Differenziale di una funzione

Il differenziale di una funzione in una variabile in un punto è una funzione lineare dell'incremento Δx calcolato a partire dal punto. Geometricamente il differenziale corrisponde all'incremento delle ordinate sulla retta tangente ottenuto a partire dal punto fissato.

In questa lezione vedremo qual è la definizione di differenziale di una funzione in una variabile e comprenderemo qual è la sua interpretazione geometrica. Oltre a ciò esporremo la relazione che lega il differenziale con la derivata ed introdurremo formalmente il concetto di differenziale che, come vedremo, è legato indissolubilmente alla nozione di funzione differenziabile.

La lezione consiste di due parti: la prima parte è accessibile a tutti, sia agli studenti delle scuole superiori che agli universitari. La seconda parte invece è dedicata solo a coloro che frequentano i corsi di Analisi Matematica all'università. Anticipiamo inoltre che qui ci occuperemo solamente del caso di funzioni reali di una variabile reale: la nozione di funzione differenziabile in due variabili viene trattata nell'omonima lezione della sezione dedicata ad Analisi 2.

Differenziale di una funzione

Cominciamo con la definizione di differenziale di una funzione derivabile in un intervallo. Più precisamente quella che segue è una definizione ingenua di differenziale di una funzione, dove l'aggettivo ingenua è d'obbligo perché quella che analizzeremo in prima istanza non è la definizione formale, ma risulta comunque corretta e può essere utilizzata senza remore nella risoluzione degli esercizi.

Sia un intervallo aperto e sia una funzione derivabile nell'intervallo. Consideriamo e definiamo l'incremento relativo ad come la differenza

Chiamiamo differenziale della funzione nel punto con incremento il prodotto della derivata prima valutata in per l'incremento , e lo indicheremo con uno dei simboli  

Purtroppo in letteratura non esiste una notazione univoca e ciò genera moltissima confusione, soprattutto in chi si approccia per la prima volta a questo argomento.

La definizione appena scritta banalizza il concetto di differenziale ad un mero prodotto, anche se in realtà esso è qualcosa di più profondo. Facciamo un piccolo passo indietro e consideriamo attentamente l'incremento . In tale differenza:

è un valore fissato, pertanto è fissata la valutazione della derivata prima di in tale punto, ossia ;

varia nell'intervallo , rendendo a conti fatti a sua volta una variabile.

Per questi motivi il differenziale di una funzione derivabile

è in realtà una funzione lineare nella variabile .

Utilità del differenziale di una funzione

Il differenziale di una funzione relativo ad un punto e incremento approssima l'incremento di una funzione , definito come

nel momento in cui l'incremento è piccolo in modulo.

Per comprendere a pieno il significato di ciò che abbiamo appena asserito è necessario esplorare l'interpretazione geometrica del differenziale, ma data la complessità della lezione riteniamo utile interrompere momentaneamente l'excursus teorico e proporre un esempio di come si calcola il differenziale di una funzione. Aggiungere subito troppa carne al fuoco potrebbe essere controproducente. ;)

Esempio sul calcolo del differenziale di una funzione

Ci proponiamo di calcolare il differenziale associato alla funzione

con e incremento .

Per prima cosa calcoliamo la derivata di applicando la regola di derivazione della somma

Grazie alla regola per la derivata di una potenza e tenendo a mente che la derivata di una costante additiva è zero, concludiamo che la derivata prima di è:

Valutiamo l'espressione della derivata nel punto

In base alla definizione ricaviamo che il differenziale di con e incremento è dato da

Significato geometrico di differenziale

Facciamo il punto della situazione: finora abbiamo fornito la definizione intuitiva di differenziale e un esempio di come calcolarlo, ma ancora non è chiaro cosa rappresenti geometricamente. Per attenuare il senso di smarrimento (si spera) analizziamo l'interpretazione geometrica di differenziale, che come vedremo è in stretta relazione con il significato geometrico di derivata.

Nota: per evitare di appesantire le notazioni, estrapoliamo l'interpretazione geometrica di differenziale su un caso particolarmente comodo. Il ragionamento che seguiremo però può essere riproposto a tutti i casi possibili, mutatis mutandis naturalmente.

Consideriamo una funzione derivabile in un intervallo e costruiamo la retta tangente al grafico di in un punto con . Siano inoltre

dove è tale che , un ulteriore punto della curva;

il punto della retta tangente avente ascissa ;

il punto che ha per coordinate

e consideriamo il triangolo rettangolo di vertici , retto in . Per il terzo teorema sui triangoli rettangoli sussiste l'uguaglianza

dove è l'angolo formato dalla retta tangente e l'asse delle ascisse. Per come sono definiti e dall'interpretazione geometrica di derivata deduciamo le seguenti identità

pertanto l'uguaglianza si riscrive come

Facendo riferimento alla figura, comprendiamo che dal punto di vista geometrico il differenziale di una funzione relativa al punto con incremento coincide con l'incremento dell'ordinata di un punto che giace sulla retta tangente in , quando l'ascissa del punto passa dal valore di al valore di .

