Flusso di un campo vettoriale e teorema della divergenza

In questo articolo mostreremo come calcolare il flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie! Partiamo dagli ingredienti per impostare il metodo per il calcolo del flusso, dopodiché vedremo come impostare correttamente un esercizio.

 

Ingredienti per calcolare il flusso di un campo vettoriale

 

Abbiamo bisogno di:

 

- una funzione vettoriale \mathbf{F}:D\subseteq\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3, è la legge che definisce il campo vettoriale.

 

- una superficie \Sigma dello spazio \mathbb{R}^3 contenuta nel dominio del campo vettoriale D. Faremo in modo che tale superficie sia espressa in forma parametrica 

 

\mathbf{r}: S\subset\mathbb{R}^2\to D\subset\mathbb{R}^3

 

Negli esercizi la superficie può essere espressa:

 

a) in forma esplicita: z= g(x,y)

 

b) in forma implicita: G(x,y,z)= 0

 

c) in forma parametrica: \mathbf{r}(u,v)= (x(u, v), y(u, v), z(u,v))

 

- \mathbf{n}:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3 è il versore normale alla superficie al variare del punto (posizione) (x,y,z) appartenente alla superficie. Dobbiamo porre attenzione al verso della normale, che solitamente è dato dall'esercizio stesso, per ogni normale potremo dare due versi, opposti tra loro e per evidenziare questa cosa utilizzeremo la notazione \mathbf{n}  e -\mathbf{n}. La scelta di uno dei vettori è legata al concetto di orientazione di una superficie.

 

Quando la superficie è espressa in forma parametrica, il vettore normale si ottiene effettuando il prodotto vettoriale tra \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}\times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}. Ovviamente il versore normale è dato da:

 

\mathbf{n}:\frac{\frac{\partial \mathbf{r} }{\partial u}\times \frac{\partial{r}}{\partial v}}{\left|\left|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}\times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}\right|\right|}

 

Nota bene: Non tutte le superfici sono orientabili e un esempio notevole è il nastro di Moebius. Non preoccupiamoci di questo, negli esercizi classici le superfici sono orientabili :)

 

Formula per calcolare il flusso di un campo vettoriale

 

Il flusso di un campo vettoriale \mathbf{F} attraverso una superficie \Sigma è:

 

\begin{align*}\Phi&= \iint_{\Sigma}\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}d\Sigma\\&=\iint_{S}\mathbf{F}(\mathbf{r}(u,v))\cdot\frac{\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}\times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}}{\left|\left|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}\times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}\right|\right|} \left|\left|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}\times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}\right|\right|du dv \\&= \iint_S \mathbf{F}(\mathbf{r}(u, v))\cdot \left(\frac{\partial\mathbf{r} }{\partial u}\times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}\right)dudv\end{align}

 

Se la superficie è il grafico di una funzione nella forma z= f(x,y) allora la precedente formula si riscrive come:

 

\Phi= \iint_S \mathbf{F}(x,y, f(x,y))\cdot \left(-\frac{\partial f}{\partial x}, -\frac{\partial f}{\partial y}, 1\right)dx dy

 

Poiché il terzo elemento del vettore normale è 1 allora esso è rivolto verso le quote crescenti di z!

 

Se la superficie è espressa in forma implicita allora dobbiamo parametrizzarla e utilizzare la definizione di partenza.

 

Esempio sul flusso di un campo vettoriale

 

Un esempio di applicazione: vogliamo determinare il flusso diretto verso il basso del campo vettoriale \mathbf{F}= \left(\frac{2x}{x^2+y^2}, \frac{2y}{x^2+y^2},1\right) attraverso la superficie definita in forma parametrica come:

 

\mathbf{r}(u, v)= (u\cos(v), u\sin(v), u^2)\mbox{ con }u\in [0,1], v\in [0, 2\pi]

 

Calcoliamo le derivate parziali rispetto ad u e v

 

\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}= (\cos(v), \sin(v), 2u)\quad \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}= (-u\sin(v), u\cos(v),0)

 

Il prodotto vettoriale che ci restituirà il vettore normale alla superficie è

 

 \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}\times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}= (-2u^2\cos(v), -2u^2\sin(v), u)

 

La terza componente è u ed è positiva perché dall'esercizio sappiamo che