Funzione invertibile

Una funzione invertibile f è una funzione per la quale è possibile definire una nuova funzione che percorre al contrario la legge di f. In termini pratici, una funzione è invertibile se e solo se è biunivoca.

 

Dopo aver visto cosa caratterizza una funzione iniettiva e cosa contraddistingue una funzione suriettiva, facciamo un passo in avanti e introduciamo la nozione di funzione invertibile. In questa lezione i prerequisiti che abbiamo trattato nei precedenti articoli saranno fondamentali: qui di seguito daremo la definizione di funzione invertibile e ci soffermeremo su alcuni esempi in cui mostreremo come verificare la condizione di invertibilità, per poi estendere il discorso al caso di funzioni apparentemente non invertibili.

 

Nel frattempo accenneremo al fatto che una funzione invertibile ammette l'esistenza di una funzione inversa, ma lo faremo a puro titolo esemplificativo e senza soffermarci sui calcoli. Il calcolo pratico dell'inversa sarà infatti l'oggetto della lezione successiva.

 

Definizione di funzione invertibile

 

Per definizione, una funzione è invertibile se ammette un'inversa. In altri termini, una funzione

 

f:Dom(f)\subseteq\mathbb{R}\to Cod(f)\subseteq\mathbb{R},\ \ \ \ \ y=f(x)

 

si dice invertibile se esiste una funzione

 

g:Cod(f)\subseteq\mathbb{R}\to Dom(f)\subseteq\mathbb{R},\ \ \ \ \ x=g(y)

 

la cui legge individua la corrispondenza inversa rispetto a y=f(x). Se tale funzione esiste, allora essa è unica e viene indicata con il simbolo f^{-1}

 

x=f^{-1}(y)

 

Si noti che nella definizione abbiamo indicato con Dom(f) il dominio della funzione f e con Cod(f) il suo codominio. Solitamente nel caso delle funzioni reali di variabile reale siamo abituati a scrivere Cod(f)=\mathbb{R}, ma qui abbiamo preferito mantenere un approccio il più generale possibile. Come ben sappiamo una funzione può essere definita con un codominio che sia un sottoinsieme di \mathbb{R}.

 

Come ulteriore osservazione preliminare, notate che l'espressione analitica di una funzione non dipende dal nome scelto per la variabile indipendente: possiamo chiamarla x,y,z o ancora Pluto. Per esprimere chiaramente l'ordine della corrispondenza stabilito dalla funzione inversa abbiamo scritto x=f^{-1}(y) indicando la variabile indipendente con y; nel caso doveste leggere y=f^{-1}(x) non fatevi ingannare, perché f^{-1} denota la corrispondenza inversa rispetto alla legge di f.

 

Condizione affinché una funzione sia invertibile

 

La condizione necessaria e sufficiente affinché una funzione sia invertibile, e dunque sia possibile individuare la corrispondenza inversa a quella che essa definisce, è che essa sia una funzione biunivoca. In parole povere, una funzione è invertibile se e solo se è biunivoca.

 

Ricordando che una funzione è biunivoca se e solo se, per definizione, è sia iniettiva che suriettiva, sappiamo allora automaticamente che una funzione è invertibile se e solo se è iniettiva e suriettiva.

 

Esempi di funzioni invertibili


I) Consideriamo la funzione lineare con grafico dato dalla retta di equazione

 

y=2x+3

 

Per i criteri che abbiamo già studiato una funzione siffatta è chiaramente biunivoca, e dunque invertibile. La sua inversa è data da

 

x=\frac{y-3}{2}

 

II) Le funzioni del tipo

 

y=x^n

 

con n un numero dispari (funzione potenza con esponente dispari) sono biunivoche. Consideriamo ad esempio

 

y=x^3

 

in questo caso il metodo grafico ci garantisce immediatamente l'iniettività e la suriettività, infatti il grafico sommario di questa funzione è

 

 

Esempio di funzione invertibile

 

 

Applicando il metodo grafico per l'iniettività si vede subito che, tracciando delle rette parallele all'asse x, queste possono intersecare il grafico in uno ed un solo punto. Per quanto riguarda la suriettività invece, si vede subito che la proiezione del grafico sull'asse y lo copre interamente.

 

Di conseguenza abbiamo a che fare con una funzione biunivoca, che quindi è una funzione invertibile, e dunque possiamo invertirla. La funzione inversa è

 

y=x^{\frac{1}{3}}

 

ovvero, in accordo con la definizione di potenza con esponente fratto, y=\sqrt[3]{x}.

