Partizione di un intervallo
Una partizione di un intervallo è un insieme i cui elementi sono sottoinsiemi dell'intervallo, e tali da godere di due proprietà: essere disgiunti a due a due e avere un'unione che coincide con l'intervallo dato.
La definizione di partizione di un intervallo è un presupposto essenziale per poter affrontare la teoria dell'integrazione secondo Riemann, ed è un prerequisito che consolideremo nel corso di questa lezione.
Come vedremo tra un istante, in realtà è possibile definire la nozione di partizione di un insieme qualsiasi e successivamente restringere tale definizione al contesto degli intervalli reali.
Definizione di partizione di un insieme
Sia 
un insieme qualsiasi. Definiamo partizione dell'insieme 
, e la indichiamo con 
, una famiglia di sottoinsiemi di - ossia un sottoinsieme dell'insieme delle parti di
che soddisfa le seguenti proprietà:
1) l'unione degli elementi della partizione coincide con l'insieme: 
;
2) gli insiemi della partizione sono a due a due disgiunti: 
per ogni 
con 
.
Nel caso degli intervalli la definizione di partizione si caratterizza facilmente.
Definizione di partizione di un intervallo
Dato un intervallo ![I = [a,b] ⊂ R](data:image/gif;base64,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){kind=small}
finito, ossia con 
, chiamiamo partizione dell'intervallo 
una qualsiasi famiglia di sottointervalli
tali che:
1) l'unione dei sottointervalli della famiglia coincide con l'intervallo: 
;
2) i sottointervalli della partizione sono a due a due disgiunti: 
per ogni 
.
In modo del tutto equivalente, possiamo individuare una partizione di sottointervalli di mediante una successione finita di 
punti 
, richiedendo che
e considerando gli intervalli dati da
![[a,x_1),[x_1,x_2),...,[x_(n-2),x_(n-1)),[x_(n-1),b]](/images/joomlatex/e/d/ed6424661679703c2a999dde2e175e3c.gif)
Prima di iniziare a fare sul serio diamo la definizione di ampiezza di una partizione di un intervallo: data una partizione di un intervallo reale , chiamiamo ampiezza della partizione il valore 
dato da
ossia la massima lunghezza dei sottointervalli che costituiscono la partizione.
Nella prossima lezione introdurremo un concetto essenziale per la definizione dell'integrale di Riemann: le somme superiori e inferiori su una fissata partizione e la nozione di integrale superiore e inferiore. Nel frattempo, se doveste avere dubbi, non esitate: abbiamo risolto tonnellate di problemi e potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)
Namasté, see you soon guys!
Fulvio Sbranchella (Agente Ω)
Tags: cos'è una partizione di un insieme, e qual è la definizione di partizione di un intervallo.
