Integrali di superficie
Cosa sono e come si calcolano gli integrali di superficie di funzioni scalari? In questa lezione daremo tutte le risposte pratiche, fornendo il metodo generale, una buona dose di esempi e tutta la teoria da sapere in vista dell'esame.
Vedremo inoltre la formula per l'area di una superficie, ma non vogliamo rovinarvi la sorpresa... ;)
Cosa sono gli integrali di superficie
La definizione di integrale di superficie richiede un po' di ingredienti e un po' di requisiti teorici. Vediamoli:
una superficie parametrizzata
contenuta in
che sia regolare e limitata.
Osserviamo che è la parametrizzazione della superficie definita su insieme connesso
, detto dominio della parametrizzazione. Essa si presenterà esplicitamente nella forma vettoriale
dove le funzioni componenti ammettono derivate parziali prime continue in
.
La matrice Jacobiana associata alla parametrizzazione
ha rango 2 per ogni
che è equivalente a richiedere che il prodotto vettoriale tra la derivata rispetto ad di
per la sua derivata rispetto a
sia diverso dal vettore nullo per ogni punto
una funzione scalare
a valori in
, continua e definita su un insieme
contenente la superficie
.
Ora che abbiamo gli ingredienti possiamo definire l'integrale di superficie della funzione sulla superficie
come
Scriviamo le espressioni che compaiono negli integrali, a partire da
che è la funzione valutata in
con
.
Poi passiamo a
che è sostanzialmente la norma del vettore che si ottiene moltiplicando vettorialmente e
.
Dal punto di vista geometrico e
sono vettori tangenti alla superficie; inoltre il loro prodotto vettoriale
fornisce il vettore normale alla superficie nel punto
.
Molto spesso, nei libri di testo, gli integrali di superficie vengono scritti anche nella forma:
Come calcolare gli integrali di superficie
Quali sono i passi per calcolare gli integrali di superficie, data una superficie e una funzione
?
Il procedimento è semplice:
1. Si determina una parametrizzazione della superficie
ed il relativo dominio
.
Questo, per molti è il passo più complicato perché la ricerca di una parametrizzazione non è immediata. Qui di seguito scriveremo alcune accortezze e suggerimenti che possono tornare utili.
- Se la superficie si presenta come grafico di una funzione allora possiamo utilizzare la parametrizzazione naturale:
dove è un insieme dato dalla traccia dell'esercizio.
- Se abbiamo a che fare con superfici sferiche o parti di superfici sferiche, allora possono tornarci utili le coordinate sferiche;
- Se le superfici presentano una simmetria assiale, come ad esempio cilindri o coni (senza punta) faremo ricorso invece alle coordinate cilindriche.
2. Si calcolano le derivate parziali di rispetto alle variabili date.
3. Eseguiamo il prodotto vettoriale così da determinare il vettore normale alla superficie nel generico punto
4. Calcoliamo la norma del vettore .
5. Impostiamo e risolviamo l'integrale doppio:
Altro punto delicato: l'integrale doppio può essere complicato perché può capitare di avere a che fare con un dominio o con una funzione particolarmente molesti. Non demoralizziamoci, superato questo scoglio l'esercizio può ritenersi concluso.
Esempi sugli integrali di superficie
Esempio 1: calcoliamo l'integrale di superficie
dove è la porzione di grafico della funzione
contenuta nel cilindro
Svolgimento:
è la funzione integranda;
La superficie che ci interessa è il grafico della funzione definita su
Parametrizziamo la superficie in modo naturale
e calcoliamo le derivate parziali rispetto ad e
del vettore di parametrizzazione
:
Il prodotto vettore è:
Ora passiamo al calcolo della norma:
La funzione , composta con
, ci dà
Abbiamo tutto quello che ci serve per impostare l'integrale di superficie secondo la definizione:
Per risolvere l'integrale doppio possiamo procedere in coordinate polari, ponendo:
Il dominio si riscrive come
.
Il valore assoluto dello Jacobiano associato alla trasformazione è , per cui l'integrale doppio diventerà:
Finito!
Integrali di superficie per il calcolo delle aree
Nel caso in cui la funzione integranda sia uguale ad 1 l'integrale di superficie su una superficie regolare restituisce l'area di
stessa.
Caso particolare: la superficie dell'area di un grafico di una funzione definita su un insieme
è:
Esempio 2
Verifichiamo che l'area della superficie di una sfera di raggio fissato , di equazione
è esattamente quella che conosciamo dalle scuole medie: .
Svolgimento: parametrizziamo al superficie sferica con le coordinate sferiche
dove . Le derivate parziali del primo ordine sono:
Il vettore normale è:
ed ha norma data da
Abbiamo tutti gli ingredienti per impostare l'integrale di superficie che ci permette di determinare l'area
Che è proprio la formula dell'area della superficie della sfera!
Esempio 3
Possiamo utilizzare la formula dell'area anche quando abbiamo a che fare con superfici regolari a tratti, ovvero quelle superfici che si scrivono come unione finita e disgiunta di superfici regolari. In tal caso calcoleremo gli integrali di superficie su ciascuna di esse e ne sommeremo i contributi.
A titolo di esempio calcoleremo la superficie totale del cilindro con raggio di base 1, tale da avere una superficie di base sul piano e quella opposta sul piano
.
Il cilindro in questione è l'unione di tre superfici regolari: la superficie laterale e le due basi
. Parametrizzeremo ciascuna di esse cominciando con la superficie laterale
Le derivate parziali rispetto a e
sono rispettivamente
Eseguendo il prodotto vettore scopriamo che il vettore normale è
la cui norma è
Dunque l'area della superficie laterale misura:
La superficie di base sul piano si parametrizza come
Procedendo in modo usale si arriva a scrivere
L'area della superficie di base sarà quindi
La superficie di base sul piano si parametrizza invece come
e, come nel caso precedente
Impostiamo l'integrale
e concludiamo sommando i contributi ottenuti
.
Finito!
Ci fermiamo qui. Vi raccomandiamo di dare un'occhiata alla scheda di esercizi correlati (sono tutti risolti), non ve ne pentirete! ;)
Alla prossima
Salvatore Zungri (A.K.A Ifrit)
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