Sostituzioni iperboliche negli integrali

Continuiamo a parlare di particolari tipologie di integrali e dei metodi di risoluzione consigliati. In questa lezione vedremo quali integrali possono essere calcolati mediante sostituzioni iperboliche, nella fattispecie quelli in cui compaiono funzioni irrazionali della forma:

 1) , ,√(x^2+a^2) ; 2) , ,√(x^2−a^2) ; 3) , , √(a x^2+bx+c) con a , , > 0

Gli integrali con integrande che presentano funzioni di questo tipo non dovrebbero costituire una novità per noi; sappiamo infatti che le tipologie 1) e 2) possono essere calcolati mediante sostituzioni trigonometriche, mentre la tipologia 3) trova ampio riscontro nel metodo delle sostituzioni di Eulero.

Nonostante ciò è utile ed istruttivo imparare un ulteriore metodo di integrazione per sostituzione perfetto per lo scopo: quello che si basa sulle sostituzioni iperboliche, che ci permettono di risparmiare un bel po' di calcoli. 

Preambolo: proprietà fondamentale delle funzioni iperboliche

Per ogni x∈R sussiste la relazione tra seno iperbolico e coseno iperbolico

cosh^2(x)−sinh^2(x) = 1

Da essa discende immediatamente che:

cosh(x) = √(1+sinh^2(x)) ∀ x∈ R

e

|sinh(x)| = √(cosh^2(x)−1) ∀ x∈R

o equivalentemente, per definizione di valore assoluto

sinh(x) = −√(cosh^2(x)−1) se x ≤ 0 ; √(cosh^2(x)−1) se x > 0

Si noti in particolare che il seno iperbolico richiede il valore assoluto perché ha segno variabile, mentre il coseno iperbolico è per definizione positivo.

Assodate queste semplici relazioni, molto simili a quelle trigonometriche, passiamo a definire le funzioni iperboliche inverse, le quali ricoprono un ruolo sostanziale nella esposizione del metodo di integrazione che stiamo per trattare.

Si definisce settore seno iperbolico o arcoseno iperbolico di x la funzione:

sett sinh(x) = arcsinh(x) = ln(x+√(x^2+1)) ∀ x∈R

ed è la funzione inversa della funzione seno iperbolico.

Si definisce invece settore coseno iperbolico, o arcocoseno iperbolico di x la funzione:

sett cosh(x) = arccosh(x) = ln(x+√(x^2−1)) ∀ x ≥ 1

ed è la funzione inversa della funzione coseno iperbolico.

Ok, dopo questo veloce preambolo, possiamo finalmente parlare delle sostituzioni da utilizzare. :)

Sostituzioni iperboliche per gli integrali del primo tipo

Se l'integrale si presenta nella forma 1), vale a dire che ha un'integranda in cui compare un termine della forma √(x^2+a^2):

∫ R(x, √(x^2+a^2))dx

e dove R è una funzione razionale mentre a è una costante reale positiva, allora porremmo:

x = a sinh(t) ∀ t∈ R

Il nuovo differenziale si otterrà derivando membro a membro per la relativa variabile. Basta ricordare che la derivata del seno iperbolico è proprio il coseno iperbolico (derivate notevoli)

dx = a cosh(t)dt

La sostituzione scelta non è per nulla casuale: essa infatti ci permette di sfruttare l'identità fondamentale delle funzioni iperboliche e di riscrivere il termine √(x^2+a^2)

√(x^2+a^2) = √(a^2sinh^2(t)+a^2) = √(a^2(sinh^2(t)+1)) = acosh(t)

Sostituendo infine il termine irrazionale ed il relativo differenziale si passa ad un integrale molto più semplice da calcolare, in cui in genere riusciamo a scrivere la famiglia di primitive della funzione integranda ricorrendo alla tabella degli integrali notevoli.

Esempio

Consideriamo l'integrale con integranda irrazionale a denominatore di una frazione, e radicando dato da x^2+4

∫ (1)/(√(x^2+4))dx

Effettuiamo una sostituzione iperbolica del primo tipo

x = 2 sinh(t) ∀ t∈R

e calcoliamo il relativo differenziale

dx = 2cosh(t)dt

L'integrale diventa:

∫ (1)/(√(4 sinh^2 (t)+4))·2cosh(t)dt = ∫ (2cosh(t))/(2cosh(t))dt

 

per cui, con una banale semplificazione, passiamo a

∫ 1 dt = t+c

Dalla sostituzione effettuata possiamo esprimere t in funzione della variabile x, e per farlo dovremo affidarci alla definizione di settore seno iperbolico

x = 2sinh(t) ; sinh(t) = (x)/(2) ; t = arcsinh((x)/(2))

Concludiamo così che

∫ (1)/(√(x^2+4))dx = arcsinh((x)/(2))+c = ln((x)/(2)+√((x^2)/(4)+1))+c 

Integrale notevole corrispondente alle sostituzioni iperboliche

Una famiglia che ricorre spesso nella risoluzione degli integrali è:

∫ (1)/(√(x^2+a^2))dx = ln(x+√(a^2+x^2))+c = arcsinh((x)/(a))+k

dove a > 0 e k = c+ln(a). La formula risolutiva si ottiene proprio generalizzando il procedimento seguito nell'esempio precedente, e poiché ricorre spesso nelle applicazioni, viene talvolta data per buona.

