Teorema di Rolle, teorema di Cauchy, teorema di Lagrange

Il teorema di Rolle, il teorema di Cauchy ed il teorema di Lagrange sono tre risultati teorici che permettono, partendo da opportune ipotesi ed in riferimento ad un intervallo nel dominio, di ricavare importanti informazioni relative alla funzione.

In questa lezione presentiamo i più importanti risultati nell'ambito della derivazione di funzioni reali di variabile reale, tra cui in particolare il teorema di Rolle, il teorema di Cauchy ed il teorema di Lagrange.

Tipicamente sia alle scuole superiori sia all'università ne sono richieste le dimostrazioni. Niente di sconvolgente: le dimostrazioni infatti sono in ordine sequenziale, e nel provare ognuno di questi teoremi si usa sempre il risultato fornito dal precedente. Prima di procedere però dobbiamo enunciare un teorema fondamentale...

Teorema di Weierstrass

Una funzione $f:Dom(f)\subseteq\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ definita e continua su un insieme compatto (un insieme chiuso e limitato) ammette in esso un massimo ed un minimo assoluti.

In altre parole, se il dominio della funzione è chiuso e limitato, allora esistono $x_1\mbox{, }x_2 \in Dom(f)$ tali che

$\\ f(x_{1})=M\geq f(x)\mbox{ per ogni }x\in Dom(f)\\ \\ f(x_{2})=m\leq f(x)\mbox{ per ogni }x\in Dom(f)$

dove M, m sono valori finiti.

Abbiamo riportato solo l'enunciato in quanto ci permette di dimostrare il primo dei tre teoremi sulla derivazione. Chi fosse interessato alla dimostrazione del teorema di Weierstrass (un po' impegnativa, a dire il vero) può leggerla nel topic del link.

Teorema di Rolle

Sia $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ una funzione continua in [a,b] e derivabile in (a,b). Se la funzione assume lo stesso valore agli estremi dell'intervallo, ossia

allora esiste almeno un punto $x_{0}\in (a,b)$ tale che

$f'(x_{0})=0$

Dimostrazione: dato che sono soddisfatte le ipotesi del teorema di Weierstrass, sappiamo che la funzione y=f(x) assume in [a,b] un massimo M ed un minimo m assoluti. Ci sono così due possibilità.

- Se il massimo e il minimo assoluti coincidono, ossia M=m, allora y=f(x) è costante. Di conseguenza f'(x)=0 per ogni punto x di (a,b) e il teorema vale sicuramente.

- Se invece m<M, poichè nella nostra ipotesi f(a)=f(b), almeno uno dei due valori m oppure M è assunto dalla funzione in un punto x₀ interno all'intervallo. Ad esempio, per avere un'idea immaginiamo che sia f(x₀)=M. Dunque x₀ è un punto estremante e per il teorema di Fermat risulta che f'(x₀)=0. Abbiamo così la tesi.

Esempio sul teorema di Rolle

Consideriamo la funzione

$f(x)=\sin{(x)}+1$

sull'intervallo $[0,\pi]$ .

Si vede che essa è continua in $[0,\pi]$ e derivabile in $(0,\pi)$ , ed inoltre risulta che

$f(0)=1=f(\pi)$

quindi per il teorema di Rolle esiste almeno un punto $x_{0}\in (0,\pi)$ tale che

$f'(x_{0})=0$

In particolare, ce n'è proprio uno: infatti abbiamo

$f'(x)=\cos{(x)}$

e per $x_{0}=\frac{\pi}{2}$ risulta

$f'\left(\frac{\pi}{2}\right)=\cos{\left(\frac{\pi}{2}\right)}=0$

Commento sul teorema di Rolle

Il teorema ci dice sostanzialmente che, nelle ipotesi di continuità e derivabilità di una funzione definita su un intervallo chiuso e limitato [a,b], nell'ipotesi aggiuntiva che la funzione assuma lo stesso valore agli estremi dell'intervallo, allora c'è almeno un punto (magari più di uno, uno di sicuro) interno all'intervallo che annulla la derivata.

Teorema di Cauchy

Siano $f,g:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ due funzioni continue su [a,b] e derivabili in (a,b). Allora esiste almeno un punto x₀ interno ad (a,b), tale che

$[f(b)-f(a)]g'(x_{0})=f'(x_{0})[g(b)-g(a)]$

Dimostrazione: per provare la tesi ci serve il teorema di Rolle. Innanzitutto consideriamo la seguente funzione ausiliaria, che ci tornerà molto utile.

