Seconda parte - grafico immediato di funzioni semplici

Questa è la seconda parte della lezione sul metodo del grafico immediato, che mediante semplici considerazioni algebriche permette di disegnare il grafico intuitivo di funzioni con espressioni non troppo complicate. Nel caso non l'aveste già fatto vi raccomandiamo di ripartire dalla prima parte: grafico immediato di funzioni reali di variabile reale.

 

Qui di seguito proseguiremo con una carrellata di esempi in cui combineremo il significato geometrico delle operazioni tra funzioni e le regole del grafico intuitivo.

 

In particolare ci occuperemo di mostrare come le principali operazioni algebriche influiscono sul grafico delle funzioni trigonometriche.

 

Grafico intuitivo per funzioni con il seno

 

L'esempio che prendiamo come riferimento è dato dalla funzione

 

f(x)=\sin(2x)

 

1) Disegniamo il grafico del seno:

 

y=\sin(x)

 

Grafico del seno di x

 

2) Il coefficiente che moltiplica l'argomento dimezza il periodo, in sostanza comporta una contrazione orizzontale della funzione y=\sin(x):

 

y=\sin(2x)

 

Ecco una rappresentazione dei due grafici sovrapposti:

 

Grafico del seno di x e del seno di 2x, sovrapposti

In blu y=sin(x), in rosso y=sin(2x).

 

Dilatazioni e traslazioni orizzontali

 

Consideriamo ora la funzione

 

f(x)=3\sin(x+2)

 

1) Come in precedenza partiamo dal grafico del seno.

 

y=\sin(x)

 

2) Sommare la costante +2 all'argomento del seno significa traslarlo di 2 unità a sinistra:

 

y=\sin(x+2)

 

3) Il coefficiente che moltiplica \sin(x+2) provoca una dilatazione del seno rispetto all'asse y

 

y=3\sin(x+2)

 

Riassumendo:

 

f(x)=3\sin(x+2)

 

Grafico riassuntivo su dilatazioni e traslazioni orizzontali

In blu y=sin(x), in rosso y=sin(x+2), in verde y=3sin(x+2)

 

Dilatazioni e traslazioni verticali

 

Consideriamo la funzione

 

f(x)=2(\sin(x)+2)

 

Qui dobbiamo ricordarci che sommare una costante all'espressione funzione comporta una traslazione verticale, quindi non fatevi ingannare da questo esempio; svolgendo la moltiplicazione vi renderete conto di come tutti passaggi siano già noti.

 

1) Partiamo dal grafico del seno.

 

y=\sin(x)

 

2) Spostiamo il grafico verticalmente di 2 unità sommando un +2 all'espressione della funzione.

 

y=\sin(x)+2

 

3) Moltiplichiamo l'espressione della funzione per 2, il che comporta una dilatazione lungo l'asse delle ordinate.

 

y=2(\sin(x)+2)

 

In modo del tutto equivalente avremmo potuto sviluppare il prodotto nell'espressione analitica della funzione, considerando quindi

 

f(x)=2\sin(x)+4

 

per poi applicare l'usuale ragionamento.

 

f(x)=2(\sin(x)+2)

 

Grafico con una dilatazione e una traslazione verso l'alto

Grafico della funzione y=2(sin(x)+2).

 

 

Grafico intuitivo di funzioni con il coseno

Traslazioni e moduli

 

Il coseno si comporta rispetto al prodotto e alla somma di costanti esattamente come il seno, dunque consideriamo sin da subito un esempio un po' più elaborato rispetto ai precedenti:

 

f(x)=|\cos(x-3)+5|

 

1) Tracciamo il grafico del coseno: cos(x)

 

y=\cos(x)

 

2) Consideriamo la somma nell'argomento del coseno, dunque \cos(x-3): il grafico si sposta a destra di 3 unità.

 

y=\cos(x-3)

 

3) Ora è il momento di sommare la costante +5 all'espressione della funzione. Ne consegue una traslazione verso l'alto di 5 unità.

 

y=\cos(x-3)+5

 

4) Applichiamo il valore assoluto all'espressione della funzione appena scritta: poiché essa è positiva \forall x\in\mathbb{R} il modulo, che ribalta sopra l'asse x la parte negativa del grafico, in questo caso non ha alcun effetto.

 

y=|\cos(x-3)+5|

 

Riassumendo:

 

Riassunto delle operazioni del metodo del grafico intuitivo

In blu y=cos(x), in rosso y=cos(x-3), in verde y=cos(x-3)+5=|cos(x-3)+5|.

 

Moduli e traslazioni

 

Consideriamo infine la funzione

 

f(x)=|\cos(x-3)|+5

 

In questo caso, dopo aver traslato orizzontalmente il coseno dobbiamo calcolarne il modulo, e successivamente traslarlo verso l'alto di 5.

 

1) Partiamo dal grafico del coseno.

 

y=\cos(x)

 

2) Disegniamo il grafico del coseno traslato verso destra di 3 unità

 

y=\cos(x-3)

 

3) Passiamo al modulo applicato all'intera funzione, per cui ribaltiamo simmetricamente il grafico rispetto all'asse delle x.

 

y=|\cos(x-3)|

 

4) Sommiamo la costante positiva all'immagine della funzione, per cui ne consegue una traslazione verso l'alto di 5 unità.

 

y=|\cos(x-3)|+5

 

Sovrapponendo tutti i grafici ricaviamo:

 

Grafico con tutti i passaggi del metodo del grafico immediato

In blu y=cos(x), in rosso y=cos(x-3), in verde y=|cos(x-3)|, in grigio y=|cos(x-3)|+5.

 

 


 

La lezione è conclusa, ma non possiamo fare a meno di darvi qualche consiglio salva-vita. ;) Come ulteriore banco di prova potete usare il tool per disegnare il grafico online, in modo da imprimervi bene in mente la corrispondenza tra le operazioni e gli effetti grafici.

 

 

Namasté, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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Tags: metodo del grafico immediato per rappresentare funzioni semplici nel piano cartesiano senza svolgere lo studio completo, ossia il metodo del grafico intuitivo.