Integrali di superficie

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Cosa sono e come si calcolano gli integrali di superficie di funzioni scalari? In questa lezione daremo tutte le risposte pratiche, fornendo il metodo generale, una buona dose di esempi e tutta la teoria da sapere in vista dell'esame.

Vedremo inoltre la formula per l'area di una superficie, ma non vogliamo rovinarvi la sorpresa... ;)

Cosa sono gli integrali di superficie

La definizione di integrale di superficie richiede un po' di ingredienti e un po' di requisiti teorici. Vediamoli:

$\bullet\,\,$ una superficie parametrizzata $S=\mathbf{r}(D)$ contenuta in $\mathbb{R}^3$ che sia regolare e limitata.

Osserviamo che $\mathbf{r}:D\subset\mathbb{R}^2\to S$ è la parametrizzazione della superficie definita su insieme connesso , detto dominio della parametrizzazione. Essa si presenterà esplicitamente nella forma vettoriale

$\mathbf{r}(u, v)=(\alpha(u,v), \beta(u, v),\gamma(u,v) )$

dove le funzioni componenti $\alpha, \beta, \gamma$ ammettono derivate parziali prime continue in $D:\ \alpha, \beta, \gamma\in C^{1}(D)$ .

La matrice Jacobiana associata alla parametrizzazione $\mathbf{r}$

$J_{\mathbf{r}}(u_0, v_0)=\begin{pmatrix}\alpha_{u}(u_0, v_0)&\beta_{u}(u_0, v_0)&\gamma_{u}(u_0, v_0)\\ \alpha_{v}(u_0, v_0)&\beta_{v}(u_0, v_0)&\gamma_{v}(u_0, v_0)\end{pmatrix}$

ha rango 2 per ogni $(u_0, v_0)\in D$

$\mbox{rank}(J_{\mathbf{r}}(u_0,v_0))=2\quad\forall (u_0, v_0)\in D$

che è equivalente a richiedere che il prodotto vettoriale tra la derivata rispetto ad di $\mathbf{r}$ per la sua derivata rispetto a sia diverso dal vettore nullo per ogni punto $(u_0, v_0)\in D$

$\mathbf{r}_{u}(u_0, v_0)\times \mathbf{r}_{v}(u_0, v_0)\ne (0, 0, 0)\quad\forall (u_0, v_0)\in D$

$\bullet\,\,$ una funzione scalare a valori in $\mathbb{R}$ , continua e definita su un insieme $\mbox{dom}(f)\subseteq\mathbb{R}^3$ contenente la superficie .

$f: \mbox{dom}(f)\subseteq\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}$

Ora che abbiamo gli ingredienti possiamo definire l'integrale di superficie della funzione sulla superficie come

$\int_{S}f dS=\iint_{D} f(\mathbf{r}(u,v))||\mathbf{r}_{u}(u,v)\times \mathbf{r}_{v}(u, v)||du dv$

Scriviamo le espressioni che compaiono negli integrali, a partire da $f(\mathbf{r}(u, v))$

$f(\mathbf{r}(u, v))= f(\alpha(u, v), \beta(u, v), \gamma(u,v))$

che è la funzione valutata in $(\alpha(u, v), \beta(u, v), \gamma(u,v))$ con $(u,v)\in D$ .

Poi passiamo a $||\mathbf{r}_{u}(u, v)\times \mathbf{r}_{v}(u, v)||$

$||\mathbf{r}_{u}(u, v)\times \mathbf{r}_{v}(u, v)||=\left|\left|\mbox{det}\begin{pmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\ \alpha_{u}(u,v)&\beta_{u}(u, v)&\gamma_{u}(u,v)\\ \alpha_{v}(u,v)&\beta_{v}(u,v)&\gamma_{v}(u,v)\end{pmatrix}\right|\right|=$

$=||\left(\beta_{u}\gamma_{v}-\gamma_{u}\beta_{v},-(\alpha_{u}\gamma_{v}- \alpha_{v}\gamma_{u}), \alpha_{u}\beta_{v}-\alpha_{v}\beta_{u} \right)||$

che è sostanzialmente la norma del vettore che si ottiene moltiplicando vettorialmente $\mathbf{r}_{u}$ e $\mathbf{r}_{v}$ .

Dal punto di vista geometrico $\mathbf{r}_{u}(u_0, v_0)$ e $\mathbf{r}_{v}(u_0, v_0)$ sono vettori tangenti alla superficie; inoltre il loro prodotto vettoriale

$\mathbf{N}(u_0, v_0)=\mathbf{r}_{u}(u_0, v_0)\times \mathbf{r}_{v}(u_0, v_0)$

fornisce il vettore normale alla superficie $\mathbf{N}(u_0, v_0)$ nel punto .

Molto spesso, nei libri di testo, gli integrali di superficie vengono scritti anche nella forma:

$\int_{S} fdS=\iint_{D}f(\mathbf{r}(u,v))||\mathbf{N}(u,v)||dudv$

Come calcolare gli integrali di superficie

Quali sono i passi per calcolare gli integrali di superficie, data una superficie e una funzione ?