Abbiamo fornito l'interpretazione geometrica di differenziale, ma possiamo fare di meglio. Sempre in riferimento alla figura possiamo scrivere che

ed osservare che quando anche la lunghezza del segmento tende a zero, ed in particolare la lunghezza di è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a , infatti

Per definizione di derivata

inoltre

conseguentemente il limite è nullo perché differenza di quantità coincidenti

La nullità del limite dimostra che è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a .

Da come si evince dalla rappresentazione grafica, inoltre, nel momento in cui l'incremento diventa molto piccolo in valore assoluto allora possiamo attuare la seguente approssimazione

ossia, esplicitando i termini

da cui concludiamo che il differenziale approssima l'incremento di quando l'incremento della variabile indipendente è sufficientemente piccolo in modulo.

È interessante osservare che questa approssimazione fornisce un metodo per il calcolo approssimato del valore che una funzione assume in un punto prossimo a mediante la seguente

Relazione tra differenziale e derivata di una funzione

Dall'interpretazione geometrica di differenziale, come pure dalla definizione di differenziale di una funzione, si evince l'intimo legame tra differenziale e derivata di una funzione.

Per evidenziarlo calcoliamo il differenziale associato alla funzione identità , fissato . Tenendo conto che la derivata di è 1 otteniamo l'uguaglianza

ossia l'incremento della variabile indipendente coincide con il suo differenziale. La relazione appena espressa ci permente di riscrivere la definizione di differenziale come segue

da cui dividendo membro a membro per , scopriamo che

in altre parole stiamo dicendo che la derivata di una funzione in punto è data dal rapporto tra il differenziale della funzione e quello della variabile indipendente.

Differenziale di una funzione e funzione differenziabile

Nota: il prosieguo della trattazione richiede un po' di formalismo matematico a cui non possiamo sottrarci. Inoltre riteniamo necessario introdurre la definizione formale di differenziale e di funzione differenziabile, argomenti che tendenzialmente non appartengono ad un programma standard delle scuole superiori, per cui la lezione da qui in poi è rivolta unicamente al pubblico universitario. ;)

Fino ad ora abbiamo dato la definizione operativa di differenziale senza però fornire le motivazioni che hanno spinto i matematici ad introdurre questo nuovo concetto. Di seguito vedremo come introdurre formalmente il differenziale oltre a dare la definizione di funzione differenziabile.

Consideriamo una funzione definita in un intervallo aperto . Diremo che è una funzione differenziabile nel punto se e solo se esiste una costante tale che sussista la relazione

Se tale condizione è soddisfatta, il prodotto prende il nome di differenziale della funzione e si indica con il simbolo .

In un colpo solo abbiamo definito due concetti indissolubilmente legati tra loro. Non possiamo parlare di differenziabilità di una funzione senza tirare in ballo il differenziale, e viceversa. Approfondiamo un momento il significato del limite che compare nella definizione: cosa vuole farci intendere?

Dal momento che il limite è 0, per definizione di o-piccolo scopriamo che la differenza

è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a quando quest'ultimo tende a zero, ossia

che possiamo esprimere come

In sostanza stiamo asserendo che per l'incremento sussiste la relazione fondamentale

grazie alla quale possiamo concludere che, quando è sufficientemente piccolo in modulo, il differenziale approssima la variazione della funzione a meno di un infinitesimo di ordine superiore a

Ora che siamo in possesso degli strumenti necessari, possiamo enunciare un importantissimo risultato teorico: per le funzioni di una variabile il concetto di differenziabilità e quello di derivabilità si equivalgono, sussiste infatti un teorema che assicura tale equivalenza e prende il nome di teorema del differenziale.

Teorema del differenziale

Una funzione definita in un intervallo è differenziabile in un punto se e solo se è derivabile in , ed inoltre il differenziale vale

Per chi fosse interessato alla dimostrazione del teorema del differenziale - click.

Il teorema del differenziale sancisce che per le funzioni di una variabile reale la classe delle funzioni differenziabili coincide con la classe delle funzioni derivabili. Dal punto di vista puramente operativo evidenzia inoltre come il differenziale non aggiunga alcuna informazione su una data funzione che non si possa ottenere dalla derivata della funzione stessa, dunque per quanto concerne il calcolo differenziale per funzioni di una variabile il differenziale viene soppiantato completamente dalla derivata, dal momento che quest'ultima risulta più fruibile.

Il differenziale dal canto suo si riserverà un ruolo di tutto rispetto nella trattazione degli integrali e in quella della differenziabilità per funzioni di due variabili o più.

Con questo è tutto: come di consueto vi invitiamo ad usare la barra di ricerca interna per consultare tantissimi esercizi svolti e per trovare le risposte ai vostri eventuali dubbi. ;)

Totsiens, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

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Tags: differenziale di una funzione ad una variabile e relazione tra differenziabilità e derivabilità in una variabile.

Ultima modifica: 25/09/2023