Studio di funzione integrale

Lo studio di funzione integrale è l'insieme di procedure che consentono di disegnare il grafico qualitativo di una funzione integrale, ossia una funzione la cui espressione analitica è definita tramite l'operatore integrale.

In questa mastodontica lezione, vedremo come studiare una funzione integrale. Step by step, analizzeremo dettagliatamente le tecniche di calcolo per il dominio e i metodi per studiare il segno, la parità e la disparità e i limiti agli estremi del dominio.

In più vedremo come si calcola la derivata di una funzione integrale e come utilizzarla per determinare gli intervalli di monotonia. Continueremo la lezione con l'analisi della derivata seconda, grazie alla quale otterremo gli intervalli di concavità e convessità, ed infine vedremo come si costruisce il grafico di una funzione integrale.

Lo studio di funzione integrale

Lo studio di una funzione integrale non differisce molto dallo studio di funzione classico. I passi da seguire sono esattamente gli stessi: le uniche cose che differiscono da esso sono l'espressione della funzione da studiare, detta funzione integrale, e la metodologia di calcolo.

Forniamo la definizione di funzione integrale: una funzione integrale è una funzione definita tramite l'operatore integrale in cui almeno uno dei due estremi è una funzione della variabile indipendente x, ossia può presentarsi in una delle seguenti forme:

lcr F(x) = ∫_(x_0)^(x)f(t)dt F(x) = ∫_(x_0)^(h(x))f(t)dt F(x) = ∫_(g(x))^(h(x))f(t)dt ; F(x) = ∫_(−∞)^(h(x))f(t)dt F(x) = ∫_(g(x))^(+∞)f(t)dt

dove:

x_0∈R è un numero reale fissato;

g(x), h(x) sono funzioni della variabile x e che possiedono un dominio proprio, da non confondere assolutamente con il dominio della funzione integrale;

f(t) è la funzione integranda dipendente dalla variabile t che varia tra gli estremi di integrazione. Il dominio dom(f) non coincide necessariamente con il domino della funzione integrale dom(F).

Dominio di una funzione integrale

Come ogni studio di funzione che si rispetti, iniziamo lo studio di una funzione integrale con il calcolo del dominio.

Lo sappiamo bene, il dominio della funzione integrale è la parte più delicata dell'intero studio di una funzione integrale e commettere anche il più piccolo errore significa compromettere la correttezza dell'esercizio... vale la pena dedicarci qualche riga in più, non credete? :)

Il dominio di una funzione integrale è l'insieme formato da tutti i valori x per cui l'integrale che definisce F(x) converge, anche impropriamente.

dom(F) = x∈R:l'integrale che definisce F(x) converge

Per determinare il dominio di una funzione integrale faremo affidamento

- sul teorema sull'integrabilità delle funzioni continue, il quale ci assicura che se f(t) è una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato [a, b] allora l'integrale

∫_(a)^(b)f(t)dt

esiste ed è finito;

- sui criteri di convergenza degli integrali impropri sia di prima, sia di seconda specie.

Prendetevi tutto il tempo che serve per ripassare questi importanti risultati, li useremo tantissimo in seguito. :)

Dominio di una funzione integrale con x0 appartenente al dominio di f(t)

Vediamo come determinare il dominio della funzione integrale iniziando dalla forma più semplice in cui essa può presentarsi

F(x) = ∫_(x_0)^(x)f(t)dt con x_0∈ dom(f)

Determiniamo il dominio della funzione integranda f(t) e individuiamo il più grande intervallo I contenente x_0 in cui f(t) è integrabile. Tale intervallo sarà il dominio della funzione F(x), infatti per ogni x∈ I

F(x) = ∫_(x_0)^(x)f(t)dt esiste finito

Pertanto I = dom(F).

Esempio sul dominio di una funzione integrale

Vogliamo determinare il dominio della funzione integrale

F(x) = ∫_(3)^(x)(1)/(√(|t|−1))dt

La funzione integranda

f(t) = (1)/(√(|t|−1))

ha per dominio dom(f) = (−∞,−1) U (1,+∞) e poiché la funzione f(t) è continua in dom(f), essa è integrabile nell'intervallo (−∞,−1) e nell'intervallo (1,+∞).

Inoltre l'estremo finito x_0 = 3∈ (1,+∞) pertanto quest'ultimo sarà l'intervallo su cui continueremo lo studio.

Studiamo la convergenza dell'integrale improprio controllando il comportamento di f(t) per t → 1^(+). Grazie alla tabella degli integrali impropri notevoli

(1)/(√(|t|−1)) = (1)/((t−1)^((1)/(2))) per t > 1 e (1)/(2) < 1

ne deduciamo che la funzione f(t) è integrabile in senso improprio in un intorno destro di 1.

Possiamo asserire, quindi, che l'intervallo in cui la funzione f(t) è integrabile è [1,+∞). Il dominio della funzione integrale F(x) è conseguentemente

dom(F) = [1,+∞)

perché la funzione integrale è ben definita per qualsiasi valore x = c > 1, quindi il dominio si estende fino a +∞.

Dominio di una funzione integrale con x0 non appartenente al dominio di f(t)

Supponiamo di trovarci di fronte alla funzione integrale

F(x) = ∫_(x_0)^(x)f(t)dx

con  x_0 punto di accumulazione non appartenente al dominio di f(t). Allora il calcolo del dominio della funzione integrale F(x) richiede un passo in più rispetto al caso precedente.

