Integrali di superficie

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Cosa sono e come si calcolano gli integrali di superficie di funzioni scalari? In questa lezione daremo tutte le risposte pratiche, fornendo il metodo generale, una buona dose di esempi e tutta la teoria da sapere in vista dell'esame.

 

Vedremo inoltre la formula per l'area di una superficie, ma non vogliamo rovinarvi la sorpresa... ;)

 

Cosa sono gli integrali di superficie

 

La definizione di integrale di superficie richiede un po' di ingredienti e un po' di requisiti teorici. Vediamoli:

 

 

• , , una superficie parametrizzata S = r(D) contenuta in R^3 che sia regolare e limitata.

 

Osserviamo che r:D ⊂ R^2 → S è la parametrizzazione della superficie definita su insieme connesso D, detto dominio della parametrizzazione. Essa si presenterà esplicitamente nella forma vettoriale

 

r(u, v) = (α(u,v), β(u, v),γ(u,v))

 

dove le funzioni componenti α, β, γ ammettono derivate parziali prime continue in D: α, β, γ∈ C^(1)(D).

 

La matrice Jacobiana associata alla parametrizzazione r

 

J_(r)(u_0, v_0) = [α_(u)(u_0, v_0) β_(u)(u_0, v_0) γ_(u)(u_0, v_0) ; α_(v)(u_0, v_0) β_(v)(u_0, v_0) γ_(v)(u_0, v_0)]

 

ha rango 2 per ogni (u_0, v_0)∈ D

 

rank(J_(r)(u_0,v_0)) = 2 ∀ (u_0, v_0)∈ D

 

che è equivalente a richiedere che il prodotto vettoriale tra la derivata rispetto ad u di r per la sua derivata rispetto a v sia diverso dal vettore nullo per ogni punto (u_0, v_0)∈ D

 

r_(u)(u_0, v_0)×r_(v)(u_0, v_0) ne (0, 0, 0) ∀ (u_0, v_0)∈ D

 

 

• , , una funzione scalare f a valori in R, continua e definita su un insieme dom(f) ⊆ R^3 contenente la superficie S.

 

f: dom(f) ⊆ R^3 → R

 

 

Ora che abbiamo gli ingredienti possiamo definire l'integrale di superficie della funzione f sulla superficie S come

 

 

∫_(S)f dS = iint_(D) f(r(u,v))||r_(u)(u,v)×r_(v)(u, v)||du dv

 

 

Scriviamo le espressioni che compaiono negli integrali, a partire da f(r(u, v))

 

f(r(u, v)) = f(α(u, v), β(u, v), γ(u,v))

 

che è la funzione f valutata in (α(u, v), β(u, v), γ(u,v)) con (u,v)∈ D.

 

Poi passiamo a ||r_(u)(u, v)×r_(v)(u, v)||

 

||r_(u)(u, v)×r_(v)(u, v)|| = ||det[i j k ; α_(u)(u,v) β_(u)(u, v) γ_(u)(u,v) ; α_(v)(u,v) β_(v)(u,v) γ_(v)(u,v)]|| =

 

= ||(β_(u)γ_(v)-γ_(u)β_(v),-(α_(u)γ_(v)-α_(v)γ_(u)), α_(u)β_(v)-α_(v)β_(u))||

 

che è sostanzialmente la norma del vettore che si ottiene moltiplicando vettorialmente r_(u) e r_(v). 

 

Dal punto di vista geometrico r_(u)(u_0, v_0) e r_(v)(u_0, v_0) sono vettori tangenti alla superficie; inoltre il loro prodotto vettoriale

 

N(u_0, v_0) = r_(u)(u_0, v_0)×r_(v)(u_0, v_0)

 

fornisce il vettore normale alla superficie N(u_0, v_0) nel punto (u_0, v_0).

 

 

Molto spesso, nei libri di testo, gli integrali di superficie vengono scritti anche nella forma:

 

∫_(S) fdS = iint_(D)f(r(u,v))||N(u,v)||dudv

 

Come calcolare gli integrali di superficie

 

Quali sono i passi per calcolare gli integrali di superficie, data una superficie S e una funzione f?

 

 

Il procedimento è semplice:

 

 

1. Si determina una parametrizzazione r della superficie S ed il relativo dominio D.

 

Questo, per molti è il passo più complicato perché la ricerca di una parametrizzazione non è immediata. Qui di seguito scriveremo alcune accortezze e suggerimenti che possono tornare utili.