Osservazione: notiamo che in realtà

ln(x+√(a^2+x^2)) ne arcsinh((x)/(a))

sono in generale due funzioni diverse che differiscono per una costante additiva. Si può dimostrare agevolmente che:

ln(x+√(a^2+x^2))−arcsinh((x)/(a)) = ln(a) ∀ a > 0

 

Non dobbiamo quindi meravigliarci se entrambi sono primitive della funzione integranda (1)/(√(x^2+a^2)).

Sostituzioni iperboliche negli integrali del secondo tipo

Ci proponiamo ora di determinare il metodo risolutivo per gli integrali in cui la funzione integranda presenta nella propria espressione analitica il termine √(x^2−a^2)

∫ R(x, √(x^2−a^2))dx

In tal caso faremo intervenire le sostituzioni iperboliche del secondo tipo:

x = a cosh(t) qquad t ≥ 0

Il differenziale in t si calcola come di consueto derivando i due membri rispetto alle corrispondenti variabili

dx = asinh(t)dt

Se avete compreso la logica delle sostituzioni iperboliche del primo tipo allora avrete già intuito che la relazione fondamentale delle funzioni iperboliche ci consente di riscrivere il termine √(x^2−a^2):

√(x^2−a^2) = √(a^2 cosh^2(t)−a^2) = √(a^2(cosh^2(t)−1)) = asinh(t) con t > 0

Esempio

Vogliamo calcolare il seguente integrale

∫ (1)/(√(x^2−a^2))dx con a > 0

Poniamo

x = acosh(t) ⇒ dx = asinh(t)dt

cosicché l'integrale diventa:

∫ (1)/(√(x^2−a^2))dx = ∫ (1)/(asinh(t))·asinh(t)dt

sSemplificando in modo opportuno otteniamo:

∫ 1dt = t+c

Esprimiamo t in funzione di x invertendo la funzione coseno iperbolico:

x = a cosh(t) ⇒ t = arccosh((x)/(a)) 

e in conclusione:

∫ (1)/(√(x^2−a^2))dx = arccosh((x)/(a))+c = ln((x)/(a)+√((x^2)/(a^2)−1))+c = ln(x+√(x^2−a^2))+k

dove k = ln(a)+c.

Sostituzioni iperboliche negli integrali del terzo tipo

Quando nella funzione integranda compare una radice con un trinomio di secondo grado in x possiamo tranquillamente ricondurci al primo o al secondo caso, infatti è sufficiente osservare che per a > 0

a x^2+b x+c = a(x+(b)/(2a))^2−(Δ)/(4a) 

In realtà non dobbiamo conoscere a memoria questa formula, poiché è sufficiente completare il quadrato aggiungendo e sottraendo le quantità che ci servono.

Tramite la sostituzione

u = x+(b)/(2a)

potremo infine ricondurci ad uno dei casi già studiati in precedenza.

Esempio

Vediamo un integrale in cui conviene procedere per completamento del quadrato

∫ (1)/(√(x^2+4 x+1))dx

Completiamo il quadrato nella radice:

x^2+4x+1 = x^2+4x+4−4+1 = (x+2)^2−3

L'integrale si scriverà come:

∫ (1)/(√((x+2)^2−3))dx

Poniamo quindi u = x+2 ⇒ du = dx

∫ (1)/(√(u^2−3))du

e ritorniamo al caso 2). Con le dovute sostituzioni giungeremo all'espressione della famiglia di primitive richiesta. :)


Come sempre ragazze e ragazzi ricordatevi che nel calcolo degli integrali non c'è in generale una strada migliore rispetto alle altre. Starà a voi e alla vostra furbizia scegliere il metodo che, di volta in volta, vi permetta di ridurre i calcoli il più possibile.

Che dire di più? Se avete bisogno di esercizi svolti e ulteriori spiegazioni potete usare la barra di ricerca interna YM, abbiamo un sacco di esercizi interamente risolti. Ricordatevi la regola d'oro: fare pratica e in caso di necessità verificare i risultati dei vostri esercizi mediante il tool per gli integrali online. ;)

Buona Matematica a tutti!

Redazione di YouMath (Salvatore Zungri - Ifrit)

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