Prima di tutto dobbiamo determinare il dominio di f(t) e verificare che la funzione integranda f(t) sia integrabile, anche in senso improprio, in un intorno di x_0 contenuto in dom(f). Se ciò non dovesse accadere allora F(x) non sarebbe nemmeno una funzione.

Dopodiché non ci resta che procedere come abbiamo fatto nel caso precedente, ossia determiniamo il più grande intervallo contenente x_0, I_(x_0) in cui f(t) è integrabile. Tale insieme sarà il dominio della funzione F(x), dom(F).

Esempio sul calcolo del dominio di una funzione integrale

Vogliamo determinare il dominio della seguente funzione integrale

F(x) = ∫_(0)^(x)(1)/(√(|t|))dt

La funzione integranda è

f(t) = (1)/(√(|t|)) con dom(f) = (−∞, 0) U (0,+∞)

Il punto x_0 = 0 ∉ dom(f) ma è un punto di accumulazione per esso. Studiamo l'integrabilità di f(t) per t → 0, sia da destra che da sinistra:

Per t → 0^+ f(t) = (1)/(√(t)) = (1)/(t^((1)/(2)))

e grazie agli integrali impropri notevoli di seconda specie possiamo concludere che f(t) è integrabile.

Per t → 0^(−) f(t) = (1)/(√(−t)) = (1)/((−t)^((1)/(2)))

anche in questo caso abbiamo convergenza. Possiamo concludere che vi è convergenza in almeno un intorno di x_0 = 0.

Per mostrare l'integrabilità di f(t) in tutti gli altri punti è sufficiente prendere un punto c appartenente all'intorno di x_0 = 0 e riscrivere F(x) come

F(x) = ∫_(0)^(c)f(t)dt+∫_(c)^(x)f(t)dt

Il primo integrale converge, il secondo pure perché negli intervalli

[c, x] per x > c e [x, c] con x < c

la funzione integranda è continua e, dunque, interviene ancora una volta il teorema sull'integrabilità delle funzioni continue.

In definitiva per ogni x∈R, F(x) esiste finito.

Osservazione importante: sia nel primo che nel secondo caso, il dominio della funzione integrale risulta essere sempre un intervallo. Nel seguito vedremo che questa caratterizzazione del dominio di F(x) non vale più.

Dominio della funzione integrale con estremi di integrazione più elaborati

Può succedere che una funzione integrale abbia come estremo di integrazione variabile una funzione diversa da y = x, e nella peggiore delle ipotesi è possibile che entrambi gli estremi di integrazione siano funzioni della variabile x. In questi casi, il calcolo del dominio nasconde delle pericolose insidie.

Se al posto della semplice funzione identica y = x l'estremo di integrazione fosse una funzione h(x), ossia se la funzione integrale si presenta nella forma

F(x) = ∫_(x_0)^(h(x))f(t)dt

allora per calcolare il dominio di F(x) dovremo:

- determinare il più grande intervallo contenente x_0, I_(x_0) in cui la funzione f(t) risulti integrabile;

- richiedere che anche il secondo estremo h(x)∈ I_(x_0). Questa pretesa genererà l'insieme di variazione J di x in cui l'integrale che definisce F(x) è finito, pertanto J = dom(F).

Se al posto di x_0 avessimo una funzione g(x), ossia l'integrale si presenta nella forma

F(x) = ∫_(g(x))^(h(x))f(t)dx

allora il dominio della funzione integrale dom(F) si costruisce nel modo che segue:

- determiniamo l'insieme A in cui la funzione f(t) è integrabile, anche impropriamente. Sottoliniamo che A è un insieme, non necessariamente un intervallo;

- imponiamo che i due estremi g(x), h(x) cadano negli stessi intervalli contenuti in A. Per ciascun intervallo contenuto in A, otterremo l'insieme di variazione della x.

In questo modo, abbiamo la certezza che la funzione f(t) sia integrabile negli intervalli [g(x), h(x)] o [h(x), g(x)], con x che varia nell'insieme di variazione;

- uniamo gli insiemi di variazione trovati nel passo precedente: avremo così il dominio di F(x), dom(F).

Osservazione importante: nel primo caso, il dominio di F(x) è un sottoinsieme o al più coincide con il dominio di h(x). Nel secondo caso il dominio di F(x) è contenuto o al più coincide con dom(g) ∩ dom(h)

Esempi sul dominio di una funzione integrale con estremi variabili diversi da x

Di seguito proporremo due esempi: nel primo considereremo una funzione integrale con un estremo di integrazione costante, mentre l'altro è una funzione h(x); nel secondo esempio, invece, considereremo una funzione integrale con entrambi gli estremi di integrazione variabili.

1) Calcoliamo il dominio della funzione integrale

F(x) = ∫_(1)^((1)/(x))(1)/(√(|t|)(1+t^2))dt

La funzione integranda ha per dominio dom(f) = (−∞, 0) U (0,+∞) ed è ivi continua. Studiamo l'integrabilità della funzione f(t) nell'intorno di 0, osservando che per t → 0 vale l'equivalenza asintotica:

(1)/(√(|t|)(1+t^2)) ~ _(t → 0)(1)/(√(|t|))

Gli integrali impropri notevoli di seconda specie ci assicurano l'integrabilità di f(t) in (almeno) un intorno di 0 e quindi possiamo asserire che il più grande intervallo in cui la funzione f(t) è integrabile e a cui appartiene x_0 = 1 è I_(x_0) = R.

