Teorema di Rolle, teorema di Cauchy, teorema di Lagrange
Il teorema di Rolle, il teorema di Cauchy ed il teorema di Lagrange sono tre risultati teorici che permettono, partendo da opportune ipotesi ed in riferimento ad un intervallo nel dominio, di ricavare importanti informazioni relative alla funzione.
In questa lezione presentiamo i più importanti risultati nell'ambito della derivazione di funzioni reali di variabile reale, tra cui in particolare il teorema di Rolle, il teorema di Cauchy ed il teorema di Lagrange.
Tipicamente sia alle scuole superiori sia all'università ne sono richieste le dimostrazioni. Niente di sconvolgente: le dimostrazioni infatti sono in ordine sequenziale, e nel provare ognuno di questi teoremi si usa sempre il risultato fornito dal precedente. Prima di procedere però dobbiamo enunciare un teorema fondamentale...
Teorema di Weierstrass
Una funzione definita e continua su un insieme compatto (un insieme chiuso e limitato) ammette in esso un massimo ed un minimo assoluti.
In altre parole, se il dominio della funzione è chiuso e limitato, allora esistono tali che
dove M, m sono valori finiti.
Abbiamo riportato solo l'enunciato in quanto ci permette di dimostrare il primo dei tre teoremi sulla derivazione. Chi fosse interessato alla dimostrazione del teorema di Weierstrass (un po' impegnativa, a dire il vero) può leggerla nel topic del link.
Teorema di Rolle
Sia una funzione continua in [a,b] e derivabile in (a,b). Se la funzione assume lo stesso valore agli estremi dell'intervallo, ossia
allora esiste almeno un punto tale che
Dimostrazione: dato che sono soddisfatte le ipotesi del teorema di Weierstrass, sappiamo che la funzione y=f(x) assume in [a,b] un massimo M ed un minimo m assoluti. Ci sono così due possibilità.
- Se il massimo e il minimo assoluti coincidono, ossia M=m, allora y=f(x) è costante. Di conseguenza f'(x)=0 per ogni punto x di (a,b) e il teorema vale sicuramente.
- Se invece m<M, poiché nella nostra ipotesi f(a)=f(b), almeno uno dei due valori m oppure M è assunto dalla funzione in un punto x0 interno all'intervallo. Ad esempio, per avere un'idea immaginiamo che sia f(x0)=M. Dunque x0 è un punto estremante e per il teorema di Fermat risulta che f'(x0)=0. Abbiamo così la tesi.
Esempio sul teorema di Rolle
Consideriamo la funzione
sull'intervallo .
Si vede che essa è continua in e derivabile in
, ed inoltre risulta che
quindi per il teorema di Rolle esiste almeno un punto tale che
In particolare, ce n'è proprio uno: infatti abbiamo
e per risulta
Commento sul teorema di Rolle
Il teorema ci dice sostanzialmente che, nelle ipotesi di continuità e derivabilità di una funzione definita su un intervallo chiuso e limitato [a,b], nell'ipotesi aggiuntiva che la funzione assuma lo stesso valore agli estremi dell'intervallo, allora c'è almeno un punto (magari più di uno, uno di sicuro) interno all'intervallo che annulla la derivata.
Teorema di Cauchy
Siano due funzioni continue su [a,b] e derivabili in (a,b). Allora esiste almeno un punto x0 interno ad (a,b), tale che
Dimostrazione: per provare la tesi ci serve il teorema di Rolle. Innanzitutto consideriamo la seguente funzione ausiliaria, che ci tornerà molto utile.
È chiaro dove vogliamo andare a parare? Questa funzione è costruita espressamente per raggiungere la tesi. Inoltre, teniamo ben presente che f(b)-f(a) e g(b)-g(a) sono quantità costanti, ossia numeri...
Ora: h(x) è continua su [a,b] e derivabile su (a,b), poiché è differenza di funzioni continue moltiplicate per costanti.
Se inoltre la valutiamo agli estremi dell'intervallo [a,b], troviamo che
Si vede allora che la funzione h(x) soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle. Applichiamolo: esiste almeno un punto interno all'intervallo, tale che
Calcoliamo ora la derivata
e valutandola nel punto x0 fornitoci dal teorema di Rolle risulta che h'(x0)=0, ossia
ossia la tesi.
Esempio sul teorema di Cauchy
Siano
Entrambe le funzioni sono continue, ad esempio, nell'intervallo [-5,5] e derivabili in (-5,5). Per il teorema di Cauchy esiste un punto x0 interno all'intervallo tale che
ossia
da cui
Dunque ci sono ben due punti che soddisfano la proprietà richiesta dalla tesi.
Commento sul teorema di Cauchy
Il risultato fornito dal teorema di Cauchy è molto tecnico e non ha una vera e propria applicazione diretta. Più che altro, è un lemma, vale a dire un risultato preliminare che serve a dimostrare il prossimo teorema, quello di Lagrange, che di applicazioni pratiche ne ha un sacco...
Teorema di Lagrange
Sia una funzione continua in [a,b] e derivabile in (a,b). Allora esiste almeno un punto x0 interno all'intervallo (a,b), tale che
Dimostrazione: complicatissima! ;)
Consideriamo la funzione identità g(x)=x, e applichiamo il teorema di Cauchy. Possiamo farlo, perché valgono le ipotesi del teorema di Cauchy e g(x)=x le soddisfa quale che sia l'intervallo [a,b].
Basta infine osservare che g'(x)=1 e abbiamo la tesi.
Esempio sul teorema di Lagrange
Prendiamo la funzione
che è continua sull'intervallo [1,4] e derivabile in (1,4). Abbiamo allora
ossia
da cui si trova che è il punto cercato.
Commento sul teorema di Lagrange
Il teorema di Lagrange è utile perché ci dice che, sotto le ipotesi di continuità e derivabilità richieste, esiste almeno un punto x0 interno all'intervallo tale che la derivata prima valutata in tale punto valga quanto il rapporto tra la differenza delle ordinate e la differenza delle ascisse agli estremi dell'intervallo.
Non ci resta che augurarvi un buon allenamento con le schede correlate di esercizi svolti. ;) Se qualcosa non fosse chiaro, o se foste in cerca di altri esercizi, potete usare la barra di ricerca interna: qui su YM ci sono migliaia di problemi e domande risolte a portata di un click!
ವಿದಾಯ, see you soon guys!
Fulvio Sbranchella (Agente Ω)
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