Grafico intuitivo di funzioni

Questa lezione propone molto velocemente le linee guida e le principali osservazioni che permettono di disegnare il grafico intuitivo di funzioni reali.

Dopo aver studiato le operazioni tra funzioni e aver visto diversi esempi sul significato grafico delle operazioni tra funzioni, ci accingiamo ad estendere le nostre abilità grafiche introducendo ulteriori metodi che, a partire dai grafici delle funzioni elementari e dai pregressi studi di Geometria Analitica, permettono di disegnare il grafico qualitativo di funzioni con espressioni analitiche non troppo complicate.

Le indicazioni che forniremo qui di seguito si riferiscono a:

1) somma di una costante con l'argomento di una funzione, $f(x\pm c);$

2) somma di una costante con l'espressione di una funzione, $f(x)\pm c;$

3) modulo applicato all'argomento di una funzione,

4) modulo applicato all'espressione di una funzione,

5) moltiplicazione di una costante per l'argomento di una funzione periodica,

6) moltiplicazione di una costante per l'espressione di una funzione,

Linee guida e trucchi per tracciare il grafico intuitivo

1) Se si somma una costante all'argomento di una funzione elementare (ad esempio $\log(x+4)$ ) bisogna spostare l'intero grafico a sinistra se la costante è positiva, oppure a destra se la costante è negativa, di una distanza pari al valore della costante.

Ad esempio, noto il grafico della funzione (in blu), ecco cosa si ottiene sommando e sottraendo una costante positiva al suo argomento.

Somma e sottrazione di una costante sull'argomento rispetto al grafico

Come fare per non confondersi? Basta ricordare com'è fatto il grafico della bisettrice del primo e del terzo quadrante e pensare che la retta , cui abbiamo sommato la quantità positiva +1, ha ordinata all'origine +1: la bisettrice viene spostata a sinistra di una unità.

2) Se si somma una costante a tutta la funzione (ad esempio $\log(x)+4$ ) allora il grafico si sposterà verso l'alto se la costante è positiva, verso il basso se è negativa.

Partendo dal grafico di una funzione ecco cosa accade graficamente sommando e sottraendo una costante positiva .

Somma e sottrazione di una costante all'espressione della funzione

Anche in questo caso per non confondervi vi suggeriamo di ragionare con la bisettrice del primo e del terzo quadrante .

3) Se il modulo compare applicato all'argomento (variabile indipendente) di una funzione elementare, ad esempio $\log(|x|)$ , bisognerà disegnarla rappresentando la parte di grafico sulle ascisse positive simmetrica rispetto all'asse y.

Per rendere l'idea consideriamo il grafico di una funzione (in blu). Il grafico di sarà quello in rosso, ottenuto "eliminando" la parte delle ascisse negative e costruendo il simmetrico rispetto all'asse y della parte del grafico sulle ascisse positive di .

Modulo dell'argomento ed effetti sul grafico

4) Se invece il modulo è applicato a tutta la funzione (ad esempio $|\log(x)|$ ) sarà sufficiente ribaltare rispetto all'asse x la parte del grafico che ha ordinate negative. Ad esempio:

Modulo della funzione ed effetti sul grafico

5) [Anticipazione] Se un coefficiente positivo moltiplica l'argomento di una funzione periodica (argomento che tratteremo nel dettaglio in seguito) il risultato è la stessa funzione ma con periodo il periodo iniziale diviso per la costante.

Ad esempio $\sin(x)$ ha periodo $2\pi$ mentre la funzione $\sin(4x)$ ha periodo $\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}$ .

Moltiplicare l'argomento di una funzione periodica

6) Se un coefficiente positivo moltiplica l'intera funzione, qualunque essa sia, otteniamo una dilatazione (se il coefficiente è maggiore di 1) o una contrazione (se il coefficiente è compreso tra 0 e 1) del grafico lungo l'asse verticale.

A titolo di esempio tracciamo il grafico della funzione seno (in blu). Potete osservare che moltiplicando la funzione per la costante 2 otteniamo una dilatazione, e che moltiplicandola per 1/2 ne consegue una contrazione.

Dilatazioni e contrazioni dei grafici

Un consiglio? Provate a giocare con il tool per disegnare il grafico di funzioni online, vedere direttamente gli effetti sui grafici vi aiuterà a ricordare il significato grafico delle varie operazioni algebriche. ;)

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