A questo punto richiediamo che anche il secondo estremo appartenga a I_(x_0):

(1)/(x)∈R ⇔ x ne 0

Al variare di x ne 0 gli estremi x_0 = 1 e h(x) generano degli intervalli di integrazione dentro il quale f(t) risulta integrabile, pertanto

dom(F) = (−∞, 0) U (0,+∞)

2) Determiniamo il dominio della funzione integrale

F(x) = ∫_(ln(x))^(x−1)(1)/(t^2−1)dt

Il dominio della funzione integrale f(t) è dettato dalla condizione t^2−1 ne 0 conseguentemente

dom(f) = (−∞,−1) U (−1,1) U (1,+∞).

In ogni intervallo contenuto in dom(f) la funzione f(t) è continua, dunque integrabile. Si può facilmente verificare che la funzione data non è integrabile né per t → −1 né per t → 1, questo ci assicura che il più grande insieme in cui f(t) è integrabile coincide con il dominio della stessa, ossia A = dom(f).

Il dominio di f(x) è unione di tre intervalli:

I_1 = (−∞,−1), I_(2) = (−1,1), I_(3) = (1,+∞)

Calcoliamo per ciascuno gli insiemi di variazione della x.

h(x)∈ I_1 ∧ g(x)∈ I_1 ⇔ ln(x)∈ (−∞,−1) ; x−1∈ (−∞,−1) ⇔ ln(x) < −1 ; x−1 < −1

Ci accorgiamo presto che il sistema ha per soluzione l'insieme vuoto: il primo insieme di variazione è S_1 = Ø.

h(x)∈ I_(2) ∧ g(x)∈ I_(2) ⇔ ln(x)∈ (−1,1) ; x−1∈ (−1,1) ⇔ −1 < ln(x) < 1 ;−1 < x−1 < 1

Il sistema ha per soluzione S_2: (1)/(e) < x < 2 e rappresenta il secondo insieme di variazione.

Facciamo lo stesso giochino con I_(3):

h(x)∈ I_3 ∧ g(x)∈ I_3 ⇔ ln(x)∈ (1,+∞) ; x−1∈(1,+∞) ⇔ ln(x) > 1 ; x−1 > 1

Risolviamo il sistema di disequazioni così da ottenere il terzo insieme di variazione S_3: x > e.

Ultimo passaggio: l'unione insiemistica tra S_1, S_2, S_3 ci fornirà il dominio della funzione integrale:

dom(F) = (1)/(e) < x < 2 ∨ x > e ⇔ ((1)/(e), 2) U (e,+∞)

Dominio di una funzione integrale con uno degli estremi infiniti

Abbiamo quasi finito con l'analisi del dominio di una funzione integrale, manca solo un ultimissimo caso da considerare, ossia quello in cui uno degli estremi d'integrazione è infinito.

Più precisamente vedremo come determinare il dominio di F(x) quando la funzione integrale si presenta in una delle seguenti forme

F(x) = ∫_(−∞)^(h(x))f(t)dt oppure F(x) = ∫_(g(x))^(+∞)f(t)dt

Per non appesantire ulteriormente la lezione, lavoreremo con la prima forma... Tranquilli, la trattazione è identica anche per la seconda, sarà sufficiente modificare ciò che deve essere modificato.

Per determinare il dominio di una funzione integrale con estremo −∞ dovremo:

- assicurarci che f(t) sia integrabile in un intorno di −∞;

- determinare il più grande intervallo I_(−∞) = (−∞, a) in cui f(t) è integrabile;

- imporre la condizione h(x)∈ I_(−∞). Risolvendo la disequazione otterremo il dominio della funzione integrale.

Esempio sul calcolo del dominio di una funzione integrale con estremo infinito

Poniamoci come obiettivo il calcolo del dominio della funzione

F(x) = ∫_(−∞)^((1)/(x^2−4))(1)/(t^2)dt

Nel nostro caso f(t) ha per dominio

dom(f) = (−∞, 0) U (0,+∞)

e in più è integrabile in un intorno di −∞ perché

∫_(−∞)^(c)(1)/(t^2)dt con c < 0

è un integrale improprio notevole di prima specie convergente. f(t) non è integrabile localmente per t → 0 perché abbiamo di nuovo un integrale improprio notevole di seconda specie divergente.

Possiamo asserire quindi che il più grande intervallo, intorno di −∞, in cui la funzione integranda è integrabile è:

I_(−∞) = (−∞, 0)

A questo punto basta imporre la condizione

h(x)∈ I_(−∞) ⇔ (1)/(x^2−4)∈ (−∞, 0) ⇔ (1)/(x^2−4) < 0 ⇔ −2 < x < 2

Il dominio della funzione integrale è dunque dom(f) = (−2, 2).

Segno di una funzione integrale

Dopo aver portato a termine il tanto lungo quanto importante trattato sul dominio di una funzione integrale, possiamo concentrarci sugli altri passaggi dello studio di funzione. In questa sezione, ci occuperemo del segno di una funzione integrale, che purtroppo non rispecchia esattamente lo studio del segno di una funzione classica.

Nello studio del segno delle funzioni integrali intervengono le proprietà fondamentali degli integrali che vi invitiamo a ripassare prima di continuare la lettura di questa lezione.

Lo studio del segno di una funzione integrale si basa essenzialmente su due regole:

regola 1) se la funzione integranda f(t) è a segno costante nel suo dominio, allora funzione integrale F(x) è concorde con l'integranda a patto che l'estremo di integrazione inferiore sia minore dell'estremo superiore, discorde in caso contrario.

regola 2) se esiste almeno un numero reale a∈dom(F) tale che i due estremi di integrazione coincidono allora F(a) = 0. Osserviamo che tali a sono le ascisse dei punti di intersezione con l'asse x.

