Integrali impropri notevoli

Pronti per vedere una delle lezioni più importanti nel contesto degli integrali impropri? Qui di seguito elencheremo tutti i possibili integrali impropri notevoli (o integrali impropri fondamentali), che si riveleranno importantissimi nella risoluzione degli esercizi e soprattutto nello studio della convergenza.

 

In realtà considereremo dei casi particolari, ma fondamentali per lo studio del comportamento degli integrali impropri. Per poter affrontare con serenità questo argomento, studieremo cinque classi di integrali.

 

Tutti i risultati che seguono possono essere ricavati mediante le definizioni che abbiamo studiato nelle precedenti lezioni. Data la loro frequente ricorrenza nulla vi vieta di darli per buoni nella risoluzione degli esercizi, compresi quelli che affronterete in sede d'esame. Non spaventatevi se siete smemorati: il continuo esercizio li imprimerà nella vostra memoria; e se proprio non doveste ricordarli, rimboccatevi le maniche e a seconda dei casi procedete con:

 

- la definizione di integrale improprio di prima specie;

 

- la definizione di integrale improprio di seconda specie.

 

Tabella degli integrali impropri notevoli

 

Caso 1: integrali di potenze con intervallo di integrazione [0,α)

 

Sia \alpha>0. Allora

 

\int_{0}^{\alpha}\frac{1}{x^p}dx\ \to\ \begin{cases}\mbox{converge }&\mbox{ se }p<1\\ \mbox{diverge }&\mbox{ se }p\ge 1\end{cases}

 

Possiamo generalizzare il precedente integrale con:

 

\int_{a}^{b}\frac{1}{(x-a)^p}dx\ \to\ \begin{cases}\mbox{converge}&\mbox{ se }p<1\\ \mbox{diverge }&\mbox{ se }p\ge 1\end{cases}

 

 

Caso 2: integrali di potenze con intervallo di integrazione [α,+∞)

 

Sia \alpha>0. Allora:

 

\int_{\alpha}^{+\infty}\frac{1}{x^{p}}dx\ \to\ \begin{cases}\mbox{converge}&\mbox{ se }p>1\\ \mbox{diverge}&\mbox{ se }p\le 1\end{cases}

 

 

Caso 3: integrale improprio con potenza e logaritmo in [0,α) 

 

Sia 0<\alpha<1. Allora

 

\int_{0}^{\alpha}\frac{1}{x^{a}|\ln(x)|^{b}}\ \to\ \begin{cases}\mbox{ converge }&\mbox{ se }\begin{cases}a<1\quad\forall b\in\mathbb{R}\\ a=1\quad b>1\end{cases}\\ \mbox{ diverge}&\mbox{ se }\begin{cases}a>1\quad\forall b\in\mathbb{R}\\ a= 1\quad b\le 1\end{cases}\end{cases}

 

 

Caso 4: Integrale improprio con potenza e logaritmo in [α,+∞)

 

Sia \alpha>1. Allora:

 

\int_{\alpha}^{+\infty}\frac{1}{x^{a}\ln^{b}(x)}dx\ \to\ \begin{cases}\mbox{converge}&\mbox{ se }\begin{cases}a>1\mbox{ e }b\in\mathbb{R}\\ \mbox{oppure}\\ a=1\mbox{ e }b>1\end{cases}\\ \mbox{diverge}&\mbox{ se }\begin{cases}a<1\mbox{ e }b\in\mathbb{R}\\\mbox{oppure}\\ a=1\mbox{ e }b\le 1\end{cases}\end{cases}

 

 

Caso 5: Integrale improprio con logaritmo in (1,α]

 

Sia \alpha>1. Allora:

 

\int_{1}^{\alpha}\frac{1}{\ln^{p}(x)}dx\ \to\ \begin{cases}\mbox{converge}&\mbox{ se }p<1\\ \mbox{diverge }&\mbox{ se }p\ge 1\end{cases}

 

Integrali impropri notevoli e confronto asintotico

 

Abbiamo elencato i cosiddetti integrali impropri notevoli: ora riformuleremo il criterio del confronto asintotico che abbiamo visto nelle lezioni

 

- sui criteri di convergenza per integrali impropri di prima specie

 

- sui criteri di convergenza per integrali impropri di seconda specie

 

e vedremo come combinare i risultati della precedente tabella con il confronto asintotico. Vedrete che, in questo modo, potremo studiare la convergenza di tantissimi integrali impropri.

 

 

Caso 2 - Infinitesimo campione \frac{1}{x^{\alpha}}

 

Sia f:[a, +\infty)\to \mathbb{R} una funzione continua strettamente positiva ed asintoticamente equivalente all'infinitesimo campione per x\to+\infty

 

f(x)\sim_{+\infty}\frac{1}{x^{\alpha}}

 

allora:

 

\begin{align*}\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\mbox{ converge}&\iff \int_{a}^{+\infty}\frac{1}{x^{\alpha}}dx\mbox{ converge}\\&\\&\iff \alpha>1\end{align} 

 

 

Esempio

 

Studiamo la convergenza dell'integrale improprio di prima specie

 

\int_{1}^{\infty}\frac{\sin(\frac{1}{x})}{\sqrt{x}}dx

 

La funzione integranda è positiva nel dominio di integrazione. Il limite notevole del seno in forma generale ci permette di scrivere la seguente equivalenza asintotica

 

\sin\left(\frac{1}{x}\right)\sim_{\infty}\frac{1}{x}

 

da cui

 

\frac{\sin\left(\frac{1}{x}\right)}{\sqrt{x}}\sim_{\infty} \frac{1}{x\sqrt{x}}=\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}

 

La funzione integranda è asintoticamente equivalente a \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} e, poiché \frac{3}{2}>1, concludiamo l'integrale converge. Sottolineamo ancora una volta l'importanza di conoscere bene i limiti notevoli.

 

 

Il precedente criterio può essere riformulanto anche nel caso in cui abbiamo a che fare con intervalli limitati, ma con funzioni illimitate in essi.

 

 

Caso 1 - Infinito campione \frac{1}{(x-a)^{\alpha}}

 

Sia