Partizione di un intervallo

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Una partizione di un intervallo è un insieme i cui elementi sono sottoinsiemi dell'intervallo, e tali da godere di due proprietà: essere disgiunti a due a due e avere un'unione che coincide con l'intervallo dato.

La definizione di partizione di un intervallo è un presupposto essenziale per poter affrontare la teoria dell'integrazione secondo Riemann, ed è un prerequisito che consolideremo nel corso di questa lezione.

Come vedremo tra un istante, in realtà è possibile definire la nozione di partizione di un insieme qualsiasi e successivamente restringere tale definizione al contesto degli intervalli reali.

Definizione di partizione di un insieme

Sia $X\neq \emptyset$ un insieme qualsiasi. Definiamo partizione dell'insieme , e la indichiamo con , una famiglia di sottoinsiemi di - ossia un sottoinsieme dell'insieme delle parti di

$P\subset \mathbb{P}(X)$

che soddisfa le seguenti proprietà:

1) l'unione degli elementi della partizione coincide con l'insieme: $\cup_{A\in P}{A}=X$ ;

2) gli insiemi della partizione sono a due a due disgiunti: $A\cap B=\emptyset$ per ogni $A,B\in P$ con $A\neq B$ .

Nel caso degli intervalli la definizione di partizione si caratterizza facilmente.

Definizione di partizione di un intervallo

Dato un intervallo $I=[a,b]\subset \mathbb{R}$ finito, ossia con $-\infty<a<b<+\infty$ , chiamiamo partizione dell'intervallo una qualsiasi famiglia di sottointervalli

$\{I_i\}_{i=1}^{n}\subset \mathbb{P}(I)$

tali che:

1) l'unione dei sottointervalli della famiglia coincide con l'intervallo: $\cup_{i=1}^{n}{I_i}=I$ ;

2) i sottointervalli della partizione sono a due a due disgiunti: $I_i\cap I_j=\emptyset$ per ogni $i\neq j$ .

In modo del tutto equivalente, possiamo individuare una partizione di sottointervalli di mediante una successione finita di punti $\{x_i\}_{i=0}^{n}$ , richiedendo che

$a=x_0<x_1<x_2<...<x_{n-1}<x_n=b$

e considerando gli intervalli dati da

$[a,x_1),[x_1,x_2),...,[x_{n-2},x_{n-1}),[x_{n-1},b]$

Prima di iniziare a fare sul serio diamo la definizione di ampiezza di una partizione di un intervallo: data una partizione $\{x_i\}_{i=0}^{n}$ di un intervallo reale , chiamiamo ampiezza della partizione il valore dato da

$h=\mbox{Max}_{i=1,...,n}(x_i-x_{i-1})$

ossia la massima lunghezza dei sottointervalli che costituiscono la partizione.

Nella prossima lezione introdurremo un concetto essenziale per la definizione dell'integrale di Riemann: le somme superiori e inferiori su una fissata partizione e la nozione di integrale superiore e inferiore. Nel frattempo, se doveste avere dubbi, non esitate: abbiamo risolto tonnellate di problemi e potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

Namasté, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

Tags: cos'è una partizione di un insieme, e qual è la definizione di partizione di un intervallo.