Se queste regole non fossero sufficienti a studiare il segno di una funzione integrale, può essere utile continuare con i passi successivi dello studio, e dedurre il segno di F(x) a studio di funzione concluso.

Esempio sullo studio del segno di una funzione integrale

Consideriamo la funzione

F(x) = ∫_(5x+5)^(x^2−1)(1)/(t^2)dt

il cui dominio è dom(F) = (1,+∞).

La funzione f(t) è positiva per ogni t∈ (−∞, 0) U (0,+∞) e in base alla regola 1), possiamo asserire che

se x∈ dom(F) e 5x+5 < x^2−1 allora F(x) > 0

Poiché la disequazione di secondo grado

5x+5 < x^2−1

è soddisfatta per x∈ dom(F) tale che x > 6 possiamo asserire senza remore che:

- l'estremo di integrazione superiore è maggiore dell'estremo inferiore se x > 6;

- gli estremi sono uguali per x = 6;

- l'estremo di integrazione superiore è minore dell'estremo inferiore per 1 < x < 6.

Possiamo concludere che la funzione F(x):

- è positiva per x > 6;

- è negativa per 1 < x < 6;

- è nulla per x = 6 e dunque F(x) interseca l'asse x nel punto (6,0).

Parità e disparità di una funzione integrale

Come per le funzioni classiche, è possibile effettuare lo studio della parità e disparità di una funzione integrale F(x), ma vi assicuriamo che non è altrettanto banale... Anzi!

Diciamo subito che se il dominio della funzione integrale F(x) non è simmetrico rispetto allo zero, allora F(x) non può essere né pari né dispari. In tal caso il grafico di F(x) non é simmetrico rispetto all'asse y, né simmetrico rispetto all'origine degli assi.

Se il dominio di F è simmetrico rispetto allo zero, e nel caso in cui:

F(−x) = F(x) per ogni x∈ dom(F)

allora F(x) è pari. In tal caso il grafico di F(x) presenterà una simmetria assiale rispetto all'asse y.

Nel caso in cui F(x) soddisfi la relazione:

F(−x) = −F(x)

allora F(x) è dispari e il suo grafico presenterà una simmetria centrale rispetto all'origine.

In generale non esiste una regola che permette di studiare la parità e la disparità di ogni funzione integrale: è necessario ingegnarsi di volta in volta per dimostrare la validità delle suddette relazioni.

Se però la funzione integrale ha un estremo costante nullo, ossia se si presenta nella forma:

F(x) = ∫_(0)^(x)f(t)dt

abbiamo qualche strumento in più per studiarne la parità e la disparità: ci viene in soccorso il seguente risultato.

Teorema (parità e disparità della funzione integrale con estremo finito nullo)

Se la funzione integranda f(t) è pari nel suo dominio allora la funzione integrale

F(x) = ∫_(0)^(x)f(t)dt

è dispari. Se, invece, f(t) è una funzione dispari allora F(x) è pari.

Esempio sulla parità e disparità di una funzione integrale

Dopo aver fornito alcuni suggerimenti su come studiare la parità e la disparità della funzione proponiamo un esempio:

F(x) = ∫_(0)^(x)(1)/(x^2+1)dt

Il dominio della funzione integrale F(x) è dom(F) = R. La funzione integranda è chiaramente pari.

f(−t) = (1)/((−t)^2+1) = (1)/(t^2+1) = f(t) ∀ t∈R

di conseguenza per il teorema sulla parità e disparità possiamo concludere che la funzione F(x) è dispari nel suo dominio.

Naturalmente possiamo procedere usando la definizione di funzione pari e dispari, partendo con la valutazione di F(−x):

F(−x) = ∫_(0)^(−x)(1)/(1+t^2)dt

Il trucco consiste nell'uso del metodo di integrazione per sostituzione, ponendo t = −s. I nuovi estremi sono:

t_0 = 0 → s_0 = 0 ; t_1 = −x → s_1 = x

mentre il differenziale dt coincide con −ds. Ricomponiamo l'integrale ed eseguiamo alcuni semplici passaggi:

F(−x) = ∫_(0)^(−x)(1)/((−s)^2+1)(−1)ds = −∫_(0)^(x)(1)/(s^2+1)ds = −F(x)

Ciò fornisce un'ulteriore conferma del fatto che F(x) è dispari.

Limiti agli estremi del dominio di F(x) e asintoti

Una volta studiato il segno e la parità di una funzione integrale procederemo con lo studio dei limiti agli estremi del dominio di F(x) e la classificazione degli eventuali asintoti.

La teoria è ovviamente la stessa che abbiamo incontrato per lo studio di funzione classico e i procedimenti continuano ad essere efficaci anche in tale contesto. Va da sé che un ripasso sui limiti agli estremi del dominio e sulle tre tipologie di asintoti è caldamente consigliato.

Semplifichiamo la trattazione dell'argomento facendo una distinzione tra limiti agli estremi finiti e limiti agli estremi infiniti.

Limiti agli estremi finiti del dominio di F(x) e asintoti verticali

Consideriamo una funzione integrale F(x) e supponiamo che abbia come dominio dom(F) = (a, b) U (b, c) con a, b, c∈R. È evidente che gli estremi finiti del dominio sono: x = a, x = b, x = c.