È chiaro dove vogliamo andare a parare? Questa funzione è costruita espressamente per raggiungere la tesi. Inoltre, teniamo ben presente che f(b)-f(a) e g(b)-g(a) sono quantità costanti, ossia numeri...

Ora: h(x) è continua su [a,b] e derivabile su (a,b), poichè è differenza di funzioni continue moltiplicate per costanti.

Se inoltre la valutiamo agli estremi dell'intervallo [a,b], troviamo che

$\\ h(a)=[f(b)-f(a)]g(a)-[g(b)-g(a)]f(a)=f(b)g(a)-g(b)f(a)\\ \\ h(b)=[f(b)-f(a)]g(b)-[g(b)-g(a)]f(b)=-f(a)g(b)+g(a)f(b)$

Si vede allora che la funzione h(x) soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle. Applichiamolo: esiste almeno un punto $x_{0}\in (a,b),$ interno all'intervallo, tale che

$h'(x_{0})=0$

Calcoliamo ora la derivata

e valutandola nel punto x₀ fornitoci dal teorema di Rolle risulta che h'(x₀)=0, ossia

$[f(b)-f(a)]g'(x_{0})=[g(b)-g(a)]f'(x_{0})$

ossia la tesi.

Esempio sul teorema di Cauchy

Siano

$\\ f(x)=x^3\\ \\ g(x)=x$

Entrambe le funzioni sono continue, ad esempio, nell'intervallo [-5,5] e derivabili in (-5,5). Per il teorema di Cauchy esiste un punto x₀ interno all'intervallo tale che

$[f(b)-f(a)]g'(x_{0})=[g(b)-g(a)]f'(x_{0})$

ossia

$[125-(-125)]\cdot 1=[5-(-5)]3x_{0}^{2}$

da cui

$\\ 250=30x_{0}^2\\ \\ 30x_{0}^2-250=0\\ \\ x_{0}^2=\frac{25}{3}\\ \\ x_0=\pm \frac{5}{\sqrt{3}}$

Dunque ci sono ben due punti che soddisfano la proprietà richiesta dalla tesi.

Commento sul teorema di Cauchy

Il risultato fornito dal teorema di Cauchy è molto tecnico e non ha una vera e propria applicazione diretta. Più che altro, è un lemma, vale a dire un risultato preliminare che serve a dimostrare il prossimo teorema, quello di Lagrange, che di applicazioni pratiche ne ha un sacco...

Teorema di Lagrange

Sia $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ una funzione continua in [a,b] e derivabile in (a,b). Allora esiste almeno un punto x₀ interno all'intervallo (a,b), tale che

$f(b)-f(a)=f'(x_{0})(b-a)$

Dimostrazione: complicatissima! ;)

Consideriamo la funzione identità g(x)=x, e applichiamo il teorema di Cauchy. Possiamo farlo, perché valgono le ipotesi del teorema di Cauchy e g(x)=x le soddisfa quale che sia l'intervallo [a,b].

Basta infine osservare che g'(x)=1 e abbiamo la tesi.

Esempio sul teorema di Lagrange

Prendiamo la funzione

$f(x)=\log_{2}{(x)}$

che è continua sull'intervallo [1,4] e derivabile in (1,4). Abbiamo allora

$\log_{2}{(4)}-\log_{2}{(1)}=\frac{1}{x\ln(2)}\cdot (4-1)$

ossia

$2-0=\frac{1}{x}\cdot \frac{3}{\ln(2)}$

da cui si trova che $x=\frac{3}{2\ln(2)}\simeq 2,16$ è il punto cercato.

Commento sul teorema di Lagrange

Il teorema di Lagrange è utile perché ci dice che, sotto le ipotesi di continuità e derivabilità richieste, esiste almeno un punto x₀ interno all'intervallo tale che la derivata prima valutata in tale punto valga quanto il rapporto tra la differenza delle ordinate e la differenza delle ascisse agli estremi dell'intervallo.

Non ci resta che augurarvo un buon allenamento con le schede correlate di esercizi svolti. ;) Se qualcosa non fosse chiaro, o se foste in cerca di altri esercizi, potete usare la barra di ricerca interna: qui su YM ci sono migliaia di problemi e domande risolte a portata di un click!

ವಿದಾಯ, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

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