 

- Se la superficie si presenta come grafico di una funzione z = g(x,y) allora possiamo utilizzare la parametrizzazione naturale:

 

r(x,y) = (x, y, g(x,y)) con (x,y)∈ D

 

dove D ⊆ dom(g) è un insieme dato dalla traccia dell'esercizio. 

 

- Se abbiamo a che fare con superfici sferiche o parti di superfici sferiche, allora possono tornarci utili le coordinate sferiche;

 

- Se le superfici presentano una simmetria assiale, come ad esempio cilindri o coni (senza punta) faremo ricorso invece alle coordinate cilindriche.

 

 

2. Si calcolano le derivate parziali di r rispetto alle variabili date.

 

r_(u)(u, v) = (α_(u)(u,v), β_(u)(u, v), γ_(u)(u,v))

 

r_(v)(u, v) = (α_(v)(u,v), β_(v)(u,v), γ_(v)(u,v))

 

 

3. Eseguiamo il prodotto vettoriale così da determinare il vettore normale alla superficie nel generico punto

 

N(u, v) = r_(u)(u,v)×r_(v)(u,v)

 

 

4. Calcoliamo la norma del vettore N(u,v).

 

 

5. Impostiamo e risolviamo l'integrale doppio:

 

iint_(D)f(r(u,v))||N(u,v)||dudv

 

Altro punto delicato: l'integrale doppio può essere complicato perché può capitare di avere a che fare con un dominio o con una funzione particolarmente molesti. Non demoralizziamoci, superato questo scoglio l'esercizio può ritenersi concluso.

 

Esempi sugli integrali di superficie

 

Esempio 1: calcoliamo l'integrale di superficie 

 

∫_(S)x^2+y^2dS

 

dove S è la porzione di grafico della funzione g(x,y) = x y contenuta nel cilindro x^2+y^2 = 1

 

 

Svolgimento:

 

f(x,y) = x^2+y^2 è la funzione integranda;

 

La superficie che ci interessa è il grafico della funzione g(x,y) = x y definita su

 

D = (x,y)∈R^2 : x^2+y^2 ≤ 1

 

Parametrizziamo la superficie in modo naturale

 

r(x,y) = (x,y, x y) con (x,y)∈ D

 

e calcoliamo le derivate parziali rispetto ad x e y del vettore di parametrizzazione r:

 

r_(x)(x,y) = (1,0, y), r_(y)(x,y) = (0, 1, x)

 

Il prodotto vettore è:

 

N(x,y) = r_(x)(x,y)×r_(y)(x,y) = det[i j k ; 1 0 y ; 0 1 x] = (-y,-x, 1)

 

Ora passiamo al calcolo della norma:

 

||N(x,y)|| = √(1+x^2+y^2)

 

La funzione f(x,y), composta con r(x,y), ci dà

 

f(r(x,y)) = f(x,y, x y) = x^2+y^2

 

Abbiamo tutto quello che ci serve per impostare l'integrale di superficie secondo la definizione:

 

∫_(S)x^2+y^2dS = iint_(D) (x^2+y^2)√(1+x^2+y^2)dxdy

 

Per risolvere l'integrale doppio possiamo procedere in coordinate polari, ponendo:

 

x = ρcos(θ) y = ρsin(θ)

 

Il dominio si riscrive come

 

D = (ρ, θ): 0 ≤ ρ ≤ 1, θ∈ [0, 2π).

 

Il valore assoluto dello Jacobiano associato alla trasformazione è |J| = ρ, per cui l'integrale doppio diventerà:

 

∫_(0)^(1)∫_(0)^(2π)ρ^3√(1+ρ^2)dθ dρ = [ conti ] = (4π)/(15) (1+√(2))

 

Finito!

 

Integrali di superficie per il calcolo delle aree

 

Nel caso in cui la funzione integranda sia uguale ad 1 l'integrale di superficie su una superficie regolare S restituisce l'area di S stessa.

 

 

Area(S) = iint_(D)||N(u,v)||dudv

 

 

Caso particolare: la superficie dell'area di un grafico di una funzione g(x,y) definita su un insieme D è:

 

 

Area = iint_(D)√(1+[g_(x)(x,y)]^2+[g_(y)(x,y)]^2)dxdy

 

 

Esempio 2

 

Verifichiamo che l'area della superficie di una sfera di raggio fissato R > 0, di equazione

 

x^2+y^2+z^2 = R^2

 

è esattamente quella che conosciamo dalle scuole medie: Area = 4π R^2.