Il nostro compito è quello di analizzare come si comporta F(x) quando la variabile x si avvicina ai punti non appartenenti al dominio:

lim_(x → a^(+))F(x) lim_(x → b^(−))F(x) lim_(x → b^(+))F(x) lim_(x → c^(−))F(x)

Ciascun limite rappresenta in realtà un integrale improprio di prima o seconda specie che va analizzato e studiato con i criteri di convergenza per gli integrali impropri. In base al loro comportamento, comprendiamo se F(x) ammette asintoto verticale o meno.

Più precisamente, supponiamo che a sia un estremo finito del dominio di F(x), escluso dal dominio stesso. Allora:

- se l'integrale improprio associato al limite per x → a^+ converge, allora la funzione integrale F(x) è prolungabile con continuità in x = a;

- se l'integrale improprio associato diverge allora la retta di equazione x = a è un asintoto verticale per F(x).

Limiti agli estremi infiniti del dominio, asintoti orizzontali e asintoti obliqui

Un altro punto delicato dello studio di funzione integrale consiste nello studio agli estremi infiniti del dominio e il calcolo delle equazioni di eventuali asintoti orizzontali o obliqui. Ribadiamo che la struttura teorica è praticamente identica a quella già vista per lo studio di funzione classico, ma... c'è un ma.

In generale, non esiste una procedura che faciliti la ricerca esplicita degli asintoti obliqui e orizzontali, se non quella che rientra nella teoria generale dello studio di funzioni. Se però la funzione integrale si presenta nella forma

F(x) = ∫_(0)^(x)f(t)dt

ci viene in soccorso un teorema. Ci occuperemo di questo caso particolare in seguito, per il momento descriviamo dei risultati teorici, e purtroppo poco pratici, che ci assicurano l'esistenza degli asintoti orizzontali e/o obliqui.

Nel caso in cui il dominio di una funzione integrale F(x) contenga un intorno di −∞ o +∞, ha senso calcolare uno dei seguenti limiti (o entrambi)

lim_(x → −∞)F(x) o lim_(x → +∞)F(x)

A ciascun limite possiamo associare l'integrale improprio corrispondente.

- se l'integrale improprio associato al limite

lim_(x → −∞ (+∞))F(x)

converge allora il limite esiste ed è finito. In tal caso F(x) ha un asintoto orizzontale di equazione y = ℓ dove ℓ è il risultato dell'integrale associato.

Osserviamo che non è sempre possibile determinare esplicitamente il risultato dell'integrale improprio, e di conseguenza, non possiamo nemmeno conoscere esplicitamente l'equazione dell'asintoto orizzontale: poco importa, l'importante è sapere che c'è.

- Se l'integrale improprio associato al limite

lim_(x → −∞(+∞))F(x)

diverge allora vi è la possibilità che la funzione integrale presenti un asintoto obliquo.

Per stabilire se una funzione integrale ammette asintoti obliqui sono necessari alcuni risultati teorici che dovrebbero essere già noti e che, comunque, è bene ripassare prima di continuare la lettura: il teorema di De l'Hopital e il teorema fondamentale del calcolo integrale.

Il teorema di De l'Hopital ci aiuterà a risolvere il limite che definisce il coefficiente angolare dell'eventuale asintoto obliquo. Il teorema fondamentale del calcolo integrale, invece, fornisce la relazione che lega la funzione integrale con la sua derivata prima.

Vedremo in dettaglio come calcolare la derivata di una funzione integrale nel paragrafo relativo allo studio della derivata. Per ora, concentriamoci sullo studio degli asintoti.

La retta y = mx+q è asintoto obliquo per la funzione F(x) per x → −∞(o +∞) se:

1) esiste finito e diverso da zero il limite per x → −∞ (o +∞) del rapporto tra F(x) e x

m = lim_(x → −∞(o +∞))(F(x))/(x) ne 0 esiste finito

Il limite che abbiamo appena scritto è sempre e comunque una forma indeterminata (∞)/(∞) che può essere risolta usando il teorema di De l'Hopital, a patto che la funzione integrale ne soddisfi le ipotesi. In tal caso possiamo scrivere l'uguaglianza:

lim_(x → −∞(o +∞))(F(x))/(x) = lim_(x → −∞(o +∞))F'(x)

Dove con F'(x) indichiamo la derivata prima della funzione F(x)

Se il limite è finito e diverso da zero proseguiamo con il passo 2). Se così non fosse, possiamo fermarci qui e concludere che non ci sono asintoti obliqui.

2) Esiste finito il limite per x → −∞(+∞) della differenza tra F(x) e mx, ossia:

q = lim_(x → −∞(+∞))F(x)−m x

Se il limite che definisce q non esiste o non è finito allora la funzione non ha asintoti obliqui.

Asintoto di una funzione integrale con estremo finito nullo

Come abbiamo già preannunciato, nel caso in cui la funzione integrale si presenti nella forma

F(x) = ∫_(0)^(x)f(t)dt

allora esistono dei teoremi che permettono di determinare l'equazione degli asintoti orizzontali.

Se il dominio della funzione integrale contiene un intorno di −∞ o +∞ allora ha senso calcolare il limite

lim_(x → −∞ (+∞))F(x) = lim_(x → −∞(+∞))∫_(0)^(x)f(t)dt

Tale limite coincide con un integrale improprio di prima specie, più precisamente

lim_(x → −∞)F(x) = ∫_(0)^(−∞)f(t)dt ; lim_(x → +∞)F(x) = ∫_(0)^(+∞)f(t)dt

Se l'integrale improprio associato al limite converge, allora la funzione integrale possiede un asintoto orizzontale.

