Codominio

Il codominio di una funzione è l'insieme in cui sono contenute le immagini della funzione. A livello intuitivo il codominio coincide con l'insieme di arrivo, e non va confuso con l'immagine della funzione.

 

Due domande che perseguitano gli studenti dal 5° anno delle superiori in poi: che cos'è il codominio di una funzione? Come si calcola il codominio? Bene, in questa lezione vedremo come risolvere questi dubbi. Siete pronti? :)

 
 
 

Che cos'è il codominio

 

Intuitivamente il codominio di una funzione f è l'insieme dei valori che essa può assumere. Per indicarlo si utilizzano prevalentemente i simboli

 

\mbox{Cod}(f),\ \ \mbox{codom}(f)

 

e varianti affini. Insomma, ogni professore ha il proprio modo per denotarlo.

 

Formalizzare matematicamente la nozione di codominio è facile, ma è complicato comprenderne davvero l'essenza perché il concetto di codominio è intrinseco al concetto di funzione.

 

Partiamo per il momento dalla definizione di una funzione

 

f: A\to B

 

Essa coinvolge due insiemi non vuoti A e B, rispettivamente l'insieme di partenza, o dominio, e l'insieme di arrivo, che prende il nome di codominio. Se omettiamo uno di questi due insiemi la definizione di funzione risulta incompleta (ed ecco giustificato l'aggettivo intrinseco).

 

Ad esempio, nell'immagine seguente l'insieme B è il codominio della funzione f. Notate come non tutti gli elementi di B siano raggiunti dalle frecce che partono dall'insieme A.

 

 

Codominio

In blu il dominio, in rosso il codominio della funzione.

 

 

Il dominio e il codominio hanno quindi un ruolo centrale nella definizione di funzione. E allora perché il primo sembra così importante, mentre il secondo non gode della stessa fama? La risposta a questa domanda è riassumibile in una frase: "Sacrifichiamo il rigore matematico a favore dell'intuito". Il concetto di codominio può risultare ostico soprattutto se si è alle superiori, per questo motivo si preferisce sorvolaresenza approfondire ulteriormente la questione. È giusto? È sbagliato? Non sta a noi rispondere, non è il tema di questa lezione dopotutto.

 

Esempi sul codominio

 

1) Consideriamo la funzione f: \mathbb{R}\to (0, +\infty) definita da f(x)= e ^x. Il codominio è già riportato nell'intestazione

 

f: \mathbb{R}\to(0,+\infty)

 

il nostro compito sarà quello di scrivere:

 

 \mbox{cod}(f)= (0,+\infty)

 

 

2) Il codominio della funzione f: \mathbb{R}\to \mathbb{R} definita da f(x)= e ^x è

 

\mbox{cod}(f)=\mathbb{R}

 

 

3) Il codominio della funzione f:\left[0, \frac{1}{2}\right]\to [0,1] definita da f(x)= x è

 

\mbox{cod}(f)= [0,1]

 

 

4) Il codominio della funzione f:\mathbb{R}\to [0,1] definita da f(x)= |\sin(x)| è

 

\mbox{cod}(f)= [0,1]

 

 

In generale una funzione

 

f:\mbox{Pippo}\to \mbox{Pluto}

 

ha per codominio

 

\mbox{cod}(f)= \mbox{Pluto}

 

Come si calcola il codominio

 

È fondamentale comprendere che il codominio non si calcola, né si determina, perché è già dato nell'intestazione della funzione e, parlando terra terra, tutti gli esercizi del tipo "determinare il codominio di una funzione" o "calcolare il codominio di una funzione" sono fuorvianti. Più precisamente sono privi di significato.

 

Ciò che si può determinare è in realtà l'immagine di una funzione, di cui parleremo approfonditamente nella lezione successiva.

 

Esiste una sostanziale differenza tra il concetto di codominio e quello di immagine, e in generale possiamo dire che l'immagine di una funzione è contenuta nel codominio. In particolare, se i due insiemi coincidono allora la funzione è suriettiva, concetto che avremo modo di introdurre nel prosieguo delle lezioni. 

 

Nota importante: ci sono alcuni insegnanti che volutamente non fanno distinzioni tra codominio e immagine (a torto!). Se ciò fosse vero allora tutte le funzioni sarebbero suriettive e ovviamente non è così. Sarà vostra premura chiedere direttamente al vostro prof cosa vuole intendere con il termine codominio.

 

 


 

La lezione finisce qui: se avete dubbi in merito vi suggeriamo di utilizzare la barra di ricerca interna, abbiamo trattato questo argomento in diverse occasioni. Inoltre qui su YM ci sono migliaia di esercizi svolti e spiegati nel dettaglio. ;)

 

 

A presto

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

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