 

 

Svolgimento: parametrizziamo al superficie sferica con le coordinate sferiche

 

r(θ, φ) = (Rsin(φ)cos(θ),Rsin(φ)sin(θ),Rcos(φ))

 

dove φ∈ [0, π], θ∈ [0, 2π). Le derivate parziali del primo ordine sono:

 

r_(θ)(θ, φ) = (-Rsin(φ)sin(θ), Rcos(θ)sin(φ), 0)

 

r_(φ)(θ, φ) = (Rcos(φ)cos(θ), Rcos(φ)sin(θ),-Rsin(φ))

 

Il vettore normale è:

 

N(θ, φ) = r_(θ)(θ, φ)×r_(φ)(θ, φ) =

 

= (-R^2cos(θ)sin^2(φ),-R^2sin^2(φ)sin(θ),-R^2cos(φ)sin(φ))

 

ed ha norma data da

 

||N(x,y)|| = √(R^4sin^2(φ)) = R^2|sin(φ)| = R^2sin(φ) con φ∈ [0,π]

 

Abbiamo tutti gli ingredienti per impostare l'integrale di superficie che ci permette di determinare l'area

 

Area = ∫_(0)^(2π)∫_(0)^(π)R^2sin(φ)dφ dθ = 4π R^2

 

Che è proprio la formula dell'area della superficie della sfera!

 

 

Esempio 3

 

Possiamo utilizzare la formula dell'area anche quando abbiamo a che fare con superfici regolari a tratti, ovvero quelle superfici che si scrivono come unione finita e disgiunta di superfici regolari. In tal caso calcoleremo gli integrali di superficie su ciascuna di esse e ne sommeremo i contributi.

 

A titolo di esempio calcoleremo la superficie totale del cilindro con raggio di base 1, tale da avere una superficie di base sul piano z = 0 e quella opposta sul piano z = 1. 

 

Il cilindro in questione è l'unione di tre superfici regolari: la superficie laterale S_(ell) e le due basi S_(b_1), S_(b_2). Parametrizzeremo ciascuna di esse cominciando con la superficie laterale

 

r_(S_(ell))(θ,z) = (cos(θ), sin(θ), z) con θ∈[0, 2π) e z∈ [0, 1]

 

Le derivate parziali rispetto a θ e z sono rispettivamente

 

r_(S_(ell), θ)(θ, z) = (-sin(θ), cos(θ), 0)

 

r_(S_(ell, z))(θ, z) = (0,0, 1)

 

Eseguendo il prodotto vettore scopriamo che il vettore normale è 

 

N_(1)(θ, z) = (cos(θ), sin(θ), 0)

 

la cui norma è

 

||N_1(θ, z)|| = ||(cos(θ), sin(θ), 0)|| = 1

 

Dunque l'area della superficie laterale misura:

 

Area(S_(ell)) = ∫_(0)^(2π)∫_(0)^(1)dz dθ = 2π

 

La superficie di base sul piano z = 0 si parametrizza come

 

r_(S_(b_1))(ρ, θ) = (ρcos(θ), ρ sin(θ), 0) con 0 ≤ ρ ≤ 1 e θ∈ [0,2π)

 

Procedendo in modo usale si arriva a scrivere

 

||N_(2)(ρ, θ)|| = ||(0,0, ρ)|| = ρ 

 

L'area della superficie di base sarà quindi

 

Area(S_(b_1)) = ∫_(0)^(1)∫_(0)^(2π)ρ dθ dρ = 2π[(ρ^2)/(2)]_(ρ = 0)^(ρ = 1) = π

 

La superficie di base sul piano z = 1 si parametrizza invece come

 

r_(S_(b_2))(ρ, θ) = (ρcos(θ), ρsin(θ), 1) con 0 ≤ ρ ≤ 1 e θ∈ [0, 2π)

 

e, come nel caso precedente 

 

||N_(3)(ρ, θ)|| = ||(0, 0, ρ)|| = ρ

 

Impostiamo l'integrale

 

Area(S_(b_2)) = ∫_(0)^(1)∫_(0)^(2π)ρ dθ dρ = 2π[(ρ^2)/(2)]_(ρ = 0)^(ρ = 1) = π

 

e concludiamo sommando i contributi ottenuti

 

Area totale = Area(S_(ell))+Area(S_(b_1))+Area(S_(b_2)) = π+2π+π = 4π.

 

Finito!

 

 

 

Ci fermiamo qui. Vi raccomandiamo di dare un'occhiata alla scheda di esercizi correlati (sono tutti risolti), non ve ne pentirete! ;)

 

Alla prossima

Salvatore Zungri (A.K.A Ifrit) 

 

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