Se l'integrale improprio diverge, allora procederemo con i seguenti passi per controllare l'esistenza di un eventuale asintoto obliquo:

- deve esistere, finito e diverso da zero, il limite

m = lim_(x → −∞(+∞))f(x)

che coincide con il coefficiente angolare dell'eventuale asintoto obliquo.

Forniamo una giustificazione dell'uguaglianza scritta precedentemente. Nel caso in cui f(t) sia continua allora il teorema di De l'Hopital e il teorema fondamentale del calcolo integrale ci permettono di scrivere

m: = lim_(x → −∞(+∞))(F(x))/(x) = lim_(x → −∞(+∞))(∫_(0)^(x)f(t)dt)/(x) = ^(H) = lim_(x → −∞ (+∞))f(x)

Questa relazione sussiste perché F(x) è una primitiva della funzione f(x), per questo motivo F'(x) = f(x).

- Deve esistere finito il limite:

q = lim_(x → −∞ (+∞))∫_(0)^(x)f(t)dt−mx

Grazie alle proprietà degli integrali definiti possiamo scrivere mx come:

mx = m∫_(0)^(x)1 dt = ∫_(0)^(x)mdt

Di conseguenza

q = lim_(x → −∞ (+∞))∫_(0)^(x)f(t)dt−mx = lim_(x → −∞(+∞))∫_(0)^(x)f(t)dt−∫_(0)^(x)mdt = lim_(x → −∞ (+∞))∫_(0)^(x)(f(t)−m)dt = ∫_(0)^(−∞(+∞))(f(t)−m)dt

Se l'ultimo integrale improprio converge allora il termine noto q dell'asintoto obliquo esiste ed è finito, pertanto y = m x+q è l'equazione dell'asintoto obliquo richiesto.

Esempio sui limiti agli estremi di una funzione integrale con estremo nullo

Vogliamo studiare i limiti agli estremi della funzione integrale

F(x) = ∫_(0)^(x)arctan(t^2)dt

La funzione arcotangente f(t) = arctan(t^2) è continua in tutto l'asse reale, pertanto è integrabile in ogni sottointervallo chiuso e limitato contenuto in R. Questo ci permette di concludere che il dominio di F(x) è dom(F) = (−∞,+∞).

Gli estremi del dominio di F(x) sono entrambi infiniti, e dunque ha senso calcolare i seguenti limiti:

lim_(x → −∞)F(x) = ∫_(0)^(−∞)arctan(t^2)dt = −∞ ; lim_(x → +∞)F(x) = ∫_(0)^(+∞)arctan(t^2)dt = +∞

Poiché sono entrambi infiniti, la funzione integrale non ammette asintoti orizzontali, ma possiamo avere asintoti obliqui.

m_1 = lim_(x → −∞)(F(x))/(x) = lim_(x → −∞)f(x) = lim_(x → −∞)arctan(x^2) = (π)/(2) ; m_2 = lim_(x → +∞)(F(x))/(x) = lim_(x → +∞)f(x) = lim_(x → +∞)arctan(x^2) = (π)/(2)

In entrambi i casi i limiti sono finiti e diversi da zero. Controlliamo l'altra coppia di limiti

q_1 = lim_(x → −∞)F(x)−m_1 x = lim_(x → −∞)∫_(0)^(x)(f(t)−m_1)dt = ∫_(0)^(−∞)(arctan(t^2)−(π)/(2))dt

La convergenza di questo integrale improprio è assicurata dal criterio del confronto asintotico per gli integrali impropri di prima specie, osserviamo infatti che sussiste l'equivalenza asintotica:

arctan(t^2)−(π)/(2) ~ _(t → −∞)−(1)/(t^2)

conseguentemente per il criterio del confronto asintotico l'integrale improprio converge e dunque il limite che definisce q_1 esiste finito: abbiamo assicurata l'esistenza dell'asintoto obliquo (sinistro).

Possiamo ripetere lo stesso ragionamento anche per il limite

q_2 = lim_(x → +∞)F(x)−m_2x = ∫_(0)^(+∞)(arctan(t^2)−(π)/(2))dt

che converge. Finalmente possiamo concludere che F(x) ammette due asintoti obliqui, uno destro e l'altro sinistro:

y = (π)/(2)x+q_1 per x → −∞ ; y = (π)/(2)x+q_2 per x → +∞

Derivata di una funzione integrale

È giunto finalmente il momento: analizzeremo caso per caso come calcolare la derivata di una funzione integrale, in tutte le forme in cui essa possa presentarsi:

F(x) = ∫_(x_0)^(x)f(t)dt F(x) = ∫_(x_0)^(h(x))f(t)dt F(x) = ∫_(g(x))^(h(x))f(t)dt ; F(x) = ∫_(−∞)^(h(x))f(t)dt F(x) = ∫_(g(x))^(+∞)f(t)dt

Mettiamo subito le cose in chiaro: senza il teorema fondamentale del calcolo integrale non andremo molto lontano. Il calcolo della derivata di una funzione integrale, infatti, si basa essenzialmente sul corretto uso di tale teorema.

Per semplificare l'esposizione, procederemo per casi partendo dalla funzione integrale nella sua forma più semplice.

Caso 1. Se la funzione integranda f(t) è continua su un intervallo [a,b] allora la funzione integrale:

F(x) = ∫_(x_0)^(x)f(t)dt

è derivabile ed inoltre l'espressione della derivata prima di F(x) è

F'(x) = f(x) per ogni x∈ [a,b]

Caso 2. Sempre sotto l'ipotesi di continuità di f(t), nel caso in cui l'estremo variabile sia una funzione h(x) derivabile nel dom(F) faremo uso della regola di derivazione della funzione composta.

