Integrali irrazionali con differenziale binomio

Continuiamo con l'esposizione dei metodi per il calcolo di integrali irrazionali, cioè di integrali che presentano funzioni integrande con radici. In questa lezione studieremo le sostituzioni razionalizzanti per gli integrali di differenziale binomio, cioè quegli integrali che si presentano nella forma:

$\int x^{\alpha}(a + b x^{\beta})^{\gamma}dx$

dove $\alpha, \beta, \gamma\in\mathbb{Q}$

Il teorema che ci permetterà di calcolare questo tipo di integrali è il cosiddetto teorema di Chebyschev.

Teorema di Chebyschev per gli integrali irrazionali con differenziale binomio

Enunciato: l'integrale

$\int x^{\alpha}(a + b x^{\beta})^{\gamma}dx$

è esprimibile come composizione di funzioni elementari se e solo se almeno uno

$\begin{align*}1) &\,\,\gamma\\ \\ 2) & \,\,\frac{\alpha +1}{\beta}\\ \\ 3) &\,\,\gamma+\frac{\alpha+1}{\beta}\end{align}$

è un numero intero. In particolare:

1) se $\gamma\in \mathbb{Z}$ allora l'integrale è risolvibile tramite altre tecniche.

2) Se $\frac{\alpha+1}{\beta}\in\mathbb{Z}$ la sostituzione:

$t^n= a+ b x^\beta\mbox{ dove } n \mbox{ denominatore di } \gamma$

3) Se $\gamma + \frac{\alpha+1}{\beta}\in\mathbb{Z}$ procederemo con l'integrazione per sostituzione, ponendo:

$t^n= b+\frac{a}{x^{\beta}}$

dove n è il denominatore di $\gamma$ .

Esempi sugli integrali irrazionali con differenziale binomio

Facciamo gli esempi per ciascun caso escluso il primo perché può essere risolto tramite altre tecniche.

Esempio - caso 2

$\int \frac{x}{(1+\sqrt{x})^\frac{1}{2}}dx$

In questo caso:

$\alpha= 1\qquad \beta = \frac{1}{2}\qquad \gamma= -\frac{1}{2}$

Naturalmente:

$\frac{\alpha+1}{\beta}= 4$

Poniamo quindi:

$t^2= 1+\sqrt{x}$

e ricaviamo la legge inversa in modo da determinare il differenziale

$x= 1-2t^2+t^4\implies dx=(-4t+4t^3)dt$

L'integrale nella nuova variabile diventa

$\int \frac{1-2t^2+t^4}{t} (-4t+4t^3)dt=$

Effettuiamo un raccoglimento totale sul secondo fattore e scomponiamo il numeratore secondo la regola del quadrato di un binomio, dopodiché semplifichiamo

$=\int 4(t^2-1)^3dt=$

Sviluppando il cubo di binomio passiamo a

$=4\int \left(t^6-3t^4+3t^2-1\right) dt=\int \left(4t^6-12t^4+12t^2-4\right) dt=$

A questo punto possiamo sfruttare le proprietà degli integrali e calcolare i rispettivi integrali di potenze

$=-4t+4t^3-\frac{12}{5}t^5+\frac{4}{7}t^7+c=$

A questo punto effettuiamo la sostituzione inversa in modo da tornare alla variabile x:

$=-4\sqrt{1+\sqrt{x}}+4 (1+\sqrt{x})^{\frac{3}{2}}-\frac{12}{5}(1+\sqrt{x})^{\frac{5}{2}}+\frac{4}{7}(1+\sqrt{x})^{\frac{7}{2}}+c$

Esempio - caso 3

$\displaystyle\int \frac{1}{x^2 (1+x^3)^{\frac{2}{3}}}dx$

In questo caso abbiamo:

$\alpha=- 2\qquad \beta=3\qquad \gamma=- \frac{2}{3}$

Poiché $\gamma+\frac{\alpha+1}{\beta}=-1$ possiamo utilizzare la sostituzione:

$t^3=1+\frac{1}{x^3}$

da cui, invertendo la relazione in favore di

$x=\frac{1}{\sqrt[3]{ t^3-1}}$

In accordo con la definizione di radicale e grazie ad una nota proprietà delle potenze

$x=(t^3-1)^{-\frac{1}{3}}$

Procediamo differenziando membro a membro e usando la formula per la derivata della funzione composta

$dx=\frac{d}{dt}[(t^3-1)^{-\frac{1}{3}}]dt=-\frac{1}{3}(t^3-1)^{-\frac{1}{3}-1}\cdot 3t^2dt$

da cui

$dx=-\frac{t^2}{(t^3-1)^{\frac{4}{3}}}dt$

Effettuiamo le varie sostituzioni nell'integrale:

$\int \frac{1}{x^2 (1+x^3)^{\frac{2}{3}}}dx=\int\frac{1}{(t^3-1)^{-\frac{2}{3}}\left(1+\frac{1}{(t^3-1)^{\frac{3}{3}}}\right)^{\frac{2}{3}}}\cdot\left(-\frac{t^2}{(t^3-1)^{\frac{4}{3}}}\right)dt=$

Non fatevi ingannare dall'apparente complessità dell'integranda, ci basta effettuare qualche semplice semplificazione ;)

$\\ =\int \frac{1}{(t^3-1)^{-\frac{2}{3}}\left(\frac{t^3}{t^3-1}\right)^{\frac{2}{3}}}\cdot\left(\frac{t^2}{(t^3-1)^{\frac{4}{3}}}\right)dt=\\ \\ \\ =\int \frac{1}{(t^3-1)^{-\frac{2}{3}}\cdot \frac{t^2}{(t^3-1)^{\frac{2}{3}}}}\cdot \left(-\frac{t^2}{(t^3-1)^{\frac{4}{3}}}\right)dt=$

e grazie alla regola per le frazioni di frazioni giungiamo a

$=\int(-1)dt= -t+c$

Non ci resta che tornare alla variabile :

$=-\sqrt[3]{1+\frac{1}{x^3}}+c$

e abbiamo così individuato la famiglia di primitive della funzione integranda.

Anche questa lezione è giunta al termine ragazzi! Come sempre, in caso siate in cerca di esercizi svolti, potete usare la barra di ricerca interna e scegliere tra migliaia e migliaia di esercizi risolti; ricordate inoltre che potete sempre correggere i vostri esercizi con il tool per gli integrali online. ;)

A presto!

Salvatore Zungri (Ifrit)

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Tags: integrali irrazionali con sostituzioni razionalizzanti, integrali di differenziale binomio, come risolvere gli integrali con le radici.