Sostituzioni esponenziali e logaritmiche negli integrali

In questa lezione presenteremo delle specifiche tecniche di integrazione per sostituzione, e mostreremo quali sostituzioni esponenziali o logaritmiche applicare nel calcolo di certi integrali, in cui la funzione integranda si presenta in determinate forme.

Ci occuperemo in particolare di due tipi di sostituzioni: esponenziale e logaritmica. È meglio mettere subito in chiaro che esse sono solo una delle possibili strade che ci permettono di giungere al calcolo effettivo, e che come avremo modo di constatare non sono sempre efficaci.

Integrali con sostituzione esponenziale

Partiamo dalle sostituzioni esponenziali, e vediamo in quali tipi di integrali conviene utilizzarle. Supponiamo di trovarci di fronte ad un integrale in cui la funzione esponenziale ricorre in uno o più termini che costituiscono l'espressione analitica della funzione.

In pratica supponiamo di avere un integrale della forma

$\int f(e^x)dx$

dove è una funzione con dominio $D_{f}$ tale per cui l'immagine dell'esponenziale sia contenuta nel dominio di . In simboli, tale che $\mbox{Im}(e^{x})\subseteq D_{f}$ .

Una possibile sostituzione atta a risolvere il nostro integrale è

La funzione esponenziale è invertibile e la sua funzione inversa è $x=\ln(t)$ , per cui applicando la funzione logaritmica membro a membro otteniamo che

$x=\ln(t)$

e abbiamo la funzione inversa, in accordo con il metodo di integrazione per sostituzione. Deriviamo membro a membro per le rispettive variabili così da ottenere il nuovo differenziale:

$dx=\frac{1}{t}dt$

Grazie a questa sostituzione l'integrale diventa:

$\int f(\overbrace{e^{x}}^{=t})\overbrace{dx}^{= \frac{1}{t} dt}=\int \frac{f(t)}{t}dt$

L'integrale ottenuto dovrebbe essere più semplice da risolvere, ma vorremmo che fosse ben chiaro che questo non è assicurato: può capitare infatti che esso non sia risolvibile per mezzo di tecniche elementari.

Esempi di sostituzione esponenziale nel calcolo degli integrali

Prendiamo il seguente integrale, in cui l'integranda è una funzione fratta ed in cui la funzione esponenziale compare ripetutamente

$\int \frac{e^x}{e^x+1}dx$

Nella funzione integranda appaiono solo esponenziali, poniamo quindi:

$t= e^{x}\implies x= \ln(t)$

Determiniamo il nuovo differenziale derivanto ambo i membri rispetto alle relative variabili:

$dx= \frac{1}{t}dt$

Grazie alla sostituzione il numeratore e il denominatore dell'integranda diventano rispettivamente:

$e^x= t\qquad e^{x}+1= t+1$

Possiamo scrivere l'integrale come:

$\int \frac{t}{1+t}\frac{dt}{t}=$

Semplifichiamo

$=\int \frac{1}{1+t}dt=$

Quest'ultimo integrale è immediato e risulta:

$=\int \frac{1}{1+t}dt= \ln|1+t|+c$

Dalla sostituzione sappiamo che , pertanto:

$\int \frac{e^x}{1+e^{x}}dx= \ln|1+e^{x}|+c= \ln(1+e^{x})+c$

Il valore assoluto è superfluo perché il suo argomento è positivo.

Esempio in cui la sostituzione proposta è inefficace.

$\int \sin(e^{x})dx$

Utilizzando la sostituzione e applicando la funzione inversa membro a membro, avremmo $x=\ln(t)$ . Da qui, differenziando membro a membro per le rispettive variabili, otterremo $dx=\frac{1}{t}dt$ così che giungeremmo all'integrale

$\int \frac{\sin(t)}{t}dt$

e questo è uno di quegli integrali che non si risolvono con tecniche elementari. Con questo esempio abbiamo voluto mettere in evidenza che non sempre la sostituzione esponenziale è risolutiva.

Integrali per sostituzione esponenziale e differenziale diretto

Esistono integrali per i quali non è necessario passare al logaritmo per determinare il nuovo differenziale. Essi sono del tipo:

$\int f(e^{x})e^{x}dx$

In questo caso è sufficiente porre

e derivare membro a membro rispetto alla relativa variabile, così da ottenere

Notate che il nuovo è già presente nella funzione integranda, quindi non è necessario utilizzare il logaritmo. In pratica si può procedere con una sostituzione diretta del differenziale

$\int f(\overbrace{e^{x}}^{t})\overbrace{e^{x}dx}^{dt}= \int f(t)dt$

Integrali da risolvere con sostituzioni logaritmiche

Quando abbiamo un integrale in cui la funzione integranda dipende dalla sola funzione logaritmica $\ln(x)$ vengono in nostro soccorso le sostituzioni logaritmiche.

Supponiamo di voler calcolare:

$\int f(\ln(x))\cdot \frac{1}{x} dx$

In tal caso poniamo

$t=\ln(x)$

Il prossimo passo consiste nel derivare membro a membro per le rispettive variabili, così da ottenere

$dt=\frac{1}{x}dx$

Fatto ciò sostituiamo nell'integrale

$\int f(\overbrace{\ln(x)}^{=t})\cdot\overbrace{\frac{1}{x}dx}^{= dt}= \int f(t)dt$

Esempio di integrale per sostituzione logaritmica

Vediamo come calcolare il seguente integrale, in cui l'integranda è una funzione fratta in cui compare il logaritmo di x

$\int \frac{1}{\ln^2(x)+1}\cdot \frac{1}{x}dx$

L'integrale che si presenta nella forma richiesta. Procediamo passo-passo.

1) Poniamo $t=\ln(x)$ .

2) Deriviamo $dt=\frac{1}{x}dx$ .

3) Sostituiamo nell'integrale ottenendo:

$\int \frac{1}{t^2+1}dt$

4) Risolviamo l'integrale: niente di più semplice perché si tratta di un integrale fondamentale!

$\int \frac{1}{t^2+1}dt=\arctan(t)+c$

5) Poiché $t=\ln{(x)}$ , allora

$\int \frac{1}{\ln^2(x)+1}\cdot \frac{1}{x}dx= \arctan(\ln(x))+c$

e abbiamo finito.

Ebbene sì, qui abbiamo già finito! :) In caso di dubbi o difficoltà vi invitiamo ad usare la barra di ricerca interna, grazie alla quale potrete scegliere tra migliaia e migliaia di esercizi risolti. Non perdetevi inoltre la scheda correlata di esercizi svolti ed il tool per gli integrali online, grazie al quale potrete verificare la correttezza degli esercizi che svolgerete in completa autonomia. ;)

Alla prossima!

Salvatore Zungri (Ifrit)

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