Si può agilmente dimostrare che la derivata della funzione integrale 

F(x) = ∫_(x_0)^(h(x))f(t)dt

si ottiene moltiplicando la funzione integranda f(t) valutata in h(x) per la derivata dell'estremo h(x). In formule:

F'(x) = f(h(x))·h'(x)

Attenzione: se l'estremo variabile è l'estremo di integrazione inferiore, allora possiamo usare la suddetta formula osservando semplicemente che per le proprietà fondamentali degli integrali definiti

F(x) = ∫_(h(x))^(x_0)f(t)dt ⇒ F(x) = −∫_(x_0)^(h(x))f(t)

e dunque

F'(x) = −f(h(x))h'(x)

Caso 3. Se entrambi gli estremi di integrazione sono variabili, ossia se la funzione integrale si presenta nella forma:

F(x) = ∫_(g(x))^(h(x))f(t)dt

con g(x), h(x) funzioni derivabili nel dominio di F(x) allora:

F'(x) = f(h(x))h'(x)−f(g(x))g'(x)

Caso 4. Manca l'ultimo caso da analizzare, ossia quando la funzione integrale presenta un estremo infinito, ossia quello in cui F(x) è del tipo

F(x) = ∫_(−∞)^(h(x))f(t)dt oppure F(x) = ∫_(g(x))^(+∞)f(t)dt

con h(x), g(x) funzioni derivabili nel dominio di F(x). In tal caso valgono le relazioni:

F(x) = ∫_(−∞)^(h(x))f(t)dt ⇒ F'(x) = f(h(x))h'(x) ; F(x) = ∫_(g(x))^(+∞)f(t)dt ⇒ F'(x) = −f(g(x))g'(x)

Abbiamo coperto le possibili casistiche per il calcolo della derivata di una funzione integrale, ed è giunto il momento di metterle in pratica. A tal fine proponiamo qualche esempio, uno per casistica, così da chiarire come applicarle nella risoluzione degli esercizi.

Esempi sul calcolo della derivata di una funzione integrale

1) Consideriamo la funzione integrale

F(x) = ∫_(1)^(x)sin(t^2)dt

La funzione integranda f(t) = sin(t^2) è continua in R perché composizione di funzioni continue, pertanto è integrabile su ogni intervallo chiuso e limitato di R.

La funzione integrale ha per dominio dom(F) = R e, per il teorema fondamentale del calcolo integrale, è derivabile con derivata:

F'(x) = sin(x^2)

2) Consideriamo la funzione integrale

F(x) = ∫_(1)^(cos(x))e^(t^2)dt

La funzione integranda f(t) = e^(x^2) è continua in R, inoltre h(x) = cos(x) è derivabile in R con derivata h'(x) = −sin(x), dunque il teorema fondamentale del calcolo integrale, in collaborazione con la regola di derivazione delle funzioni composte, assicura che

F'(x) = f(h(x))h'(x) = e^(cos^2(x))·(−sin(x)) = −sin(x)e^(cos^2(x))

3) Prendiamo in esame la funzione integrale

F(x) = ∫_(−x)^(sin(x))e^(−t^2)dt

La funzione integranda, f(t) = e^(−t^2), è continua nel suo dominio dom(f) = R ed è dunque integrabile in ogni sottointervallo chiuso e limitato contenuto nel dominio. Gli estremi dell'integrale che definisce F(x) sono:

g(x) = −x e h(x) = sin(x)

entrambe derivabili per ogni x∈R, con derivate

g'(x) = −1 e h'(x) = cos(x) ∀ x∈R

In forza del teorema fondamentale del calcolo integrale e del teorema sulla derivata di una funzione composta possiamo asserire che F(x) è derivabile in dom(F) = R e la derivata prima è data da:

F'(x) = f(h(x))h'(x)−f(g(x))g'(x) = e^(−sin^2(x))cos(x)−e^(−(−x)^2)(−1) = cos(x)e^(−sin^2(x))+e^(−x^2) ∀ x∈R

4) Poniamoci come obiettivo di voler calcolare la derivata della funzione

F(x) = ∫_(−∞)^(cos(x))(1)/(t^(10)+1)dt

La funzione integranda

f(t) = (1)/(t^(10)+1)

è continua in dom(f) = R, così come è continua in R anche la funzione estremo h(x) = cos(x). Inoltre la funzione estremo è derivabile con derivata h'(x) = −sin(x).

La funzione integrale ha per dominio dom(F) = R ed è ivi derivabile, la sua derivata è data dall'espressione:

F'(x) = f(h(x))·h'(x) = (1)/(cos^(10)(x)+1)·(−sin(x)) = −(sin(x))/(cos^(10)(x)+1)

Monotonia di una funzione integrale e suoi massimi e minimi

Chiarito come calcolare la derivata prima di una funzione integrale F(x), sappiamo già qual è il passaggio successivo: studiare il segno e gli zeri di F'(x).

Studiare il segno e gli zeri della derivata prima permette di determinare i punti stazionari, ossia i punti che si candidano come punti di massimo o di minimo, e gli intervalli di monotonia, ossia gli intervalli in cui la funzione F(x) è crescente o decrescente.