 

Il grafico di questa nuova funzione è

 

 

Inversa di una funzione biunivoca

 

Funzioni invertibili dopo aver ristretto il codominio

 

La definizione di funzione invertibile parla chiaro: per far sì che una funzione sia invertibile, essa deve essere biunivoca, cioè sia iniettiva che suriettiva. Ma se venisse a mancare una di queste due condizioni, davvero non ci sarebbe modo di ottenere l'invertibilità, nemmeno applicando un qualsiasi sotterfugio?...

 

In realtà un modo c'è. Mentre l'iniettività di una funzione è una condizione imprescindibile, la suriettività ci lascia un discreto margine d'azione. È infatti possibile modificare leggermente una funzione iniettiva ma non suriettiva per ricavarne una funzione sia iniettiva che suriettiva, dunque biunivoca, dunque invertibile.

 

Abbiamo già accennato a questo fatto nella precedente lezione. Se abbiamo una funzione

 

f:Dom(f)\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R}

 

che non è suriettiva, c'è una parte del codominio \mathbb{R} che non viene coperta dall'insieme delle immagini della funzione. In buona sostanza l'immagine della funzione Im(f) non coincide con il codominio Cod(f) ed è contenuta propriamente in esso.

 

f\mbox{ non suriettiva } \Leftrightarrow\ Im(f)\subset Cod(f)=\mathbb{R}

 

Per ovviare a questo inconveniente definiamo una nuova funzione \tilde{f} con la medesima espressione analitica di f, dunque con lo stesso dominio, ma con un codominio diverso:

 

\tilde{f}:Dom(f)\subseteq \mathbb{R}\to Im(f)

 

Cosa abbiamo fatto? Abbiamo effettuato la cosiddetta restrizione del codominio all'immagine. In altri termini abbiamo semplicemente considerato una funzione \tilde{f} restringendo il codominio di \tilde{f} all'immagine di f.

 

\mbox{Per definizione di }\tilde{f}:\ \ Cod(\tilde{f})=Im(f)

 

La nuova funzione \tilde{f}, pur essendo analiticamente uguale ad f, diventa per incanto suriettiva! Infatti avendo lasciato invariata l'espressione analitica e il dominio, l'immagine di \tilde{f} coincide esattamente con l'immagine di f, e per costruzione risulta

 

Im(\tilde{f})=Cod(\tilde{f})

 

che è la definizione di funzione suriettiva.

 

Probabilmente starete pensando che questo barbatrucco sia una boiata ;) ma non è così: non dimenticate che nella definizione di una funzione reale di variabile reale

 

f:Dom(f)\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ \ \ \ \ y=f(x)

 

l'insieme di partenza e di arrivo sono tanto importanti quanto l'espressione analitica.

 

In sintesi, da una funzione iniettiva ma non suriettiva (non invertibile) possiamo ricavare una nuova funzione iniettiva e suriettiva (invertibile) semplicemente cambiandone l'intestazione e definendo una nuova funzione con la stessa espressione analitica, dunque con il medesimo dominio, ma con il codominio desiderato.

 

Esempio di funzione invertibile dopo aver ristretto il codominio

 

III) La funzione esponenziale

 

y=e^x

 

è iniettiva ma non suriettiva, infatti è sempre positiva e il suo grafico è di questo tipo

 

 

Esempio di funzione invertibile restringendo il codominio

 

 

Tale funzione non soddisfa il criterio necessario e sufficiente per l'invertibilità poiché non è suriettiva, ma possiamo restringere il codominio all'immagine della funzione, pensando alla funzione stessa come

 

\tilde{f}:\mathbb{R}\rightarrow (0,+\infty).

 

In questo caso la funzione esponenziale diventa biunivoca e quindi invertibile, poiché è suriettiva sul nuovo intervallo (il grafico copre interamente il semiasse positivo delle y, tolto lo zero).

 

In questo modo essa ammette come inversa la funzione logaritmica

 

y=\ln(x)

 

il cui grafico è

 

 

Esempio di inversa di una funzione iniettiva ma non suriettiva

 

 

Abbiamo scoperto un fatto molto importante: all'atto pratico per invertire una funzione basta che essa sia iniettiva. Se volete vedere nella pratica come invertire una funzione, che sia iniettiva e suriettiva globalmente, o anche solo iniettiva, potete leggere l'articolo come calcolare l'inversa di una funzione.

 

 


 

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Gule Gule, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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