Il procedimento è semplice:

1. Si determina una parametrizzazione $\mathbf{r}$ della superficie ed il relativo dominio .

Questo, per molti è il passo più complicato perché la ricerca di una parametrizzazione non è immediata. Qui di seguito scriveremo alcune accortezze e suggerimenti che possono tornare utili.

- Se la superficie si presenta come grafico di una funzione allora possiamo utilizzare la parametrizzazione naturale:

$\mathbf{r}(x,y)=(x, y, g(x,y))\mbox{ con }(x,y)\in D$

dove $D\subseteq\mbox{dom}(g)$ è un insieme dato dalla traccia dell'esercizio.

- Se abbiamo a che fare con superfici sferiche o parti di superfici sferiche, allora possono tornarci utili le coordinate sferiche;

- Se le superfici presentano una simmetria assiale, come ad esempio cilindri o coni (senza punta) faremo ricorso invece alle coordinate cilindriche.

2. Si calcolano le derivate parziali di $\mathbf{r}$ rispetto alle variabili date.

$\mathbf{r}_{u}(u, v)=(\alpha_{u}(u,v), \beta_{u}(u, v), \gamma_{u}(u,v))$

$\mathbf{r}_{v}(u, v)=(\alpha_{v}(u,v), \beta_{v}(u,v), \gamma_{v}(u,v))$

3. Eseguiamo il prodotto vettoriale così da determinare il vettore normale alla superficie nel generico punto

$\mathbf{N}(u, v)=\mathbf{r}_{u}(u,v)\times \mathbf{r}_{v}(u,v)$

4. Calcoliamo la norma del vettore $\mathbf{N}(u,v)$ .

5. Impostiamo e risolviamo l'integrale doppio:

$\iint_{D}f(\mathbf{r}(u,v))||\mathbf{N}(u,v)||dudv$

Altro punto delicato: l'integrale doppio può essere complicato perché può capitare di avere a che fare con un dominio o con una funzione particolarmente molesti. Non demoralizziamoci, superato questo scoglio l'esercizio può ritenersi concluso.

Esempi sugli integrali di superficie

Esempio 1: calcoliamo l'integrale di superficie

$\int_{S}x^2+y^2dS$

dove è la porzione di grafico della funzione contenuta nel cilindro

Svolgimento:

è la funzione integranda;

La superficie che ci interessa è il grafico della funzione definita su

$D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\ :\ x^2+y^2\le 1\}$

Parametrizziamo la superficie in modo naturale

$\mathbf{r}(x,y)=(x,y, x y)\mbox{ con }(x,y)\in D$

e calcoliamo le derivate parziali rispetto ad e del vettore di parametrizzazione $\mathbf{r}$ :

$\mathbf{r}_{x}(x,y)=(1,0, y),\ \ \ \mathbf{r}_{y}(x,y)=(0, 1, x)$

Il prodotto vettore è:

$\mathbf{N}(x,y)=\mathbf{r}_{x}(x,y)\times \mathbf{r}_{y}(x,y)=\mbox{det}\begin{pmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\ 1&0&y\\ 0&1&x\end{pmatrix}=(-y, -x, 1)$

Ora passiamo al calcolo della norma:

$||\mathbf{N}(x,y)||=\sqrt{1+x^2+y^2}$

La funzione , composta con $\mathbf{r}(x,y)$ , ci dà

$f(\mathbf{r}(x,y))= f(x,y, x y)= x^2+ y^2$

Abbiamo tutto quello che ci serve per impostare l'integrale di superficie secondo la definizione:

$\int_{S}x^2+y^2dS= \iint_{D} (x^2+y^2)\sqrt{1+x^2+y^2}dxdy$

Per risolvere l'integrale doppio possiamo procedere in coordinate polari, ponendo:

$x=\rho\cos(\theta)\quad y=\rho\sin(\theta)$

Il dominio si riscrive come

$D=\{(\rho, \theta): 0\le \rho\le 1, \theta\in [0, 2\pi)\}$ .

Il valore assoluto dello Jacobiano associato alla trasformazione è $|J|=\rho$ , per cui l'integrale doppio diventerà:

$\int_{0}^{1}\int_{0}^{2\pi}\rho^3\sqrt{1+\rho^2}d\theta d\rho=[\mbox{ conti }]=\frac{4\pi}{16} (1+\sqrt{2})$

Finito!

Integrali di superficie per il calcolo delle aree

Nel caso in cui la funzione integranda sia uguale ad 1 l'integrale di superficie su una superficie regolare restituisce l'area di stessa.

$\mbox{Area}(S)=\iint_{D}||N(u,v)||dudv$

Caso particolare: la superficie dell'area di un grafico di una funzione definita su un insieme è:

$\mbox{Area}=\iint_{D}\sqrt{1+g_{x}(x,y)+g_{y}(x,y)}dxdy$

Esempio 2

Verifichiamo che l'area della superficie di una sfera di raggio fissato , di equazione

è esattamente quella che conosciamo dalle scuole medie: $\mbox{Area}=4\pi R^2$ .

