Derivate

Le derivate, e più in generale la nozione di derivata di una funzione, sono indispensabili nei più disparati campi dell'Analisi. Di riflesso lo studio ed il calcolo delle derivate trova un'infinità di applicazioni dirette in tantissimi ambiti di studio: basti pensare alla Fisica e all'Economia.

 

Non ci lanciamo in un elenco completo perché rischieremmo di fare notte. ;)

 

Le lezioni sulle derivate sono pensate per gli studenti delle scuole superiori e dell'università e si dividono sostanzialmente in quattro blocchi.

 
 
 

 

Per cominciare [1-7] ci occuperemo della definizione di derivata di una funzione e faremo in modo di digerirla senza sforzi, analizzandone gli aspetti analitici e geometrici. Partiremo dal concetto di rapporto incrementale per poi introdurre la nozione di derivata intesa come valore puntuale e come funzione; ne studieremo il significato geometrico e analizzeremo nel dettaglio le condizioni che rendono una funzione derivabile, imparando a riconoscere i punti di non derivabilità.

 

Successivamente passeremo al calcolo delle derivate [8-11] e presenteremo tutte le formule per le derivate fondamentali, i teoremi e le regole che ci consentiranno di calcolare una qualsiasi derivata, comprese le derivate della funzione composta e della funzione inversa.

 

Nel terzo blocco [12-18] partiremo da alcune definizioni preliminari relative ai punti di massimo e di minimo delle funzioni ed enunceremo i teoremi che consentono di usare le derivate per lo studio di funzione. Impareremo a sfruttare lo studio della derivata prima per ricavare informazioni su massimi, minimi e monotonia di una funzione. Di più: se passiamo allo studio della derivata seconda, riusciremo addirittura ad individuare i punti di flesso e le informazioni relative alla convessità delle funzioni!

 

Concluderemo infine [19-22] con un gruppo di lezioni rivolte ai soli studenti universitari e incentrate sulla nozione di differenziale e sugli sviluppi in serie di Taylor.

 

Ovviamente non mancheranno le tabelle con il riepilogo delle formule, utili per il ripasso, e tutti i commenti necessari per mettervi in guardia dagli errori comuni. Nel redigere le lezioni sulle derivate abbiamo cercato come al solito di non farti mancare nulla, tenendo un occhio puntato sulla teoria e l'altro sulle necessità pratiche degli studenti, vale a dire imparare a risolvere gli esercizi riducendo il più possibile la fatica e gli errori.

 

Leggere potrebbe non bastare, e noi vogliamo risolvere i vostri problemi. Le lezioni che lo richiedono sono corredate da schede di esercizi svolti sulle derivate ed esercizi proposti, ordinati per difficoltà, con suggerimenti e soluzioni. In caso di ulteriori dubbi o richieste potrete chiedere aiuto allo Staff di YouMath nel Forum e leggere le domande e le risposte di chi ha già risolto il proprio problema.

 

Da quando YM è nato abbiamo risposto a qualche migliaio di domande, e si è parlato parecchio di derivate. Qualche utente con ogni probabilità ha fatto domande sullo specifico argomento che vi interessa, dunque potete:

 

- usare la barra di ricerca presente in cima ad ogni pagina;

 

- sfogliare le discussioni del Forum sulle derivate lato Università e lato Scuole Superiori;

 

- dare un'occhiata alle domande e risposte della categoria Uni - Analisi e di Superiori - Analisi.

 

Se volete allenarvi subito con gli esercizi sulle derivate date uno sguardo alle schede del link, e sappiate che c'è anche un tool per le derivate online! ;)


1 Rapporto incrementale
2 Derivata di una funzione: definizione
3 Funzione derivabile e condizione di derivabilità
4 Significato geometrico della derivata
5 Retta tangente al grafico di una funzione in un punto
6 Punti di non derivabilità (punto angoloso, cuspide, flesso a tangente verticale)
7 Rapporto tra continuità e derivabilità
8 Derivate fondamentali
9 Calcolo delle derivate
10 Derivata della funzione composta
11 Derivata della funzione inversa
12 Massimi e minimi relativi e assoluti
13 Teorema di Fermat
14 Teorema di Rolle, teorema di Cauchy, teorema di Lagrange
15 Come studiare massimi e minimi di una funzione
16 Distinguere massimi e minimi assoluti da quelli relativi
17 Derivate di ordine superiore
18 Teoremi su derivata seconda, convessità e concavità
19 Differenziale di una funzione
20 Sviluppo in serie di Taylor
21 Tabella degli sviluppi di Taylor-Mc Laurin
22 Come calcolare gli sviluppi di Taylor