Vi assicuriamo che la teoria e le procedure sono identiche a quelle per le funzioni standard, quindi vi rimandiamo alla lezione dedicata: come studiare i massimi e i minimi di una funzione. In più aggiungiamoci che nella derivata prima di F(x) non compare più l'operatore integrale e ciò faciliterà di molto l'analisi... Salvo i sadici esercizi costruiti appositamente per falsificare l'asserto precedente. :P

Ottenuto il punto stazionario s il corrispondente valore y = F(s) non è altrettanto facile da determinare, se non impossibile. Sono pochissimi i casi in cui riusciremo effettivamente a valutare gli eventuali massimi, minimi e ordinate di punti di flesso di una funzione integrale.

Esempi sullo studio della monotonia di una funzione integrale e su massimi e minimi

Studiamo i massimi e minimi della funzione

F(x) = ∫_(0)^(x^2)e^(−t^2)dt

Il dominio è dom(F) = R, inoltre la derivata prima è

F'(x) = 2xe^(−x^4)

Studiamone il segno

F'(x) > 0 ⇔ 2xe^(−x^4) > 0 ⇒ x > 0

F'(x) è quindi:

- positiva per x > 0;

- nulla per x = 0;

- negativa per x < 0;

Possiamo concludere che la funzione di partenza F(x) è:

- crescente per x > 0;

- decrescente per x < 0;

- ha un punto di minimo per x = 0, ed il minimo vale:

F(0) = ∫_(0)^(0)e^(−t^2)dt = 0

per una ben nota proprietà fondamentale degli integrali definiti.

Derivata seconda di una funzione integrale

Se è chiaro come ottenere la derivata prima di una funzione integrale, allora è chiaro anche come calcolarne la derivata seconda. Senza giri di parole: la derivata seconda di F(x) è la derivata prima della derivata prima.

F''(x) = (d)/(dx)(F'(x))

La derivata seconda si ottiene quindi derivando l'espressione trovata nel passaggio precedente, nulla di più. Ribadiamolo ancora una volta, l'operatore integrale non compare nell'espressione della derivata prima di una funzione integrale F(x), pertanto il calcolo della derivata seconda avviene tramite le regole standard di derivazione.

Esempio sul calcolo della derivata seconda di una funzione integrale

Determiniamo la derivata seconda della funzione integrale

F(x) = ∫_(−x)^(x)sin(t^2)dt

La derivata prima della funzione è:

F'(x) = sin(x^2)·1−sin((−x)^2)·(−1) = sin(x^2)+sin(x^2) = 2sin(x^2)

La derivata seconda si ottiene usando la regola di derivazione di una funzione composta, e in modo piuttosto banale ricaviamo

F''(x) = 2cos(x^2)·2x = 4xcos(x^2)

Studio della concavità e convessità di una funzione integrale

Lo studio della concavità e convessità di una funzione integrale ricalca fedelmente la teoria e le procedure già incontrate nello studio di funzione standard. Al fine di evitare inutili ripetizioni, vi rimandiamo alla lezione dedicata allo studio di concavità e convessità e punti di flesso.

Esempio sullo studio della concavità e convessità di una funzione integrale

Consideriamo la funzione integrale

F(x) = ∫_(−x)^(0)(1)/(t^3−1)dx

La funzione integranda

f(t) = (1)/(t^3−1)

è continua in dom(f) = (−∞, 1) U (1,+∞) e dunque è integrabile in ogni sottointervallo chiuso e limitato contenuto nel dominio. Osserviamo, inoltre, che per t → 1, f(t) non è integrabile. Il dominio di F(x) è dom(F) = (−1,+∞)

Calcoliamo la derivata prima della funzione integrale:

F'(x) = −(1)/((−x)^3−1)·(−1) = −(1)/(x^3+1)

La derivata seconda, che si ottiene tramite le regole di derivazione standard, è:

F''(x) = (3x^2)/((x^3+1)^2) con x > −1

Il segno della derivata seconda è abbastanza semplice da studiare. Osserviamo, infatti, che sia il numeratore che il denominatore sono positivi, dunque il rapporto è positivo. Possiamo asserire che la derivata seconda è positiva nel dominio di F(x), di conseguenza F(x) è una funzione convessa.

Grafico di una funzione integrale

È il santo graal dello studio di funzione integrale, raggiungibile solo dopo aver attraversato tutti i punti che abbiamo riportato nella lezione.

Il grafico qualitativo di una funzione integrale è la rappresentazione grafica che riassume tutti i passi fatti durante lo studio. Come si costruisce il grafico di una funzione integrale? Esattamente come si costruisce ogni altro grafico di funzione: riportando sul piano cartesiano le informazioni che possiamo estrapolare da ciascun passo dello studio.

Dobbiamo stare particolarmente attenti a riportare le informazioni che si ottengono dallo studio del dominio e dal calcolo dei limiti agli estremi, dall'analisi della monotonia e, infine, dallo studio della concavità.

Se le informazioni sono corrette, il piano cartesiano conterrà il tanto agognato grafico... Senza incongruenze tra le informazioni che abbiamo ricavato. ;)

Le lezioni sugli integrali si chiudono qui. :) Non perdetevi le schede correlate di esercizi svolti! Inoltre nel caso voleste risolvere degli esercizi per conto vostro, vi suggeriamo di aiutarvi con i tool:

- per il grafico di funzioni (utile per avere sotto mano il grafico della funzione integranda)

- per gli integrali definiti online (per le valutazioni)

- per la derivata della funzione integrale online

- con quello per gli integrali impropri online (con cui verificare la convergenza degli integrali impropri che scaturiscono dallo studio).

Per tutto il resto la barra di ricerca interna sarà la vostra più grande alleata. ;)

Buona Matematica a tutti!

Redazione di YouMath (Salvatore Zungri - Ifrit)

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