Svolgimento: parametrizziamo al superficie sferica con le coordinate sferiche

$\mathbf{r}(\theta, \phi)=(R\sin(\phi)\cos(\theta),R\sin(\phi)\sin(\theta),R\cos(\phi))$

dove $\phi\in [0, \pi], \theta\in [0, 2\pi)$ . Le derivate parziali del primo ordine sono:

$\mathbf{r}_{\theta}(\theta, \phi)=(-R\sin(\phi)\sin(\theta), R\cos(\theta)\sin(\phi), 0)$

$\mathbf{r}_{\phi}(\theta, \phi)=(R\cos(\phi)\cos(\theta), R\cos(\phi)\sin(\theta), - R\sin(\phi))$

Il vettore normale è:

$\mathbf{N}(\theta, \phi)=\mathbf{r}_{\theta}(\theta, \phi)\times \mathbf{r}_{\phi}(\theta, \phi)=$

$=(-R^2\cos(\theta)\sin^2(\phi),-R^2\sin^2(\phi)\sin(\theta), -R^2\cos(\phi)\sin(\phi) )$

ed ha norma data da

$||\mathbf{N}(x,y)||=\sqrt{R^4\sin^2(\phi)}=R^2|\sin(\phi)|=R^2\sin(\phi)\mbox{ con }\phi\in [0,\pi]$

Abbiamo tutti gli ingredienti per impostare l'integrale di superficie che ci permette di determinare l'area

$\mbox{Area}=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}R^2\sin(\phi)d\phi d\theta=4\pi R^2$

Che è proprio la formula dell'area della superficie della sfera!

Esempio 3

Possiamo utilizzare la formula dell'area anche quando abbiamo a che fare con superfici regolari a tratti, ovvero quelle superfici che si scrivono come unione finita e disgiunta di superfici regolari. In tal caso calcoleremo gli integrali di superficie su ciascuna di esse e ne sommeremo i contributi.

A titolo di esempio calcoleremo la superficie totale del cilindro con raggio di base 1, tale da avere una superficie di base sul piano e quella opposta sul piano .

Il cilindro in questione è l'unione di tre superfici regolari: la superficie laterale $S_{\ell}$ e le due basi $S_{b_1}, S_{b_2}$ . Parametrizzeremo ciascuna di esse cominciando con la superficie laterale

$\mathbf{r}_{S_{\ell}}(\theta,z)=(\cos(\theta), \sin(\theta), z)\mbox{ con }\theta\in[0, 2\pi)\mbox{ e }z\in [0, 1]$

Le derivate parziali rispetto a $\theta$ e sono rispettivamente

$\mathbf{r}_{S_{\ell}, \theta}(\theta, z)= (-\sin(\theta), \cos(\theta), 0)$

$\mathbf{r}_{S_{\ell, z}}(\theta, z)= (0,0, 1)$

Eseguendo il prodotto vettore scopriamo che il vettore normale è

$\mathbf{N}_{1}(\theta, z)=(\cos(\theta), \sin(\theta), 0)$

la cui norma è

$||\mathbf{N}_1(\theta, z)||=||(\cos(\theta), \sin(\theta), 0)||=1$

Dunque l'area della superficie laterale misura:

$\mbox{Area}(S_{\ell})=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}dz d\theta=2\pi$

La superficie di base sul piano si parametrizza come

$\mathbf{r}_{S_{b_1}}(\rho, \theta)=(\rho\cos(\theta), \rho \sin(\theta), 0)\mbox{ con }0\le \rho\le 1\mbox{ e }\theta\in [0,2\pi)$

Procedendo in modo usale si arriva a scrivere

$||\mathbf{N}_{2}(\rho, \theta)||=||(0,0, \rho)||=\rho$

L'area della superficie di base sarà quindi

$\mbox{Area}(S_{b_1})=\int_{0}^{1}\int_{0}^{2\pi}\rho d\theta d\rho= 2\pi\left[\frac{\rho^2}{2}\right]_{\rho=0}^{\rho=1}=\pi$

La superficie di base sul piano si parametrizza invece come

$\mathbf{r}_{S_{b_2}}(\rho, \theta)=(\rho\cos(\theta), \rho\sin(\theta), 1)\mbox{ con }0\le \rho\le 1\mbox{ e }\theta\in [0, 2\pi)$

e, come nel caso precedente

$||\mathbf{N}_{3}(\rho, \theta)||=||(0, 0, \rho)||=\rho$

Impostiamo l'integrale

$\mbox{Area}(S_{b_2})=\int_{0}^{1}\int_{0}^{2\pi}\rho d\theta d\rho=2\pi\left[\frac{\rho^2}{2}\right]_{\rho=0}^{\rho=1}=\pi$

e concludiamo sommando i contributi ottenuti

$\mbox{Area totale}=\mbox{Area}(S_{\ell})+\mbox{Area}(S_{b_1})+\mbox{Area}(S_{b_2})=\pi+2\pi+\pi=4\pi$ .

Finito!

Ci fermiamo qui. Vi raccomandiamo di dare un'occhiata alla scheda di esercizi correlati (sono tutti risolti), non ve ne pentirete! ;)

Alla prossima

Salvatore Zungri (A.K.A Ifrit)

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