha periodo \frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}.

 

 

Moltiplicare l'argomento di una funzione periodica

 

 

6) Se un coefficiente positivo moltiplica l'intera funzione, qualunque essa sia, otteniamo una dilatazione (se il coefficiente è maggiore di 1) o una contrazione (se il coefficiente è compreso tra 0 e 1) del grafico lungo l'asse verticale.

 

A titolo di esempio tracciamo il grafico della funzione seno (in blu). Potete osservare che moltiplicando la funzione per la costante 2 otteniamo una dilatazione, e che moltiplicandola per 1/2 ne consegue una contrazione.

 

 

Dilatazioni e contrazioni dei grafici

 

 


 

 

Un consiglio? Provate a giocare con il tool per disegnare il grafico di funzioni online, vedere direttamente gli effetti sui grafici vi aiuterà a ricordare il significato grafico delle varie operazioni algebriche. ;)

 

 

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